Der euklidische Raum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:12 Mi 30.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Definition:
a) [mm] \IB [/mm] := [mm] \sigma(H) [/mm] heißt "das Erzeugnissystem der Borellmengen" oder "das Borellsystem" über [mm] \Omega=\IR
[/mm]
b) [mm] H_{k} [/mm] := { [mm] (a_{1}, b_{1}) \times [/mm] ... [mm] \times (a_{k}, b_{k}) [/mm] : [mm] a_{j} \le b_{j} \forall [/mm] j= 1, ..., k } heißt das System der beschränkten halboffenen Quader über [mm] \Omega=\IR^{k} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe die obige definition nicht.
also [mm] \IB [/mm] ist ja definiert als [mm] \sigma(H).
[/mm]
Und dieses [mm] H_{k} [/mm] ist damit das H von [mm] \sigma [/mm] gemeint? Warum gilt dann nicht [mm] \IB:= \sigma (H_{k})???
[/mm]
dann ist ja dieses [mm] H_{k} [/mm] so ein Kreutzprodukt. Aber was sind diese [mm] a_{j} [/mm] und [mm] b_{j} [/mm] ??? Sind die [mm] \in \IR???
[/mm]
Es wäre super wenn mir jemand das alles genauer erklären könnte, sodass ich es verstehe.
Danke.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali!
> Definition:
>
> a) [mm]\IB[/mm] := [mm]\sigma(H)[/mm] heißt "das Erzeugnissystem der
> Borellmengen" oder "das Borellsystem" über [mm]\Omega=\IR[/mm]
Wie habt ihr denn die Menge [mm]H[/mm] definiert?
Die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen der Form [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm]?
Oder die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen der Form [mm](a,b][/mm] mit [mm]a\le b[/mm]?
> b) [mm]H_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ [mm](a_{1}, b_{1}) \times[/mm] ... [mm]\times (a_{k}, b_{k})[/mm]
> : [mm]a_{j} \le b_{j} \forall[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
j= 1, ..., k $\}$ heißt das System
> der beschränkten halboffenen Quader über [mm]\Omega=\IR^{k}[/mm]
Hier soll es wohl
[mm]H_k:=\{[a_1,b_1)\times\ldots\times[a_k,b_k)\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
oder
[mm]H_k:=\{(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_k,b_k]\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
heißen.
Sonst würde man die enthaltenen Quader nicht HALBoffen nennen.
> ich verstehe die obige definition nicht.
>
> also [mm]\IB[/mm] ist ja definiert als [mm]\sigma(H).[/mm]
Genau. [mm]\IB[/mm] ist also die kleinste Sigma-Algebra über [mm]\IR[/mm], die alle Mengen aus [mm]H[/mm] enthält.
(Für die Anschauung: [mm]\IB[/mm] enthält so ziemlich alle Teilmengen von [mm]\IR[/mm], die sich explizit hinschreiben lassen. Aber das ist natürlich keine präzise mathematische Aussage.)
> Und dieses [mm]H_{k}[/mm] ist damit das H von [mm]\sigma[/mm] gemeint?
Nein. Wenn meine obigen Vermutungen stimmen, gilt [mm]H=H_1[/mm].
Bei [mm]H_k[/mm] kann hingegen [mm]k[/mm] eine beliebige natürliche Zahl sein.
> Warum
> gilt dann nicht [mm]\IB:= \sigma (H_{k})???[/mm]
Weil [mm]\IB[/mm] eine Sigma-Algebra über [mm]\IR[/mm], nicht über [mm]\IR^k[/mm] sein soll.
Üblicherweise definiert man analog [mm]\IB_k:=\sigma(H_k)[/mm] für beliebige natürliche Zahlen [mm]k[/mm] als die Borelsche Sigma-Algebra über [mm]\Omega=\IR^k[/mm].
> dann ist ja dieses [mm]H_{k}[/mm] so ein Kreutzprodukt. Aber was
> sind diese [mm]a_{j}[/mm] und [mm]b_{j}[/mm] ??? Sind die [mm]\in \IR???[/mm]
Ja, so ist das gemeint.
Im Falle $k=1$ sind alle Mengen aus [mm] $H_k$ [/mm] einfach Intervalle reeller Zahlen.
Im Falle [mm]k=2[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als Rechtecke der Ebene veranschaulichen.
Im Falle [mm]k=3[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als Quader im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum veranschaulichen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 30.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke Tobi.
> Hallo Ali!
>
>
> > Definition:
> >
> > a) [mm]\IB[/mm] := [mm]\sigma(H)[/mm] heißt "das Erzeugnissystem der
> > Borellmengen" oder "das Borellsystem" über [mm]\Omega=\IR[/mm]
> Wie habt ihr denn die Menge [mm]H[/mm] definiert?
> Die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen der
> Form [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm]?
