Der kleinste endliche Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Do 17.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community!
Ich habe eine Frage zu Körpern und Körperaxiomen. Und zwar wird es mir nicht so ganz ersichtlich, wieso der binäre Körper bestehend aus der 0 und der 1 ein Körper ist.
Gerade beim inversen Element müsste es doch zu einem Widerspruch kommen. Natürlich ist 1 das inverse Element zur 1 bzgl. der Addition wenn gilt: 1+1=0. Muss aber nicht für die Zahl a gelten, dass -a die Inverse ist? Laut dieses Axioms würde diese Zahl im Körper ja nicht existieren (zur 1 die inverse Zahl -1, und -1 [mm] \not\in [/mm] K) und folglich wäre dieser Körper ja kein Körper, oder?
Viele Grüße und auf eure Antworten hoffend,
Christian! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 17.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
-a ist eine Schreibweise für das zu a bezüglich der Addition inverse Element. Es wird nicht verlangt, dass a und -a verschieden sein müssen.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 17.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community!
>
> Ich habe eine Frage zu Körpern und Körperaxiomen. Und
> zwar wird es mir nicht so ganz ersichtlich, wieso der
> binäre Körper bestehend aus der 0 und der 1 ein Körper
> ist.
> Gerade beim inversen Element müsste es doch zu einem
> Widerspruch kommen. Natürlich ist 1 das inverse Element
> zur 1 bzgl. der Addition wenn gilt: 1+1=0. Muss aber nicht
> für die Zahl a gelten, dass -a die Inverse ist? Laut
> dieses Axioms würde diese Zahl im Körper ja nicht
> existieren (zur 1 die inverse Zahl -1, und -1 [mm]\not\in[/mm] K)
> und folglich wäre dieser Körper ja kein Körper, oder?
neben dem, was Sax gesagt hat:
Es ist sinnvoll, inverse Elemente in einem Körper *anfangs* erstmal nicht
mit *üblichen Symbolen* zu schreiben.
Auch anstatt "1" und "0" kann man erstmal was anderes schreiben, etwa
[mm] $e\,$ [/mm] und [mm] $n\,.$
[/mm]
Wenn man nun die Menge
[mm] $M:=\{e,n\,\}$
[/mm]
mit $e [mm] \not=n$ [/mm] hat, dann kann man die "Addition"
[mm] $\oplus \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] M$
und die "Multiplikation"
[mm] $\odot \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] M$
definieren durch
$e [mm] \oplus e:=n\,,$
[/mm]
$e [mm] \oplus n:=e\,,$
[/mm]
$n [mm] \oplus [/mm] e:=e$
und
$n [mm] \oplus n:=n\,.$
[/mm]
Ferner
$e [mm] \odot e:=e\,,$
[/mm]
$e [mm] \odot [/mm] n:=n [mm] \odot e:=n\,,$
[/mm]
und
$n [mm] \odot n:=n\,.$
[/mm]
Das Tripel
$(M, [mm] \oplus, \odot)$
[/mm]
ist dann ein Körper. Und die eigentliche Aussage ist:
Dieser Körper bzw. genauer:
ein Körper, der zu diesem ähnlich isomorph ist,
ist in jedem Körper der Charakteristik 2 als Teilkörper enthalten.
In diesem Sinne ist das "der kleinste Körper".
Und eigentlich kennt man den auch ein wenig aus dem Alltag:
0 bzw. das obige [mm] $n\,$: [/mm] Strom fließt nicht
1 bzw. das obige [mm] $e\,$: [/mm] Strom fließt
(![[]](/images/popup.gif) http://w3.countnumber.de/addons/Publikationen/text/Kodierungstheorie.pdf [mm] $\to$ [/mm] Seite 6)
Und jetzt zu der Symbolik:
Für $x [mm] \in [/mm] M$ schreiben wir
[mm] $x_{\oplus}^{\text{inv}}$
[/mm]
für "ein" (sogar "das") inverse(s) Element bzgl. der "Addition" [mm] $\oplus.$ [/mm] Bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm]
ist hier [mm] $n\,$ [/mm] "das" neutrale Element (denn es gilt
$y [mm] \oplus [/mm] n=n [mm] \oplus [/mm] y=y$
für alle $y [mm] \in [/mm] M$), und daher gilt
[mm] $e_{\oplus}^{\text{inv}}=e\,,$
[/mm]
denn es ist
$e [mm] \oplus e=n\,.$
[/mm]
(Beachte: Für $x [mm] \in [/mm] M$ suchen wir (sogar "das"!) [mm] $x_{\oplus}^{\text{inv}} \in [/mm] M$
mit
$x [mm] \oplus x_{\oplus}^{\text{inv}}=x_{\oplus}^{\text{inv}} \oplus x=n\,.$)
[/mm]
Dass man später durchaus in sinnvoller Weise
[mm] $-x:=x_{\oplus}^{\text{inv}}$
[/mm]
schreibt, hat andere Gründe bzw. bringt Vorteile, wenn man sich gewisse
Rechenregeln in Körpern klargemacht hat... (Ebenso der *einfache Übergang*
von [mm] $\oplus$ [/mm] zu [mm] $+\,$ [/mm] und von [mm] $\odot$ [/mm] zu [mm] $\dot$; [/mm] beachte aber, dass die Operationen
[mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $\dot$ [/mm] dann nach wie vor Abbildungen $M [mm] \to [/mm] M$ sind und bleiben...
