Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:58 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien $A, [mm] B\in K^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $A\neq [/mm] 0$ und [mm] $B\neq [/mm] 0$, aber $AB=0$.
Beweisen, oder widerlegen sie
$det(A)=det(B)=0$ |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Habe ich diesen Beweis richtig geführt.
Ich sage, dass die Behauptung:
det(A)=det(B)=0
wahr ist.
Beweis:
Da AB=0 ist auch $det(AB)=0$. Also
$det(AB)=det(A)det(B)=0$
Wars das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Aus [mm] $\text{det}(A)\cdot\text{det}(B)=0$ [/mm] folgt aber nur [mm] $\text{det}(A)=0$ [/mm] oder [mm] $\text{det}(B)=0$, [/mm] nicht unbedingt dass beide 0 sein müssen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt...
Wie kann man denn nun folgern, dass auch die andere Determinante gleich Null sein muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:45 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo YuSul,
nur eine Idee und daher auch nur eine Mitteilung.
Wenn AB=0 sein soll und wir nehmen an, dass [mm] det(A)\not=0 [/mm] ist, dann wäre doch die Gleichung von links mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizierbar und das Produkt insgesamt aber immer noch =0. Also ist B=0, was aber im Widerspruch zur Voraussetzung ist. Analog für B. Daher müsste eigentlich det(A)=det(B)=0 sein, denn sonst würde die Voraussetzung [mm] A,B\not=0 [/mm] nicht passen.
maybe 
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 05.07.2014 | | Autor: | hippias |
Wenn ein Beweis einfach nicht gelingen will, sollte man die Moeglichkeit ins Auge fassen, dass die zu beweisende Vermutung falsch sein koennte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Aussage sollte aber stimmen, oder könntest du das Gegenteil beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 05.07.2014 | | Autor: | hippias |
Haha, netter Versuch! Die Frage ist, was DU beweisen kannst... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das war kein Versuch von mir. Die Frage wurde uns in einem ankreuz Test gestellt wo man mit "wahr" oder "falsch" antworten soll.
Nach der Lösung dieses Tests ist die Aussage wahr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 05.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Mein Tipp für ein Gegenbeispiel: [mm] K=\IF_2.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe ein wenig mit 2x2 Matrizen rum probiert, aber bisher noch keine Matrizen gefunden für die es klappt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Sa 05.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe ein wenig mit 2x2 Matrizen rum probiert, aber
> bisher noch keine Matrizen gefunden für die es klappt.
Du meinst: Für die es nicht klappt.
Ich kann mich natürlich auch irren. Ich probiere auch mal ein wenig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein, dein Beispiel klappt nicht.
det(A)=-1
det(B)=0
[mm] $AB\neq [/mm] 0$
Edit: Das es nicht klappt hast du anscheinend bereits selber gemerkt.
Wie gesagt, die Lösung des Quiz sagt, dass die Aussage richtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Sa 05.07.2014 | | Autor: | hippias |
Greife doch sonst einmal den Vorschlag von Herby auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das ist doch bereits die Lösung?
Diese Mitteilung ist mir bisher wohl entgangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 06.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> Nein, dein Beispiel klappt nicht.
>
> det(A)=-1
> det(B)=0
>
> [mm]AB\neq 0[/mm]
>
> Edit: Das es nicht klappt hast du anscheinend bereits
> selber gemerkt.
> Wie gesagt, die Lösung des Quiz sagt, dass die Aussage
> richtig ist.
es wurde ja schon gesagt, dass Herbys Mitteilung eigentlich alles enthält:
Wäre
[mm] $\det(A) \not=0\,,$
[/mm]
so existiert [mm] $A^{-1}$ [/mm] und es folgt aus
[mm] $A^{-1}*(A*B)=0$
[/mm]
(schnell) sofort der Widerspruch [mm] $B=0\,$ [/mm] (siehe Voraussetzung).
Wäre andererseits [mm] $\det(B) \not=0\,,$ [/mm] so überlege Dir analoges mit der Gleichung
[mm] $(A*B)*B^{-1}=0\,.$
[/mm]
Wichtig ist hier aber (vor allem, wenn jemand einen Beweis lesen will, und
es eben nicht nur eine Ankreuzfrage wäre), dass Du nicht einfach nur sagst,
dass der zweite Fall aus dem ersten durch Vertauschen der Rollen von [mm] $A\,$
[/mm]
und [mm] $B\,$ [/mm] folgt. Denn i.a. ist $AB [mm] \not=BA\,.$
[/mm]
Beispiel:
[mm] $A:=\pmat{1 & 1 \\ 2 & 2}$ [/mm] und [mm] $B:=\pmat{1 & 1 \\ -1 & -1}$
[/mm]
Du wirst leicht
$A*B=0$ [mm] $\left(\;=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}\;\right)$
[/mm]
einsehen.
