Det eines Endomorphimus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 So 22.07.2007 | | Autor: | twoways |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi: \IR \mapsto \IR [/mm] der Endomorphimus mit
[mm] \phi [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{ -1/5 \\ 7/5 } [/mm] und
[mm] \phi [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ -1} \mapsto \vektor{ -7/5 \\ -1/5 }
[/mm]
a) Bestimme Determinate von [mm] \phi
[/mm]
b) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Standardbasis an. |
So ich habe mir gedacht, dass ich die Determinate ganz einfach berechne aus [mm] det(\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }) [/mm] = -2.
Da die Determinate det( [mm] \phi [/mm] ) = det(A) ist.
Oder ist der Ansatz falsch?
Also generell überlege ich wie ich an die Abbildungsmatrix kommen soll in diesem Fall.
Und für b) finde ich keine Lösungsidee...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]\phi: \IR \mapsto \IR[/mm] der Endomorphimus mit
> [mm]\phi[/mm] : [mm]\vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{ -1/5 \\ 7/5 }[/mm] und
> [mm]\phi[/mm] : [mm]\vektor{1 \\ -1} \mapsto \vektor{ -7/5 \\ -1/5 }[/mm]
>
> a) Bestimme Determinate von [mm]\phi[/mm]
> b) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl. der
> Standardbasis an.
> So ich habe mir gedacht, dass ich die Determinate ganz
> einfach berechne aus [mm]det(\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 })[/mm] = -2.
>
> Da die Determinate det( [mm]\phi[/mm] ) = det(A) ist.
> Oder ist der Ansatz falsch?
Hallo,
zunächst einmal ist die Determinante falsch ausgerechnet. Da kommt Null heraus - aber ich glaube, daß nur ein Tippfehler dahintersteckt.
Wahrscheinlich meintest Du [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.
[/mm]
Allerdings ist diese Matrix für das, was Du vorhast, verkehrt. Später kannst Du diese gebrauchen.
Für die Det. des Endomorphismus benötigst Du die Abbildungsmatrix, was Du anscheinend schon ahnst.
>
> Also generell überlege ich wie ich an die Abbildungsmatrix
> kommen soll in diesem Fall.
Das ist nicht so schwer:
Sei [mm] E:=(e_1, e_2) [/mm] die Standardbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
[mm] b_1:=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] b_2:=\vektor{1 \\ -1} [/mm] bilden zusammen die Basis [mm] B:=(b_1, b_2).
[/mm]
(Mach Dir klar, daß das so ist.)
Die Abbildungsmatrix bekommst Du nun, indem Du Dir die Bilder von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. B überlegst.
(Alternativ: die Bilder von [mm] e_1, e_2 [/mm] bzgl. E, aber das heben wir uns für Teil b) auf.)
Ich mache Dir das für [mm] b_1 [/mm] vor, [mm] b_2 [/mm] ist dann Dein Job:
[mm] \phi (b_1)=\phi \vektor{1 \\ 0}_B=\phi \vektor{1 \\ 1}_E= \vektor{ -1/5 \\ 7/5 }_E=\bruch{3}{5}b_1+(-\bruch{4}{5})b_2=\vektor{\bruch{3}{5} \\ -\bruch{4}{5}}_B,
[/mm]
und das ist die erste Spalte der Abbildungsmatrix [mm] M_B_B(\phi).
[/mm]
Ich hoffe, daß sich die Indizes an den Vektoren weitgehend selbst erklären. Sie geben an, bzgl. welcher Basis die Koordinaten gemeint sind.
Nun berechne
[mm] \phi (b_2)=...,
[/mm]
stell die Abbildungsmatrix auf und berechne die Determinante.
>
> Und für b) finde ich keine Lösungsidee...
