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Forum "Determinanten" - Det=+/- 1 => Lösung ganzzahlig
Det=+/- 1 => Lösung ganzzahlig < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Det=+/- 1 => Lösung ganzzahlig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Di 06.07.2010
Autor: stk66

Aufgabe
Sei [mm] A=(a_{ij})\in M_{n}(\IQ) [/mm] eine Matrix mit [mm] a_{ij}\in\IZ \forall [/mm] i,j und [mm] det(A)\in [/mm] { [mm] \pm [/mm] 1}, und sei [mm] \IQ^{n} [/mm] ein Vektor mit ganzzahligen Einträgen.
Zeige, dass genau ein [mm] x\in\IQ^{n} [/mm] existiert mit [mm] A\cdot [/mm] x=b, und dass alle Einträge von x in [mm] \IZ [/mm] liegen.

Es soll gezeigt werden, dass für den obigen Fall [mm] A\cdot x=\vektor {b_1 \\ \vdots \\ b_n} [/mm] genau eine Lösung x existiert bei der alle Einträge ganzzahlig sind.
Hierzu habe ich die Cramer'sche Regel angewendet um x zu bestimmen. Sei hierzu [mm] \alpha_i [/mm] die i-te Spalte von A und [mm] A_{ij} [/mm] die Matrix, bei der von A die i-te Zeile und j-te Spalte entfernt wurde.
Dann ergibt sich:
[mm] x_i=\bruch{|\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{i-1} b \alpha_{i+1} \cdots \alpha_n |}{|A|} [/mm]
Entwicklung der Determinante des Zählers nach der i-ten Spalte:
[mm] x_i=\bruch{(-1)^{1+i}\cdot b_1\cdot |A_{1i}|+\cdots+(-1)^{n+i}\cdot b_n\cdot |A_{ni}|}{|A|} [/mm]

Da ich weiss, dass [mm] |A|\in [/mm] { [mm] \pm [/mm] 1} muss ich nun zeigen, dass der Zähler auch ganzzahlig ist. [mm] b_i [/mm] ist laut Aufgabenstellung auch ganzzahlig. Genau wie die Einträge der Matrizen [mm] A_{ij} [/mm] auch.
Kann ich daraus folgern, dass [mm] det(A_{ij}) [/mm] auch ganzzahlig ist?
Wie komme ich nun noch zur Eindeutigkeit von i?



        
Bezug
Det=+/- 1 => Lösung ganzzahlig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 06.07.2010
Autor: fred97


> Sei [mm]A=(a_{ij})\in M_{n}(\IQ)[/mm] eine Matrix mit [mm]a_{ij}\in\IZ \forall[/mm]
> i,j und [mm]det(A)\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

1}, und sei [mm]\IQ^{n}[/mm] ein Vektor mit

> ganzzahligen Einträgen.
>  Zeige, dass genau ein [mm]x\in\IQ^{n}[/mm] existiert mit [mm]A\cdot[/mm]
> x=b, und dass alle Einträge von x in [mm]\IZ[/mm] liegen.
>  Es soll gezeigt werden, dass für den obigen Fall [mm]A\cdot x=\vektor {b_1 \\ \vdots \\ b_n}[/mm]
> genau eine Lösung x existiert bei der alle Einträge
> ganzzahlig sind.
>  Hierzu habe ich die Cramer'sche Regel angewendet um x zu
> bestimmen. Sei hierzu [mm]\alpha_i[/mm] die i-te Spalte von A und
> [mm]A_{ij}[/mm] die Matrix, bei der von A die i-te Zeile und j-te
> Spalte entfernt wurde.
>  Dann ergibt sich:
>  [mm]x_i=\bruch{|\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{i-1} b \alpha_{i+1} \cdots \alpha_n |}{|A|}[/mm]
>  
> Entwicklung der Determinante des Zählers nach der i-ten
> Spalte:
>  [mm]x_i=\bruch{(-1)^{1+i}\cdot b_1\cdot |A_{1i}|+\cdots+(-1)^{n+i}\cdot b_n\cdot |A_{ni}|}{|A|}[/mm]
>  
> Da ich weiss, dass [mm]|A|\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

1} muss ich nun zeigen,

> dass der Zähler auch ganzzahlig ist. [mm]b_i[/mm] ist laut
> Aufgabenstellung auch ganzzahlig. Genau wie die Einträge
> der Matrizen [mm]A_{ij}[/mm] auch.
>  Kann ich daraus folgern, dass [mm]det(A_{ij})[/mm] auch ganzzahlig
> ist?


Na klar. Wenn eine quadratische Matrix Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat, so ist ihre Det. ganzzahlig, denn die Det. ist Summe von Produkten ganzer Zahlen.

>  Wie komme ich nun noch zur Eindeutigkeit von i?

Du meinst  Eindeutigkeit von  x ?

A ist doch invertierbar, also ist $x= [mm] A^{-1}b$ [/mm]

FRED

>  
>  


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