Die erste Zeile von [mm] $B*A\,$ [/mm] summiert aber nur die entsprechende Spalte von
[mm] $A\,$ [/mm] auf, daher ist $B*A [mm] \not=0$ [/mm] schnell ersichtlich (natürlich kannst Du das
auch ausführlich nachrechnen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Herby |
Mahlzeit
eine kurze Rückfrage hätte ich hier bezüglich des Körpers [mm] \IK [/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] geschweige denn von [mm] \IC [/mm] die Rede, sondern von [mm] \IK
[/mm]
Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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> Mahlzeit
'N Abend
> eine kurze Rückfrage hätte ich hier bezüglich des
> Körpers [mm]\IK[/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung
> geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
>
> In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm]
> geschweige denn von [mm]\IC[/mm] die Rede, sondern von [mm]\IK[/mm]
>
> Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper
> spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann
> automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
Welche Voraussetzungen denn? Die Aussage gilt für jeden Körper und das hast du hier doch bereits selbst bewiesen. (Marcel auch nochmal in ausführlich)
>
> LG
> [Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Herby |
> > Mahlzeit
> 'N Abend
> > eine kurze Rückfrage hätte ich hier bezüglich des
> > Körpers [mm]\IK[/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung
> > geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
> >
> > In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm]
> > geschweige denn von [mm]\IC[/mm] die Rede, sondern von [mm]\IK[/mm]
> >
> > Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper
> > spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann
> > automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
> Welche Voraussetzungen denn? Die Aussage gilt für jeden
> Körper und das hast du hier doch bereits selbst bewiesen.
> (Marcel auch nochmal in ausführlich)
Warum gilt sie für jeden Körper?
Ich kann mir hunderte Beispiele kreieren, sofern ich [mm] \IQ,\ \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] verwende. Was ist aber mit anderen Konstrukten, die ebenfalls die Eigenschaften eines Körpers erfüllen (und von denen ich bis heute nichts weiß, weil ich sie mir gar nicht vorstellen kann)?
Wo ist also die Verbindung zwischen den Körperaxiomen und der angegeben Aussage für [mm] A,B\in\IK^{n\times n}
[/mm]
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
ps: ich möchte hier nicht ausschließen, dass ich einfach nur bekloppt denke.
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> > > Mahlzeit
> > 'N Abend
> > > eine kurze Rückfrage hätte ich hier bezüglich des
> > > Körpers [mm]\IK[/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung
> > > geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
> > >
> > > In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm]
> > > geschweige denn von [mm]\IC[/mm] die Rede, sondern von [mm]\IK[/mm]
> > >
> > > Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper
> > > spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann
> > > automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
>
> > Welche Voraussetzungen denn? Die Aussage gilt für jeden
> > Körper und das hast du hier doch bereits selbst bewiesen.
> > (Marcel auch nochmal in ausführlich)
>
> Warum gilt sie für jeden Körper?
>
> Ich kann mir hunderte Beispiele kreieren, sofern ich [mm]\IQ,\ \IR[/mm]
> oder [mm]\IC[/mm] verwende. Was ist aber mit anderen Konstrukten,
> die ebenfalls die Eigenschaften eines Körpers erfüllen
> (und von denen ich bis heute nichts weiß, weil ich sie mir
> gar nicht vorstellen kann)?
Ich kann mir die rationalen Zahlen grad noch vorstellen, bei den reellen setzt dann aus.
> Wo ist also die Verbindung zwischen den Körperaxiomen und
> der angegeben Aussage für [mm]A,B\in\IK^{n\times n}[/mm]
Was ist dir denn konkret an deinen Beweis (und an der ausführlichen Variante von Marcel) unklar?
> LG
> [Dateianhang nicht öffentlich] Herby
>
> ps: ich möchte hier nicht ausschließen, dass ich einfach
> nur bekloppt denke.