Aus a) hast Du die Matrix [mm] M_B_B(\phi). [/mm]
Um die gesuchte Matrix zu erhalten, mußt Du
hinten die Matrix dranmultiplizieren, die Dir die Basisvektoren v. E in Koordinaten bzgl. B umwandelt,
und vorn die Matrix, welche Dir die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. E liefert. (Diese Matrix kann man sehr einfach aufstellen.)
Noch eine Bemerkung: natürlich kann man auch die Abbildungsmatrizen [mm] M_E_B(\phi) [/mm] und [mm] M_B_E(\phi) [/mm] aufstellen.
Sie taugen aber nicht für die Ermittlung der Determinante des Endomorphismus. Da braucht man gleiche Basen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi: \IR \mapsto \IR [/mm] der Endomorphimus mit
[mm] \phi [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{ -1/5 \\ 7/5 } [/mm] und
[mm] \phi [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ -1} \mapsto \vektor{ -7/5 \\ -1/5 } [/mm]
a) Bestimme Determinate von [mm] \phi [/mm]
b) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Standardbasis an. |
Das heißt also im Klartext, dass ich das lineare Gleichungssystem lösen muss: um Punkt a) zu erhalten?
Für [mm] b_1:
[/mm]
[mm] \vektor{ -\bruch{1}{5} \\ \bruch{7}{5}} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{ 1 \\ -1 }
[/mm]
mit [mm] \vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} \vektor{ 3 \\ -4}
[/mm]
und für [mm] b_2:
[/mm]
[mm] \vektor{ -\bruch{7}{5} \\ -\bruch{1}{5}} [/mm] = [mm] \lambda_3 \vektor{ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \lambda_4 \vektor{ 1 \\ -1 }
[/mm]
mit [mm] \vektor{ \lambda_3 \\ \lambda_4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} \vektor{ -10 \\ 3}
[/mm]
Was letztendlich auf die folgende Abbildungsmatrix führt:
A := [mm] \bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -10 \\ -4 & 3 }
[/mm]
Und jetzt die Determinate berechnen zu A, und das liefert mir ebenfalls immer [mm] Det(\phi) [/mm] und ist somit det(A) := [mm] \bruch{1}{5}(3 [/mm] * 3 - 40) = [mm] \bruch{-31}{5}
[/mm]
Habe ich dies soweit korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo 2ways,
>
>
> > a) Bestimme Determinate von [mm]\phi[/mm]
> > b) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl. der
> > Standardbasis an.
> >
> > Das heißt also im Klartext, dass ich das lineare
> > Gleichungssystem lösen muss: um Punkt a) zu erhalten?
> >
> > Für [mm]b_1:[/mm]
> > [mm]\vektor{ -\bruch{1}{5} \\ \bruch{7}{5}}[/mm] = [mm]\lambda_1 \vektor{ 1 \\ 1 }[/mm]
> > + [mm]\lambda_2 \vektor{ 1 \\ -1 }[/mm]
> > mit [mm]\vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{5} \vektor{ 3 \\ -4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > und für [mm]b_2:[/mm]
> > [mm]\vektor{ -\bruch{7}{5} \\ -\bruch{1}{5}}[/mm] = [mm]\lambda_3 \vektor{ 1 \\ 1 }[/mm]
> > + [mm]\lambda_4 \vektor{ 1 \\ -1 }[/mm]
> > mit [mm]\vektor{ \lambda_3 \\ \lambda_4}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{5} \vektor{ -10 \\ 3}[/mm]
> >
> > Was letztendlich auf die folgende Abbildungsmatrix führt:
> >
> > A := [mm]\bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -10 \\ -4 & 3 }[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ich kann dies nicht glauben. Wenn ich diese Matrix verwende, erhalte ich
[mm]A\vektor{1\\1}=\vektor{-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}}\neq \vektor{-\frac{1}{5}\\ \frac{7}{5}}[/mm]