so, wie das auch [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] waren. Vielleicht ist das auch der eigentliche
Kern des Missverständnisses in Deiner Frage?).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 17.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Du hast in der Tat Recht, Marcel! Wenn man es nicht mit Zahlen schreibt, dann hat man das erstmalige "Abstrakte" nicht sofort, dass 1+1=0 ist - denn anfangs klingt das doch schon recht ungewohnt.
Was ich verstehe ist, dass n + n = n, denn addiert man das neutrale Element dazu ändert ja nichts. Genauso ist mit e + n = n + e = e geläufig, denn addiert man zu einem Element das neutrale dazu, so ändert das neutrale Element ebenso nichts - übrig bleibt e!
Einzig und allein e + e = n bereitet mir momentan noch ein wenig Fassungsschwierigkeiten, wieso das dann insgesamt wieder das neutrale Element ergeben soll!
Kann ich mir das denn so vorstellen: Ich suche eine Zahl x, sodass n + x = n ist. dies ist nur für x=n der Fall, denn n + e wäre ja e.
Nun suche ich ein x, für das e + x = n ist. Für x = n ist es nicht erfüllt, denn dann wäre e + n = e. Somit bleibt mir ja nur noch x = e übrig, etwas anderes habe ich im Körper ja nicht!
Ist meine Überlegung denn korrekt?
Oder kannst du mir denn das denn irgendwie so erklären, dass es "greifbarer" wird, wieso ich dann einfach die Zahl e nehmen darf, auch wenn es ja eigentlich unlogisch ist, dass e + e = 0 ergibt? Haben denn die natürlichen Zahlen ein inverses Element bzgl. der Addition?
Viele Grüße,
Christian!
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Nur am Rande: Lies mal 1 als "ungerade" und 0 als "gerade" und schau, ob nicht die ganzen Gleichungen auf einmal viel mehr Sinn zu machen scheinen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Fr 18.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
> Du hast in der Tat Recht, Marcel! Wenn man es nicht mit
> Zahlen schreibt, dann hat man das erstmalige "Abstrakte"
> nicht sofort, dass 1+1=0 ist - denn anfangs klingt das doch
> schon recht ungewohnt.
Beachte, dass bei 1+1=0 das + eine ganz andere Abbildung bezeichnet als die gewöhnliche Addition reeller Zahlen.
> Was ich verstehe ist, dass n + n = n, denn addiert man das
> neutrale Element dazu ändert ja nichts. Genauso ist mit e
> + n = n + e = e geläufig, denn addiert man zu einem
> Element das neutrale dazu, so ändert das neutrale Element
> ebenso nichts - übrig bleibt e!
> Einzig und allein e + e = n bereitet mir momentan noch ein
> wenig Fassungsschwierigkeiten, wieso das dann insgesamt
> wieder das neutrale Element ergeben soll!
Übernimm am besten Marcels Schreibweise: Er hat
[mm] $e\oplus [/mm] e:=n$
definiert. Das [mm] $\oplus$ [/mm] ist eine von ihm definierte Abbildung, nicht die gewöhnliche Addition reeller Zahlen.
> Kann ich mir das denn so vorstellen: Ich suche eine Zahl x,
> sodass n + x = n ist. dies ist nur für x=n der Fall, denn
> n + e wäre ja e.
> Nun suche ich ein x, für das e + x = n ist. Für x = n
> ist es nicht erfüllt, denn dann wäre e + n = e. Somit
> bleibt mir ja nur noch x = e übrig, etwas anderes habe ich
> im Körper ja nicht!
>
> Ist meine Überlegung denn korrekt?