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:48 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
> > > > Mahlzeit
> > > 'N Abend
> > > > eine kurze Rückfrage hätte ich hier bezüglich
> des
> > > > Körpers [mm]\IK[/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung
> > > > geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
> > > >
> > > > In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm]
> > > > geschweige denn von [mm]\IC[/mm] die Rede, sondern von [mm]\IK[/mm]
> > > >
> > > > Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper
> > > > spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann
> > > > automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
> >
> > > Welche Voraussetzungen denn? Die Aussage gilt für jeden
> > > Körper und das hast du hier doch bereits selbst bewiesen.
> > > (Marcel auch nochmal in ausführlich)
> >
> > Warum gilt sie für jeden Körper?
> >
> > Ich kann mir hunderte Beispiele kreieren, sofern ich [mm]\IQ,\ \IR[/mm]
> > oder [mm]\IC[/mm] verwende. Was ist aber mit anderen Konstrukten,
> > die ebenfalls die Eigenschaften eines Körpers erfüllen
> > (und von denen ich bis heute nichts weiß, weil ich sie mir
> > gar nicht vorstellen kann)?
> Ich kann mir die rationalen Zahlen grad noch vorstellen,
> bei den reellen setzt dann aus.
> > Wo ist also die Verbindung zwischen den Körperaxiomen
> und
> > der angegeben Aussage für [mm]A,B\in\IK^{n\times n}[/mm]
> Was ist
> dir denn konkret an deinen Beweis (und an der
> ausführlichen Variante von Marcel) unklar?
solange ich mit [mm] \IQ,\ \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] handle, ist alles o.k. Damit ist die Welt aber noch nicht zu Ende. Also, gibt es eine Verknüpfung zwischen den Elementen einer Matrix aus K als [mm] \text{beliebigen} [/mm] Körper [und somit dem Körper selbst] und den Operationen, die ich mit einer Matrix durchführen kann? (z.B. ist $det(A)=0\ [mm] \gdw\ [/mm] Matrix\ nicht\ invertierbar$)
Zurück noch einmal zur Aufgabenstellung:
> Sei K ein Körper und seien [mm]A, B\in K^{n\times n}[/mm] mit [mm]A\neq 0[/mm]
> und [mm]B\neq 0[/mm], aber [mm]AB=0[/mm].
hier geht es los: man kann sich mit irgendwelchen Einträgen [mm] a_{i,j} [/mm] und [mm] b_{i,j} [/mm] AB=0 zurechtlegen.
> Beweisen, oder widerlegen sie
>
> [mm]det(A)=det(B)=0[/mm]
wenn das so wäre, dann würde es bedeuten, dass wenn immer ich einen Körper (also eine entsprechende algebraische Struktur) habe, dass mit det(A)=0 die Matrix nicht invertierbar wäre. Ist das so? Warum?
Mir geht es also nicht um den Beweis der Aussage, sondern worauf sie sich abstützt.
edit: ggf. kann man es mit der Bijektivität zeigen (auch nur eine Idee).
edit2: Wikipedia erläutert ![[]](/images/popup.gif) die Existenz der inversen Matrix so, was in Verbindung mit diesem Sript:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Dipper-WS0910/skript/SkriptLA.pdf [insb. Abschnitt 5.6 Seite 76]
vielleicht auch schon einmal weiterhilft. Was mich an den ganzen Aussagen immer irritiert, ist das Wort 'falls'. <-- also, 'falls nicht' ...???
(hätte in der Aufgabenstellung [mm] \IR^{n\times n} [/mm] gestanden, dann hätte ich auch eine 'Antwort' geschrieben - denn dann hätte die Kombination AB=0 und det(A)=det(B)=0 gepasst, bei anderen bin ich mir nicht sicher)
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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> Salut,
>
> > > > > Mahlzeit
> > > > 'N Abend
> > > > > eine kurze Rückfrage hätte ich hier
> bezüglich
> > des
> > > > > Körpers [mm]\IK[/mm] - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung
> > > > > geschrieben und bin auch noch kein Stück weiter.
> > > > >
> > > > > In der Aufgabenstellung ist nicht von [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm]
> > > > > geschweige denn von [mm]\IC[/mm] die Rede, sondern von [mm]\IK[/mm]
> > > > >
> > > > > Kann ich davon ausgehen, dass wenn ich von einem Körper
> > > > > spreche (also wenn K ein Körper ist), dass dann
> > > > > automatisch die angesprochenen Voraussetzungen gelten?
