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| Aufgabe | | Zeigen Sie F(.) ist Distributionslösung der Gleichung - [mm] \Delta [/mm] F - cF = [mm] \delta_{0} [/mm] |
In der Aufgabe davor habe ich bereits gezeigt, dass - [mm] \Delta [/mm] F - cF = 0 in [mm] R^{3} [/mm] \ {0}
Ich verstehe überhaupt nicht was in der Aufgabe gemeint ist.
p.s. F(x) : = [mm] \bruch{cos(\wurzel{3}|x|)}{4\pi|x|}
[/mm]
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Do 16.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi snarzhar,
> Zeigen Sie F(.) ist Distributionslösung der Gleichung -
> [mm]\Delta[/mm] F - cF = [mm]\delta_{0}[/mm]
> In der Aufgabe davor habe ich bereits gezeigt, dass -
> [mm]\Delta[/mm] F - cF = 0 in [mm]R^{3}[/mm] \ {0}
>
> Ich verstehe überhaupt nicht was in der Aufgabe gemeint
> ist.
>
> p.s. F(x) : = [mm]\bruch{cos(\wurzel{3}|x|)}{4\pi|x|}[/mm]
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ich bin leider kein pDgl Experte, aber F heisst doch Lösung von [mm]-\Delta[/mm] F - cF = [mm]\delta_{0}[/mm] im distributionellen Sinne, wenn F als Distribution aufgefasst, Lösung der Gleichung ist. Wenn man zeigen kann, dass F lokal integrierbar ist (, d.h. EDIT: |F| integrierbar über jedem beliebigen Kompaktum) (hab ich nicht gemacht, hoffe ich jetzt einfach mal, du müsstest es erst noch zeigen), erzeugt es eine reguläre Distribution
[mm] $F(\varphi):=\integral_{\IR^3}{F(x)\varphi(x)dx}$ (\varphi [/mm] ist eine Testfunktion auf [mm] \IR^3, x\in\IR^3) [/mm]
und wenn man nachrechnen kann, dass [mm] $(-\Delta [/mm] F - [mm] cF)(\varphi)=\delta_{0}=\varphi(0)$, [/mm] dann hat man's. Dann heisst F übrigens Fundamentallösung der pDgl.
Was du bereits gezeigt hast, wird man wahrscheinlich dabei verwenden können/müssen, und dass [mm] F(x)\in C^\infty(R^3\backslash\{0\}). [/mm]
Wir hatten in der Vorlesung mal ein ähnliches Beispiel, da nahm man oBdA Träger von [mm] \varphi\subset B_R(0) (R\in\IR^+). [/mm] Dann betrachet man [mm] \integral_{\IR^3}{F(x)\varphi(x)dx}=\integral_{B_R(0)}{F(x)\varphi(x)dx}=\limes_{\epsilon\to 0^+}\integral_{\epsilon<|x|
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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