und
[mm]A\vektor{1\\-1}=\vektor{\frac{13}{5}\\-\frac{7}{5}}\neq \vektor{-\frac{7}{5}\\ -\frac{1}{5}}[/mm]
Ein einfacherer Weg, die Bilder der Basisvektoren der Standardbasis [mm] $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ [/mm] zu finden, wäre meiner Meinung nach, wegen
[mm]\vec{x_1}:= \vektor{1\\1}, \vec{x}_2:=\vektor{1\\-1}\Rightarrow \vec{e}_1=\frac{1}{2}(\vec{x}_1+\vec{x}_2), \vec{e}_2 = \frac{1}{2}(\vec{x}_1-\vec{x}_2)[/mm],
folgender:
[mm]\phi(\vec{e_1})=\phi\big(\frac{1}{2}(\vec{x}_1+\vec{x}_2)\big)=\frac{1}{2}\big(\phi(\vec{x}_1)+\phi(\vec{x}_2)\big)=\frac{1}{2}\left[\vektor{-\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}}+\vektor{-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}}\right]=\vektor{-\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}}[/mm]
und
[mm]\phi(\vec{e_2})=\phi\big(\frac{1}{2}(\vec{x}_1-\vec{x}_2)\big)=\frac{1}{2}\big(\phi(\vec{x}_1)-\phi(\vec{x}_2)\big)=\frac{1}{2}\left[\vektor{-\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}}-\vektor{-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}}\right]=\vektor{\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}}[/mm]
Meiner Meinung nach wäre daher die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis gleich
[mm]A = \pmat{-\frac{4}{5} & \frac{3}{5}\\\frac{3}{5} & \frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\pmat{-4 & 3\\3 & 4}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
| Aufgabe | | Wo liegt der Fehler? |
Also meine Methode müßte ja eigentlich auch zum Erfolg führen.
Aber wo ist der Fehler?
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> Wo liegt der Fehler?
> Also meine Methode müßte ja eigentlich auch zum Erfolg
> führen.
> Aber wo ist der Fehler?
Hallo,
ich habe jetzt mal aus dem vorhergehenden extrahiert, daß Du der Meinung bist, daß die Matrix A mit
A:=$ [mm] \bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -4 \\ -4 & -3 } [/mm] $
die Abbildung [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basis B darstellt.
Jetzt gucken wir doch einfach mal nach, ob's stimmt:
[mm] Ab_1=\bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -4 \\ -4 & -3 }b_1 =\bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -4 \\ -4 & -3 }\vektor{1 \\ 0}_B =\bruch{1}{5}\vektor{3 \\ -4}_B =\bruch{1}{5}(3b_1-4b_2)=\bruch{1}{5}\vektor{-1 \\ 7}_E. [/mm]
Das stimmt also schonmal.
Nun der andere:
[mm] Ab_2=\bruch{1}{5} \pmat{ 3 & -4 \\ -4 & -3 }\vektor{0 \\ 1}_B =\bruch{1}{5}\vektor{-4 \\ -3}_B =\bruch{1}{5}(-4b_1-3b_2) =\bruch{1}{5}\vektor{-7 \\-1}_E
[/mm]
Stimmt auch!
Die Abbildungsmatrix ist jetzt also richtig. Du kannst nun die Determinante berechnen.
(Später, wenn Du die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. E hast, solltest Du die Determinanten vergleichen. Es muß dasselbe herauskommen.)
Vorsicht übrigens beim Berechnen der Determinante - überleg Dir genau, was mit dem [mm] \bruch{1}{5} [/mm] passiert. Im Zweifelsfalle nimm's in die Matrix, dann kannst Du nichts falsch machen.
Nun zu b)
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten.
1. Entweder Du gehst, wie ich es gestern bereits schilderte, von der nun gewonnenen Darstellung A [mm] (=M_BB(\phi)) [/mm] aus und multiplizierst die passenden Transformationsmatrizen vorne und hinten dran.