> > >
> > > > Welche Voraussetzungen denn? Die Aussage gilt für jeden
> > > > Körper und das hast du hier doch bereits selbst bewiesen.
> > > > (Marcel auch nochmal in ausführlich)
> > >
> > > Warum gilt sie für jeden Körper?
> > >
> > > Ich kann mir hunderte Beispiele kreieren, sofern ich [mm]\IQ,\ \IR[/mm]
> > > oder [mm]\IC[/mm] verwende. Was ist aber mit anderen Konstrukten,
> > > die ebenfalls die Eigenschaften eines Körpers erfüllen
> > > (und von denen ich bis heute nichts weiß, weil ich sie mir
> > > gar nicht vorstellen kann)?
> > Ich kann mir die rationalen Zahlen grad noch
> vorstellen,
> > bei den reellen setzt dann aus.
> > > Wo ist also die Verbindung zwischen den
> Körperaxiomen
> > und
> > > der angegeben Aussage für [mm]A,B\in\IK^{n\times n}[/mm]
>
> > Was ist
> > dir denn konkret an deinen Beweis (und an der
> > ausführlichen Variante von Marcel) unklar?
>
> solange ich mit [mm]\IQ,\ \IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] handle, ist alles o.k.
> Damit ist die Welt aber noch nicht zu Ende. Also, gibt es
> eine Verknüpfung zwischen den Elementen einer Matrix aus K
> als [mm]\text{beliebigen}[/mm] Körper [und somit dem Körper
> selbst] und den Operationen, die ich mit einer Matrix
> durchführen kann? (z.B. ist [mm]det(A)=0\ \gdw\ Matrix\ nicht\ invertierbar[/mm])
>
>
> Zurück noch einmal zur Aufgabenstellung:
>
> > Sei K ein Körper und seien [mm]A, B\in K^{n\times n}[/mm] mit [mm]A\neq 0[/mm]
> > und [mm]B\neq 0[/mm], aber [mm]AB=0[/mm].
>
> hier geht es los: man kann sich mit irgendwelchen
> Einträgen [mm]a_{i,j}[/mm] und [mm]b_{i,j}[/mm] AB=0 zurechtlegen.
Ja, und?
> > Beweisen, oder widerlegen sie
> >
> > [mm]det(A)=det(B)=0[/mm]
>
> wenn das so wäre, dann würde es bedeuten, dass wenn immer
> ich einen Körper habe, dass mit det(A)=0 die Matrix nicht
> invertierbar wäre. Ist das so? Warum?
Ja. Das folgt z.B. aus der Definition der Determinante.
Und es ist eine extrem grundlegende und sehr oft verwendete Eigenschaft. Ich rate dazu ein Lineare Algebra Lehrbuch und/oder Skript zu konsultieren - mir scheint, dass du mit grundlegenden Konzepten und Definitionen nicht vertraut bist.
> Mir geht es also nicht um den Beweis der Aussage, sondern
> worauf sie sich abstützt.
>
> (hätte in der Aufgabenstellung [mm]\IR^{n\times n}[/mm] gestanden,
> dann hätte ich auch eine 'Antwort' geschrieben)
>
>
>
> LG
> [Dateianhang nicht öffentlich] Herby
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo MF,
> >
> > Zurück noch einmal zur Aufgabenstellung:
> >
> > > Sei K ein Körper und seien [mm]A, B\in K^{n\times n}[/mm] mit [mm]A\neq 0[/mm]
> > > und [mm]B\neq 0[/mm], aber [mm]AB=0[/mm].
> >
> > hier geht es los: man kann sich mit irgendwelchen
> > Einträgen [mm]a_{i,j}[/mm] und [mm]b_{i,j}[/mm] AB=0 zurechtlegen.
> Ja, und?
nichts und, alles gut.
> > > Beweisen, oder widerlegen sie
> > >
> > > [mm]det(A)=det(B)=0[/mm]
> >
> > wenn das so wäre, dann würde es bedeuten, dass wenn immer
> > ich einen Körper habe, dass mit det(A)=0 die Matrix nicht
> > invertierbar wäre. Ist das so? Warum?
> Ja. Das folgt z.B. aus der Definition der Determinante.
Welcher? Zuordnung eines Endomorphismus zu einem Skalar? Da hab ich nix gefunden, dass das daraus folgt (sonst hätte ich auch nicht diese Frage gestellt, gelle).
