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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo ich habe mal eine frage zur Bestimmung eines Spezialfalls von Reihen. Mir fehlt hierfür leider jeder Ansatz. Die Aufgabe lautet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{n(n+1)}=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}\bruch{2}{n(n+1)}
[/mm]
Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Wäre für jede Hilfe dankbar. MFG mempys
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> Hallo ich habe mal eine frage zur Bestimmung eines
> Spezialfalls von Reihen. Mir fehlt hierfür leider jeder
> Ansatz. Die Aufgabe lautet:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{n(n+1)}=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}\bruch{2}{n(n+1)}[/mm]
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> Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich diese Aufgabe
> lösen kann.
Du kannst den Bruch [mm] $\frac{2}{n(n+1)}$ [/mm] in "Partialbrüche" zerlegen: ergibt [mm] $\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$. [/mm] Damit hast Du
[mm]\summe_{n=1}^{N}\bruch{2}{n(n+1)}=\summe_{n=1}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}\right)=\summe_{n=1}^N \frac{2}{n}-\summe_{n=1}^N\frac{2}{n+1}=\frac{2}{1}-\frac{2}{N+1}[/mm]
D.h. ausser dem ersten Glied der ersten Teilsumme und dem letzten Glied der zweiten Teilsumme fällt alles heraus ("Teleskopsumme").
Nach dieser Umformung ist es leicht, den Wert von [mm] $\lim_{N\rightarrow \infty}$ [/mm] dieser Partialsummen zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mempys |
Okay, wenn ich das richitg verstehe müsste [mm] \limes_{N\rightarrow\infty}=2 [/mm] sein. Oder kannst du mir das nochmal ein bischen besser mit der Teleskopsumme erklären???
MFG mempys
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> Okay, wenn ich das richitg verstehe müsste
> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}=2[/mm] sein.
Richtig. Aufgrund einer anderen Frage, die Du in diesem Forum gestellt hast, weiss ich auch, dass Dir Partialbruchzerlegung durchaus vertraut ist.
> Oder kannst du mir das
> nochmal ein bischen besser mit der Teleskopsumme
> erklären???
Der Begriff "Teleskopsumme" ist mehr ein bildhafter Vergleich mit dem Zusammenschieben eines Teleskopes: Hier wird die Summe zusammengeschoben: es ist ja
[mm]\summe_{n=1}^N\frac{2}{n}-\summe_{n=1}^N\frac{2}{n+1}=\left(\frac{2}{1}+\summe_{n=2}^N\frac{2}{n}\right)-\left(\summe_{n=2}^N\frac{2}{n}+\frac{2}{N+1}\right) =\frac{2}{1}-\frac{2}{N+1}[/mm]
Was also herausfällt sind die Glieder [mm] $\frac{2}{n}$ [/mm] von $n=2$ bis $n=N$, die in beiden Teilsummen auftreten.
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