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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 06.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo liebe Mathematiker/in. Ich verstehe diese Aufgabe schon , aber ich weiß noch nicht warum das so ist, deswegen kann ich dass nicht so beweisen.
Sei A eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen einträgen. Zeigen Sie dass Die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
a) Die Einträge von [mm] A^{-1} [/mm] sind auch ganzzahlig,
b) |det(A)|=1
Ich habe mir mit einheitsmatrix gedanken gemacht, aber Sie hat ja keien Inverse oder? Aber hat die Determinante 1. Ist das immer so Wenn der Determinante 1 ist, sind dann die einträge in Inverse auch ganze Zahlen?
Ich danke für die Hilfe.
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hallo!
also die inverse Matrix ist wie folgt definiert:
A^(-1)= 1/(det (A)) * [mm] \pmat{ a11 &... & a1n \\ .... \\ an1 & .... & ann }
[/mm]
wobei a element der adjungierten matrix ist. dabei werden aber nur zeilen und vorzeichen vertauscht.
da 1/(det (A)) ein Skalar ist wird dies mit jeder komponente multipliziert.
-> die einträge von der inversen sind genau dann ganzzahlig wenn die Determinante von A [mm] \pm [/mm] 1 sind.
-> die Einträge von A sind ganzzahlig <-> |det(A)|
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 08.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, jetz habe ich eine Frage lieber Mathematiker/in. Ich hoffe das bekommen wir hin.
Sei A eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen Einträgen.
Ich sollte ja zeigen dass a),b) aquivalent sind.
a) Die Einträge von [mm] A^{-1} [/mm] sind auch ganzzahlig
b)|det(A)|=1
Hinrichtung [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] A^{-1}= \bruch{1}{det(A)} [/mm] * [mm]\pmat{ A11 &... & A1n \\ .... \\ An1 & .... & Ann }[/mm]
ok so finde ich die Inverse matrix zu A.
Also ich soll jedes Element von meinem Matrix[mm]\pmat{ A11 &... & A1n \\ .... \\ An1 & .... & Ann }[/mm]
mit der [mm] (\bruch{1}{det(A)}) [/mm] Inverse von det(A) multiplizieren.
wieso ist dann die Inverse Matrix ganzzahlig. verstehe ich nicht so.
Ich weiß ja dass ich die Anjungierte oder Anjungiert Transponierte Matrix zu verfügung habe. so findet mann ja die Inverse, aber dass verstehe ich nicht. Das ist ja keien beweis oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo NECO,
> Hallo, jetz habe ich eine Frage lieber Mathematiker/in. Ich
> hoffe das bekommen wir hin.
>
> Sei A eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen
> Einträgen.
> Ich sollte ja zeigen dass a),b) aquivalent sind.
>
> a) Die Einträge von [mm]A^{-1}[/mm] sind auch ganzzahlig
> b)|det(A)|=1
>
> Hinrichtung [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> [mm]A^{-1}= \bruch{1}{det(A)}[/mm] * [mm]\pmat{ A11 &... & A1n \\ .... \\ An1 & .... & Ann }[/mm]
>
> ok so finde ich die Inverse matrix zu A.
>
> Also ich soll jedes Element von meinem Matrix[mm]\pmat{ A11 &... & A1n \\ .... \\ An1 & .... & Ann }[/mm]
>
> mit der [mm](\bruch{1}{det(A)})[/mm] Inverse von det(A)
> multiplizieren.
>
> wieso ist dann die Inverse Matrix ganzzahlig. verstehe ich
> nicht so.
Ich fürchte, da fasst a) und b) als zwei Unteraufgaben auf, dabei sollst du doch deren Äquivalenz zeigen!
Also teilst du den Beweis in den Teil
"a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b)": Wenn die Einträge von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ganzzahlig sind, dann [mm] $|\det(A)|=1$ [/mm] ist.
"b) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] a)": Wenn [mm] $|\det(A)|=1$ [/mm] ist, dann sind die Einträge von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ganzzahlig.
> Ich weiß ja dass ich die Anjungierte oder Anjungiert
> Transponierte Matrix zu verfügung habe. so findet mann ja
> die Inverse, aber dass verstehe ich nicht. Das ist ja keien
> beweis oder??
Soweit ich das sehe, versuchst du die Ganzzahligkeit der Einträge von [mm] $A^{-1}$ [/mm] zu zeigen -- die ist für die Hinrichtung aber doch gerade vorausgesetzt!
Für die "Hinrichtung" würde ich viel bequemer folgende Gleichheit ausnutzen (ggfs. vorher beweisen!)
[mm] $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$
[/mm]
Damit folgt es sofort.
Viel Spaß,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 08.06.2005 | | Autor: | NECO |
Ja hast recht. Aber das was du mir gegeben hast, was kann man damit.
Ich kann sagen wenn A invertierbar und mit ganzzahligen einträgen sind, dann ist die det(A)=Ganzezahl oder wie.
Kannst du bitte, wenn du Zeit hast mir für die Hinrichtung paar schritte machen? DANKE
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Hallo!
Also, keine Garantie für Richtigkeit...
[mm] "\Rightarrow": [/mm] (Voraussetzung ist, dass die Einträge von [mm] A^{-1} [/mm] ganzzahlig sind)
nach Marcs Tipp gilt: det [mm] A^{-1}=(det A)^{-1} [/mm] - das habt ihr vielleicht schon mal in der Vorlesung bewiesen
Wenn nun aber die Einträge von [mm] A^{-1} [/mm] ganzzahlig sind, dann ist auch die Determinante ganzzahlig (jedenfalls wüsste ich nicht, wie das anders sein soll, denn die Determinante besteht doch nur aus Summen von Produkten, und Summen und Produkte von ganzen Zahlen sind doch ganzzahlig, oder nicht?)
also muss auch (det [mm] A)^{-1} [/mm] ganzzahlig sein. Und da gilt:
(det [mm] A)^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det A} [/mm] folgt, dass |det A|=1 sein muss. Denn "Eins durch irgendwas" ergibt nur eine ganze Zahl, wenn dieses Irgendetwas entweder 1 oder -1 ist.
Ich weiß nicht, wie ich das noch anders erklären soll, zudem bin ich mir auch nicht 100%ig sicher, und die Rückrichtung weiß ich im Moment leider auch nicht...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Do 09.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Leute.
wer kann mir so klarer antwort geben. Ich mache mir auch so viel Gedanken. das was da steht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 09.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Also noch einmal:
Wenn [mm] $A^{-1}$ [/mm] ganzzahlige Einträge besitzt, dann auch [mm] $\det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)}$. [/mm] Daraus folgt unmittelbar: [mm] $|\det(A)|=1$.
[/mm]
Ist umgekert [mm] $|\det(A)|=1$, [/mm] dann argumentiert man so: Hat $A$ ganzzahlige Einträge, dann offenbar auch [mm] $A^{adj}$. [/mm] Wegen
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)} A^{adj}$ [/mm] und $ [mm] |\det(A)|=1$
[/mm]
sind dann aber auch die Einträge von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ganzzahlig.
Viele Grüße
Julius
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