> Und es ist eine extrem grundlegende und sehr oft verwendete
> Eigenschaft. Ich rate dazu ein Lineare Algebra Lehrbuch
> und/oder Skript zu konsultieren - mir scheint, dass du mit
> grundlegenden Konzepten und Definitionen nicht vertraut
> bist.
again: [mm] \IQ,\ \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] gibt es zig Beispiele, dass das so ist, aber nicht für einen beliebigen Körper. Hast du einen Literaturvorschlag, in dem das ersichtlich ist?
Ich habe bei meinem Vorschlag einfach behauptet, dass das eine grundlegende Eigenschaft ist! Kann ich es beweisen, NEIN. Und deshalb war es nur eine Mitteilung.
Ich hatte geschrieben: "Wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm] dann wäre die Matrix invertierbar ..." und? wie beweise ich, dass das so ist bei einem beliebigen Körper? Du sagst: "Das ist eine grundlegende Eigenschaft ..." - kannst du das auch zeigen?
Verstehst du nun meine Rückfragen?
> > Mir geht es also nicht um den Beweis der Aussage, sondern
> > worauf sie sich abstützt.
> >
> > (hätte in der Aufgabenstellung [mm]\IR^{n\times n}[/mm] gestanden,
> > dann hätte ich auch eine 'Antwort' geschrieben)
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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Hallo,
klar ist mir auch nach mehrfachem Lesen nicht, was genau es ist, was Dich umtreibt.
Möglicherweise ist es für Dich einfach ungewohnt, Dich in beliebigen Körpern K herumzutreiben?
Ich versuch's halt mal:
Wir betrachten [mm] n\times [/mm] n-Matrizen mit Einträgen aus einem beliebigen Körper K.
Diese Matrizen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation von Matrizen einen Ring, in welchem es bzgl der Multiplikation ein neutrales Element gibt, nämlich die Einheitsmatrix [mm] E_n, [/mm] welche auf der Hauptdiagonalen überall die Eins des Körpers K, [mm] 1_K, [/mm] stehen hat, sonst nur die Null des Körpers, [mm] 0_K.
[/mm]
Eine Matrix [mm] A\in K^{n\times n} [/mm] heißt inverterbar, wenn es eine passende Matrix [mm] B\in K^{n\times n} [/mm] gibt mit
[mm] AB=E_n,
[/mm]
für diese Matrix B schreibt man auch [mm] A^{-1}.
[/mm]
Die Determinante einer Matrix aus [mm] \in K^{n\times n} [/mm] ist ein Element aus K (Lag hier womöglich Dein Problem?), welches auf eine bestimmte Art und Weise berechnet wird (Leibnizformel).
Das Rechnen mit Determinanten folgt gewissen Regeln.
So gilt für [mm] A,B\in \in K^{n\times n}:
[/mm]
det(AB)=det(A)*det(B),
es ist [mm] det(E_n)=1_K,
[/mm]
und wenn A linear abhängige Spalten enthält, dann ist [mm] det(A)=0_K.
[/mm]
Ist nun A invertierbar, so gibt es eine Matrix [mm] A^{-1} [/mm] mit
[mm] E_n=AA^{-1}.
[/mm]
Also ist [mm] det(E_n)=det(AA^{-1})=det(A)*det(A^{-1}).
[/mm]
Also ist
[mm] 1_K=det(A)*det(A^{-1}).
[/mm]
K ist ein Körper.
In allen Körpern ist [mm] 0_K*x=0_K [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K.
Also ist [mm] det(A)\not=0_K.
[/mm]
Gezeigt ist nun:
A invertierbar ==> [mm] det(A)\not=0,
[/mm]
was gleichbedeutend ist mit
det(A)=0 ==> A nicht invertierbar.
Hmmmm.
Vielleicht war Dir auch eher
[mm] det(A)\not=0_K [/mm] ==> A invertierbar
unklar?
Na, bevor ich zu überengagiert weitermache, warte ich lieber erstmal ab.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Di 15.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi Angela,
> Hallo,
>
> klar ist mir auch nach mehrfachem Lesen nicht, was genau es
> ist, was Dich umtreibt.
mir auch nicht, ich lass' das auch zukünftig erst einmal - versprochen
> Möglicherweise ist es für Dich einfach ungewohnt, Dich
> in beliebigen Körpern K herumzutreiben?
und wie!