Du hast korrekt Folgendes überlegt: Wenn [mm] $M=\{n,e\}$ [/mm] zu einem Körper [mm] $(M,\oplus,\odot)$ [/mm] werden soll mit $n$ als neutralem Element der Abbildung [mm] $\oplus$, [/mm] muss man notwendig [mm] $\oplus$ [/mm] so definieren, dass
[mm] $e\oplus [/mm] e=n$
gilt.
Die wichtigere Überlegung ist aber die umgekehrte: Wenn man $M$, [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] so definiert wie Marcel es getan hat, erhält man einen Körper [mm] $(M,\oplus,\odot)$.
[/mm]
> Oder kannst du mir denn das denn irgendwie so erklären,
> dass es "greifbarer" wird, wieso ich dann einfach die Zahl
> e nehmen darf, auch wenn es ja eigentlich unlogisch ist,
> dass e + e = 0 ergibt?
$e$ bezeichnet keine Zahl und $+$ in $e+e=0$ nicht die gewöhnliche Addition reeller Zahlen, sondern die von Marcel definierte Abbildung [mm] $\oplus$. [/mm] Es ist keineswegs unlogisch, eine Abbildung [mm] $\oplus$ [/mm] mit [mm] $e\oplus [/mm] e=n$ zu definieren. Warum sollte das verboten sein?
Wenn ich Lust dazu habe, kann ich z.B. auch eine Abbildung
[mm] $\boxplus\colon M\times M\to [/mm] M$
definieren durch
[mm] $m_1\boxplus m_2:=m_1$
[/mm]
für alle [mm] $m_1,m_2\in [/mm] M$.
Diese Abbildung hat noch weniger Ähnlichkeit zu der gewöhnlichen Addition reeller Zahlen, sie erfüllt z.B.
[mm] $n\boxplus e=n\not=e=e\boxplus [/mm] n$
und ist somit nicht geeignet, Teil einer Körperstruktur auf $M$ zu sein.
Aber trotzdem ist es natürlich nicht verboten, diese Abbildung zu betrachten.
> Haben denn die natürlichen
> Zahlen ein inverses Element bzgl. der Addition?
Bezüglich welcher Addition? Wenn $+$ die gewöhnliche Addition der natürlichen Zahlen bezeichnet, haben die natürlichen Zahlen [mm] $\not=0$ [/mm] keine natürliche Zahl als Inverses bezüglich $+$.
Das hat aber nichts mit [mm] $(M,\oplus,\odot)$ [/mm] zu tun: Hier ist $M$ keine Menge natürlicher Zahlen, geschweige denn [mm] $\oplus$ [/mm] die gewöhnliche Addition natürlicher Zahlen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Do 17.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel!
> Das Tripel
>
> [mm](M, \oplus, \odot)[/mm]
>
> ist dann ein Körper. Und die eigentliche Aussage ist:
> Dieser Körper bzw. genauer:
>
> ein Körper, der zu diesem ähnlich isomorph ist,
>
> ist in jedem Körper als Teilkörper enthalten.
>
> In diesem Sinne ist das "der kleinste Körper".
Natürlich enthält nicht jeder Körper einen zweielementigen Körper als Teilkörper. Dies gilt nur für die Körper der Charakteristik 2.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> Hallo Marcel!
>
>
> > Das Tripel
> >
> > [mm](M, \oplus, \odot)[/mm]
> >
> > ist dann ein Körper. Und die eigentliche Aussage ist:
> > Dieser Körper bzw. genauer:
> >
> > ein Körper, der zu diesem ähnlich isomorph ist,
> >
> > ist in jedem Körper als Teilkörper enthalten.
> >
> > In diesem Sinne ist das "der kleinste Körper".
> Natürlich enthält nicht jeder Körper einen
> zweielementigen Körper als Teilkörper. Dies gilt nur für
> die Körper der Charakteristik 2.
danke, da ist mir ein Satzteil verloren gegangen. Ich ergänze das!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 19.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen! :)
Ich denke, ich habe nun das scheinbare "Paradoxon" um 1+1=0 verstanden! ;)
Der eigentliche Schlüssel ist es, in einer Menge die Addition und die Multiplikation so zu definieren, dass sie widerspruchsfrei sind.
Man betrachte die Menge M:= {e,n}.
Nun definiere ich einfach mal die Addition wie ich gerade Lust habe, und zwar wie folgt, wobei e [mm] \not= [/mm] n.
[mm] \oplus: [/mm] M -> M
wobei: (1) e [mm] \oplus [/mm] n:= e und (2) n [mm] \oplus [/mm] e:= e
-> Hieraus folgt sofort, dass n das neutrale Element bezüglich der Addition ist.