> Oder die Menge aller halboffenen
> Intervalle reeller Zahlen der Form [mm](a,b][/mm] mit [mm]a\le b[/mm]?
>
H ist so definiert:
H= { (a, b] : a, b [mm] \in \IR [/mm] }
Also die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen der Form (a, b] mit a [mm] \le [/mm] b.
Ich gehe jetzt induktiv davon aus, dass a [mm] \le [/mm] b gilt.
Dies wurde aber nirgendswo erwähnt.
>
> > b) [mm]H_{k}[/mm] := [mm]\{[/mm] [mm](a_{1}, b_{1}) \times[/mm] ... [mm]\times (a_{k}, b_{k})[/mm]
>
> > : [mm]a_{j} \le b_{j} \forall[/mm] j= 1, ..., k [mm]\}[/mm] heißt das
> System
> > der beschränkten halboffenen Quader über
> [mm]\Omega=\IR^{k}[/mm]
> Hier soll es wohl
>
> [mm]H_k:=\{[a_1,b_1)\times\ldots\times[a_k,b_k)\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]H_k:=\{(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_k,b_k]\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
>
> heißen.
>
> Sonst würde man die enthaltenen Quader nicht HALBoffen
> nennen.
Also letzteres...
>
>
>
> > ich verstehe die obige definition nicht.
> >
> > also [mm]\IB[/mm] ist ja definiert als [mm]\sigma(H).[/mm]
> Genau. [mm]\IB[/mm] ist also die kleinste Sigma-Algebra über [mm]\IR[/mm],
> die alle Mengen aus [mm]H[/mm] enthält.
>
> (Für die Anschauung: [mm]\IB[/mm] enthält so ziemlich alle
> Teilmengen von [mm]\IR[/mm], die sich explizit hinschreiben lassen.
> Aber das ist natürlich keine präzise mathematische
> Aussage.)
Also ist [mm] \IB [/mm] ein Ereignissystem???
>
>
> > Und dieses [mm]H_{k}[/mm] ist damit das H von [mm]\sigma[/mm] gemeint?
> Nein. Wenn meine obigen Vermutungen stimmen, gilt [mm]H=H_1[/mm].
>
> Bei [mm]H_k[/mm] kann hingegen [mm]k[/mm] eine beliebige natürliche Zahl
> sein.
>
>
> > Warum
> > gilt dann nicht [mm]\IB:= \sigma (H_{k})???[/mm]
> Weil [mm]\IB[/mm] eine
> Sigma-Algebra über [mm]\IR[/mm], nicht über [mm]\IR^k[/mm] sein soll.
>
> Üblicherweise definiert man analog [mm]\IB_k:=\sigma(H_k)[/mm] für
> beliebige natürliche Zahlen [mm]k[/mm] als die Borelsche
> Sigma-Algebra über [mm]\Omega=\IR^k[/mm].
>
>
> > dann ist ja dieses [mm]H_{k}[/mm] so ein Kreutzprodukt. Aber was
> > sind diese [mm]a_{j}[/mm] und [mm]b_{j}[/mm] ??? Sind die [mm]\in \IR???[/mm]
> Ja,
> so ist das gemeint.
>
> Im Falle [mm]k=1[/mm] sind alle Mengen aus [mm]H_k[/mm] einfach Intervalle
> reeller Zahlen.
> Im Falle [mm]k=2[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als Rechtecke
> der Ebene veranschaulichen.
> Im Falle [mm]k=3[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als Quader im
> gewöhnlichen dreidimensionalen Raum veranschaulichen.
Kann k>3 sein???
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Danke
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke Tobi.
>
> > Hallo Ali!
> >
> >
> > > Definition:
> > >
> > > a) [mm]\IB[/mm] := [mm]\sigma(H)[/mm] heißt "das Erzeugnissystem der
> > > Borellmengen" oder "das Borellsystem" über
> [mm]\Omega=\IR[/mm]
> > Wie habt ihr denn die Menge [mm]H[/mm] definiert?
> > Die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen
> der
> > Form [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm]?
> > Oder die Menge aller
> halboffenen
> > Intervalle reeller Zahlen der Form [mm](a,b][/mm] mit [mm]a\le b[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
> >
>
> H ist so definiert:
>
> H= { (a, b] : a, b [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Also die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen
> der Form (a, b] mit a [mm]\le[/mm] b.
> Ich gehe jetzt induktiv davon aus, dass a [mm]\le[/mm] b gilt.
Hä ? Was meinst Du damit ?
> Dies wurde aber nirgendswo erwähnt.
