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Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Do 15.11.2018
Autor: CrowleyAstray

Aufgabe
Geben Sie für die nachstehende Funktion zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 an, sodass aus |x − x0| < [mm] \delta [/mm] die Beziehung |f(x) − f(x0)| < [mm] \varepsilon [/mm] folgt.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2}+4}, [/mm]  D(f) = [mm] \IR [/mm]

Hallo zusammen!

Ich habe ein ähnliches Problem in diesem Forum gefunden, jedoch stellen sich mir auch bei dem noch einige Fragen.

Frage 1: Was für einen Ansatz sollte für diese Aufgabe gewählt werden?

Vielen dank schon im vorhinein für alle Antworten!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Do 15.11.2018
Autor: fred97


> Geben Sie für die nachstehende Funktion zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 an, sodass aus |x − x0| <
> [mm]\delta[/mm] die Beziehung |f(x) − f(x0)| < [mm]\varepsilon[/mm] folgt.
>  f(x) = [mm]\bruch{1}{x^{2}+4},[/mm]  D(f) = [mm]\IR[/mm]
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich habe ein ähnliches
> Problem in diesem Forum
> gefunden, jedoch stellen sich mir auch bei dem noch einige
> Fragen.
>  
> Frage 1: Was für einen Ansatz sollte für diese Aufgabe
> gewählt werden?
>  
> Vielen dank schon im vorhinein für alle Antworten!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Zunächst schaut man sich an:

[mm] $|f(x)-f(x_0)|$. [/mm] Bei obiger Funktion f ist das (mit etwas Bruchrechnen)

[mm] $|f(x)-f(x_0)|=\frac{|x^2-x_0^2|}{(x^2+4)(x_0^2+4)}$. [/mm] Der Nenner im letzen Bruch ist $ [mm] \ge [/mm]  1$, also haben wir

[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x^2-x_0^2|=|(x+x_0)(x-x_0)| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0|$. [/mm]

Da wir am Verhalten von f nur in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] interessiert sind, können wir [mm] $|x-x_0| [/mm] <1$ annehmen. Dann ist

[mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| \le 1+|x_0|$. [/mm] Wir setzen [mm] $c:=1+|x_0|$ [/mm] und bekommen für [mm] $|x-x_0| [/mm] <1$  die Abschätzung

[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le c|x-x_0|$. [/mm]

Ist nun $ [mm] \epsilon [/mm] >0$, so überzeuge Dich davon , dass [mm] $\delta:= \min\{1, \epsilon/c\}$ [/mm] das Gewünschte leistet.



Bezug
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