Weiterhin definiere ich (3) n [mm] \oplus [/mm] n:=n, was ja durchaus Sinn macht, denn das Nullelement verändert ja nichts, so wie oben.
Nun das, was ich bisher nicht verstanden habe: (4) e [mm] \oplus [/mm] e:= n.
Es gibt ja 2 Möglichkeiten, nämlich diese, oder eben e [mm] \oplus [/mm] e:=e. Allerdings wäre in diesem Fall e das neutrale Element bezüglich der Addition. Nach Definition habe ich aber bereits "n" als das neutrale Element definiert .. insgesamt darf es ja nur 1 neutrales Element geben. Somit muss der Richtigkeit halber gelten: e [mm] \oplus [/mm] e:= n. Hieraus folgt, dass e gleichzeitig das inverse Element zu sich selbst ist.
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 So 20.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christian,
> Hallo zusammen! :)
>
> Ich denke, ich habe nun das scheinbare "Paradoxon" um 1+1=0
> verstanden! ;)
>
> Der eigentliche Schlüssel ist es, in einer Menge die
> Addition und die Multiplikation so zu definieren, dass sie
> widerspruchsfrei sind.
nein, Du definierst etwas so, dass es die Axiome, die es erfüllen soll, auch
erfüllt. 
Aber strenggenommen bist Du gar nicht "der Definator" - Du vermischst
hier Deine eigentliche Aufgabe mit dem, was die Aufgabe des Aufgabenstellers
an Dich war.
> Man betrachte die Menge M:= {e,n}.
>
> Nun definiere ich einfach mal die Addition wie ich gerade
> Lust habe,
Ne, siehe oben.
> und zwar wie folgt, wobei e [mm]\not=[/mm] n.
>
> [mm]\oplus:[/mm] M -> M
>
> wobei: (1) e [mm]\oplus[/mm] n:= e und (2) n [mm]\oplus[/mm] e:= e
> -> Hieraus folgt sofort, dass n das neutrale Element
> bezüglich der Addition ist.
Das folgt daraus noch nicht, denn:
> Weiterhin definiere ich (3) n [mm]\oplus[/mm] n:=n,
das muss dafür auch gelten. Würdest Du
$n [mm] \oplus [/mm] n:=e$
setzen, so wäre beim Tripel $(M, [mm] \oplus,\odot)$ [/mm] jedenfalls [mm] $n\,$ [/mm] nicht bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] das
neutrale Element. Warum?
> was ja durchaus
> Sinn macht, denn das Nullelement verändert ja nichts, so
> wie oben.
>
> Nun das, was ich bisher nicht verstanden habe: (4) e [mm]\oplus[/mm]
> e:= n.
Das ist eine Definition! Würdest Du hier nun
$e [mm] \oplus [/mm] e:=e$
setzen und zudem
a) $e [mm] \oplus [/mm] n:=n [mm] \oplus [/mm] e:=e$
und
b) $n [mm] \oplus [/mm] n:=n$
gesetzt haben (aus a) und b) folgt, dass [mm] $n\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] das neutrale Element ist),
so hätte $e [mm] \in [/mm] M$ bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] kein inverses Element in [mm] $n\,:$
[/mm]
Es wäre nämlich
$e [mm] \oplus [/mm] n=e [mm] \not=n$
[/mm]
und
$e [mm] \oplus [/mm] e=e [mm] \not=n\,.$
[/mm]
> Es gibt ja 2 Möglichkeiten, nämlich diese, oder eben e
> [mm]\oplus[/mm] e:=e. Allerdings wäre in diesem Fall e das neutrale
> Element bezüglich der Addition. Nach Definition habe ich
> aber bereits "n" als das neutrale Element definiert ..
> insgesamt darf es ja nur 1 neutrales Element geben. Somit
> muss der Richtigkeit halber gelten: e [mm]\oplus[/mm] e:= n. Hieraus
> folgt, dass e gleichzeitig das inverse Element zu sich
> selbst ist.
>
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Jein. Du machst Dir viel zu viele Gedanken in Richtung
"Was muss gelten, damit da ein Körper vorliegt?"
Das ist ja auch gut, aber man verlangt da etwas weniger von Dir:
Du sollst Dir nur Gedanken machen:
"Wenn man Dir ... vorlegt, dann erfüllt das vorgelegte das Folgende: ..."
Du bist also weniger "Konstrukteur" als vielmehr "Kontrolleur".