2. Du führst das Procedere, welches wir oben für B durchgeführt haben, für die Matrix E durch.
3. Aus den Angaben, die Du hast kannst Du ohne Rechnen die Matrix M_BE aufstellen. Indem Du hinten die passende Transformationsmatrix heranmultiplizierst, die, die Dir die Basisvektoren von E in Darstellung bzgl. B liefert, erhältst Du die gesuchte Matrix.
OHHHHHH. Der Thread ist inzwischen doch etwas unübersichtlich, und ich sehe, daß ich wohl auf das Falsche geantwortet habe!
Also:
Abgesehen davon, daß Du diese Matrix nicht auch A nennen solltest, bin ich mit der von Dir gefundenen Darstellung bzgl. der Standardbasis in vollem Umfange einverstanden. Man sieht auch, daß die Determinanten übereinstimmen - was nichts daran ändert, daß Du sie noch richtig berechnen mußt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Vielen Dank für die Unterstützung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Sehe ich es Richtig, dass ich für b) nur noch statt der
> Vektoren (1,1) und (1,-1) einfach (1,0) und (0,1)
> einsetzte?
Wenn man die Matrix $A$ der linearen Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] direkt bezüglich der Standardbasis [mm] $\vec{e}_{1,2}$ [/mm] bestimmt, wie ich dies in der Mitteilung https://www.vorhilfe.de/read?i=284670 vorgeschlagen habe, ist $A$ bereits die als Antwort auf Teilaufgabe b) gesuchte Abbildungsmatrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Okay, aber was ist an dem alternativen Rechenweg falsch? Die Determinate von beinden Ergebnissen ist die Selbe, da diese bei einem Endomorphismus unabhängig der gewählten Basis ist.
Ich schließe daraus, dass, was von mir berechnet wurde eben zu keine Abbildungsmatrix führt - aber eigentlich sollt es dies...
Die zweite vorgestellte Methode akzeptiere ich; aber das Verfahren von mir sollte doch auch zu einer korrekten Abbildungsmatrix führen... - Ich finde nur nicht den "Fehler" in selbiger vorgehensweise.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Okay, aber was ist an dem alternativen Rechenweg falsch?
> Die Determinate von beinden Ergebnissen ist die Selbe, da
> diese bei einem Endomorphismus unabhängig der gewählten
> Basis ist.
>
> Ich schließe daraus, dass, was von mir berechnet wurde eben
> zu keine Abbildungsmatrix führt - aber eigentlich sollt es
> dies...
>
> Die zweite vorgestellte Methode akzeptiere ich; aber das
> Verfahren von mir sollte doch auch zu einer korrekten
> Abbildungsmatrix führen... - Ich finde nur nicht den
> "Fehler" in selbiger vorgehensweise.
Du hast (wie Angela festgestellt hat) keinen Fehler gemacht. Ich hatte irrtümlich angenommen, dass "die Abbildungsmatrix" bezüglich der Standardbasis aufzufassen ist. Es ist ja an sich sinnlos von einer Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung zu sprechen, ohne Angabe einer Basis. Da in Teilaufabe b) ohnehin die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis verlangt war, kam ich (der ich die vorangegangenen Erklärungen von Angela nicht gelesen hatte) gar nicht auf den Gedanken, dass Du die Abbildungsmatrix bezüglich der von Angela mit [mm] $\vec{b}_{1,2}$ [/mm] bezeichneten Basis hättest berechnen wollen (was aber tatsächlich der Fall war). (Weil [mm] $\vec{b}_{1,2}$ [/mm] so spezielle Vektoren sind, konnte ich ja die Bilder der Standardbasisvektoren unter [mm] $\phi$ [/mm] praktisch im Kopf ausrechnen: ein Grund mehr, zuerst Teilaufgabe b) und danach erst Teilaufgabe a) zu lösen...)
Ich bitte also nachträglich um Verzeihung für mein zuwenig sorgfältiges Einlesen in den Kontext des ganzen Threads, bevor ich meinen Senf dazugeben zu müssen glaubte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Kein Problem; es hat das Denken angeregt.
Zumindest bin ich nun etwas schlauer...
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