> Ich versuch's halt mal:
>
> Wir betrachten [mm]n\times[/mm] n-Matrizen mit Einträgen aus einem
> beliebigen Körper K.
>
> Diese Matrizen bilden zusammen mit der Addition und der
> Multiplikation von Matrizen einen Ring, in welchem es bzgl
> der Multiplikation ein neutrales Element gibt, nämlich die
> Einheitsmatrix [mm]E_n,[/mm] welche auf der Hauptdiagonalen überall
> die Eins des Körpers K, [mm]1_K,[/mm] stehen hat, sonst nur die
> Null des Körpers, [mm]0_K.[/mm]
>
> Eine Matrix [mm]A\in K^{n\times n}[/mm] heißt inverterbar, wenn es
> eine passende Matrix [mm]B\in K^{n\times n}[/mm] gibt mit
> [mm]AB=E_n,[/mm]
> für diese Matrix B schreibt man auch [mm]A^{-1}.[/mm]
und sogar [mm] AB=BA=E_n
[/mm]
> Die Determinante einer Matrix aus [mm]\in K^{n\times n}[/mm] ist ein
> Element aus K (Lag hier womöglich Dein Problem?), welches
> auf eine bestimmte Art und Weise berechnet wird
> (Leibnizformel).
eigentlich nicht: det(A)=c mit [mm] c\in\IK [/mm] ist klar.
> Das Rechnen mit Determinanten folgt gewissen Regeln.
> So gilt für [mm]A,B\in \in K^{n\times n}:[/mm]
>
> det(AB)=det(A)*det(B),
> es ist [mm]det(E_n)=1_K,[/mm]
> und wenn A linear abhängige Spalten enthält, dann ist
> [mm]det(A)=0_K.[/mm]
>
> Ist nun A invertierbar, so gibt es eine Matrix [mm]A^{-1}[/mm] mit
> [mm]E_n=AA^{-1}.[/mm]
> Also ist [mm]det(E_n)=det(AA^{-1})=det(A)*det(A^{-1}).[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]1_K=det(A)*det(A^{-1}).[/mm]
>
> K ist ein Körper.
> In allen Körpern ist [mm]0_K*x=0_K[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] K.
verfluxt, die Zeile hatte gefehlt - obwohl es ausgerechnet mir ja wohl bekannt vorkommen sollte
> Also ist [mm]det(A)\not=0_K.[/mm]
Folgt dann zwangsläufig.
> Gezeigt ist nun:
> A invertierbar ==> [mm]det(A)\not=0,[/mm]
> was gleichbedeutend ist mit
> det(A)=0 ==> A nicht invertierbar.
Daran hatte ich weniger gezweifelt.
> Hmmmm.
> Vielleicht war Dir auch eher
> [mm]det(A)\not=0_K[/mm] ==> A invertierbar
> unklar?
genau. Also unklar nicht direkt, aber ich hab halt überlegt, ob es nicht doch eine Matrix geben könnte, dessen Determinante ungleich 0 ist, die sich aber trotzdem nicht invertieren lässt (aus welchem Grund auch immer), dann fing ich an zu suchen, ob ich nicht meine Vermutung widerlegen könnte und das hat bislang nicht geklappt; ständig steht da: 'falls, dann "is so"' - und damit kam ich zu der Frage: gilt bei einem beliebigen Körper, wenn [mm] $det(A)\not=0\ \Rightarrow\ [/mm] A\ ist\ [mm] invertierbar\$ [/mm] , denn das war es ja, was ich 'einfach so' hingeschrieben hatte, weil mir halt irgendwann einmal erzählt wurde, dass das so sei [alte Vorlesungserinnerungen]. Die andere Richtung hattest du ja oben gerade eben beschrieben.
Dafür ein herzliches [Dateianhang nicht öffentlich]
(gilt natürlich auch für alle, die sich ebenfalls hiermit beschäftigt hatten)
> Na, bevor ich zu überengagiert weitermache, warte ich
> lieber erstmal ab.
Lass gut sein, ich hatte die Behauptung ja nie in Frage gestellt - ich habe nur bislang keine Verbindung (allg. mit K) dafür finden können Die ganzen Dinge, die einen im Umgang mit Matrizen happy machen wie Rang, Adjunkte, Ringe und Gauß usw. sind alle ok und auch (wenigstens einigermaßen) klar. Ich komm' da schon noch dahinter.
Liebe Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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