Auch, wenn ich Deine "Konstruktionsgedanken" durchaus für sinnvoll halte.
Aber das ganze ist in etwa so, dass Du unterscheiden solltest:
Wenn man Dir sagt:
Ist $x > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $x^2 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Deine Aufgabe wäre es dann, aus der Voraussetzung
$x > [mm] 0\,$
[/mm]
zu folgern, dass dann [mm] $x^2 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] gilt.
Dass Du Dir jetzt überlegen würdest, dass doch (für reelles [mm] $x\,$)
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] > 0$ [mm] $\iff$ [/mm] ($x < [mm] 0\,$ [/mm] oder $x > [mm] 0\,$)
[/mm]
gilt, wäre zwar schön, aber soviel musst Du gar nicht tun...
Und übrigens: Natürlich könnte ich oben auch
$n [mm] \leftrightarrow e$
vertauschen, und das Ding wäre immer noch ein Körper. Ich hätte nur die
"additive Null" halt jetzt (unintuitiverweise) $e\,$ genannt und die "multiplikative
Eins" (unintuitiverweise) $n\,$ genannt.
Löse Dich halt am Besten wirklich mal komplett von Begriffen wie
"Addition bzw. Plusrechnung" und "(additiver) Null"
sowie
"Multiplikation bzw. Malrechnung" und "(multiplikativer) Eins".
Bei der Analogie, die Dir UniversellesObjekt mal vorgeschlagen hatte:
gerade+gerade=gerade
ist mir dahingehend auch zu viel "Verknüpfung an bekannte, alltägliche
Operationen" gegeben.
Stell' Dich mal auf den Standpunkt, dass Du noch vor der Grundschule bist,
und weder Zahlen noch Addition noch Multiplikation überhaupt kennen
würdest und gehe damit die Aufgabe an.
P.S. Vielleicht mal ein besseres Beispiel zu der *Kritik an Deiner Herangehensweise*:
Nehmen wir an, jemand wollte von Dir
$x > 3\,$ $\Rightarrow$ $x^2 > 9$
bewiesen haben. Jetzt gehst Du hin und machst
$x^2 > 9$ $\red{\;\Rightarrow\;}$ $(x+3)*(x-3) > 0\,$
und sagst, dass Du damit fertig wärst, wenn ja $x > 3\,$ ist. Das stimmt nicht,
denn das Entscheidende ist:
$(x+3)*(x-3) > 0\,$ $\Rightarrow$ $x^2 > 9\,,$
(also genau "der rote Pfeil in umgekehrter Richtung!")
wobei auch hier noch der Beweisteil
Es ist $x > 3\,,$ und dann folgt:
$x > 3\,$
$\Rightarrow$ $(x+3)*(x-3) > 0\,$
zu ergänzen wäre.
So ähnlich ist Deine Vorgehensweise oben: Man sagt Dir, dass Du bei "den
und den Gegebenheiten nachprüfen sollst, dass die Struktur ein Körper ist",
und Du überlegst Dir, warum denn die Struktur so definiert ist, wie sie
definiert ist, und was bei einer anderen Definition schiefgehen würde. Das
sind durchaus gute Gedanken, aber der Knackpunkt ist viel einfacher:
"Nimm' das Ding und prüfe nach, dass alles, was bei der algebraischen
Struktur *Körper* erfüllt sein muss, auch erfüllt ist."
Dass Du bei der "Suche nach einem (sogar dem) neutralen Element bzgl.
$\odot$ bzw. $\oplus$" eventuell Zusatzüberlegungen der Art "notwendig
ist..." anstellst, ist ja okay - aber selbst das bräuchtest Du nur auf einem
Schmierzettel und wäre für den Beweis nicht wichtig.
Mal ein anderes Beispiel: Wenn ich Dir sage, dass es für jede echt positive
reelle Zahl $p > 0\,$ eine reelle Zahl $x\,$ mit
$x^2=p$
gibt, und Du micht um einen Beweis bittest (nehmen wir 'Kenntnisse über
Wurzeln mal als bekannt an'!), dann sage ich Dir einfach nur:
$x:=\,-\;\sqrt{p}$ tut's doch.
Wenn Du dann sagst:
"Ne, Du musst schon
$x=\pm \sqrt{p}$
sagen..."
Dann ist das zwar okay, dass Du "alles vollständig" angibst, aber es ändert
nichts daran, dass meine Angabe für das, was ich behauptet habe, vollkommen
gereicht hat. Ich habe ja nie gesagt, dass "nur" meine Lösung die
behauptete Gleichung erfüllt...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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