>
> >
> > > b) [mm]H_{k}[/mm] := [mm]\{[/mm] [mm](a_{1}, b_{1}) \times[/mm] ... [mm]\times (a_{k}, b_{k})[/mm]
>
> >
> > > : [mm]a_{j} \le b_{j} \forall[/mm] j= 1, ..., k [mm]\}[/mm] heißt das
> > System
> > > der beschränkten halboffenen Quader über
> > [mm]\Omega=\IR^{k}[/mm]
> > Hier soll es wohl
> >
> > [mm]H_k:=\{[a_1,b_1)\times\ldots\times[a_k,b_k)\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
>
> >
> > oder
> >
> > [mm]H_k:=\{(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_k,b_k]\;|\;a_j\le b_j\forall j=1,\ldots,k\}[/mm]
>
> >
> > heißen.
> >
> > Sonst würde man die enthaltenen Quader nicht HALBoffen
> > nennen.
>
> Also letzteres...
>
> >
> >
> >
> > > ich verstehe die obige definition nicht.
> > >
> > > also [mm]\IB[/mm] ist ja definiert als [mm]\sigma(H).[/mm]
> > Genau. [mm]\IB[/mm] ist also die kleinste Sigma-Algebra über
> [mm]\IR[/mm],
> > die alle Mengen aus [mm]H[/mm] enthält.
> >
> > (Für die Anschauung: [mm]\IB[/mm] enthält so ziemlich alle
> > Teilmengen von [mm]\IR[/mm], die sich explizit hinschreiben lassen.
> > Aber das ist natürlich keine präzise mathematische
> > Aussage.)
>
> Also ist [mm]\IB[/mm] ein Ereignissystem???
Ja, eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra.
>
> >
> >
> > > Und dieses [mm]H_{k}[/mm] ist damit das H von [mm]\sigma[/mm] gemeint?
> > Nein. Wenn meine obigen Vermutungen stimmen, gilt
> [mm]H=H_1[/mm].
> >
> > Bei [mm]H_k[/mm] kann hingegen [mm]k[/mm] eine beliebige natürliche Zahl
> > sein.
> >
> >
> > > Warum
> > > gilt dann nicht [mm]\IB:= \sigma (H_{k})???[/mm]
> > Weil [mm]\IB[/mm]
> eine
> > Sigma-Algebra über [mm]\IR[/mm], nicht über [mm]\IR^k[/mm] sein soll.
> >
> > Üblicherweise definiert man analog [mm]\IB_k:=\sigma(H_k)[/mm] für
> > beliebige natürliche Zahlen [mm]k[/mm] als die Borelsche
> > Sigma-Algebra über [mm]\Omega=\IR^k[/mm].
> >
> >
> > > dann ist ja dieses [mm]H_{k}[/mm] so ein Kreutzprodukt. Aber was
> > > sind diese [mm]a_{j}[/mm] und [mm]b_{j}[/mm] ??? Sind die [mm]\in \IR???[/mm]
> >
> Ja,
> > so ist das gemeint.
> >
> > Im Falle [mm]k=1[/mm] sind alle Mengen aus [mm]H_k[/mm] einfach Intervalle
> > reeller Zahlen.
> > Im Falle [mm]k=2[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als
> Rechtecke
> > der Ebene veranschaulichen.
> > Im Falle [mm]k=3[/mm] lassen sich die Mengen aus [mm]H_k[/mm] als Quader
> im
> > gewöhnlichen dreidimensionalen Raum veranschaulichen.
>
> Kann k>3 sein???
Natürlich.
FRED
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> >
> > Viele Grüße
> > Tobias
>
> Danke
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 30.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo FRED,
so ist H definiert:
H= { (a, b] : a, b [mm] \in \IR [/mm] }
Das ist also die Menge aller halboffenen Intervalle reeller Zahlen der Form (a, b] mit a [mm] \le [/mm] b.
Oder habe ich das falsch verstanden???
Bei mir im Skript steht außerdem nirgendswo, dass a [mm] \le [/mm] b gilt!
Gilt das überhaupt???
DAnke.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> so ist H definiert:
>
> H= [mm]\{[/mm] (a, b] : a, b [mm]\in \IR[/mm] [mm]\}[/mm]
>
> Das ist also die Menge aller halboffenen Intervalle reeller
> Zahlen der Form (a, b] mit a [mm]\le[/mm] b.
>
> Oder habe ich das falsch verstanden???
>
> Bei mir im Skript steht außerdem nirgendswo, dass a [mm]\le[/mm] b
> gilt!
> Gilt das überhaupt???
Es gilt sowieso
[mm]\{(a,b]\;|\;a,b\in\IR\}=\{(a,b]\;|\;a,b\in\IR\text{ mit }a\le b\}[/mm].
Also ist es für die Definition von [mm]H[/mm] egal, ob man [mm]a\le b[/mm] fordert oder nicht.
(Es gilt
[mm](a,b]=\emptyset=(0,0][/mm]
für alle [mm]a,b\in\IR[/mm] mit [mm]a>b[/mm].)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 30.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. Danke für eure Hilfe :-D
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