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Hallo,
ich sitze hier jetzt schon ewig an dieser Aufgabe und bin ziemlich am verzweifeln bei folgender Aufgabe:
Sei n [mm] \ge2. [/mm] Weiterhin sei A=(aik)i,k=1,...,n [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine Matrix mit den Eigenschaften:
1) Genau n+1 Einträge aik von A sind gleich 1
2) Alle anderen Einträge sind gleich Null
Man zeige: det(A) [mm] \in [/mm] {-1,0,1}
Wie geht man hier am besten vor?
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Hi!
Also, wenn deine Matrix eine Nullzeile oder Spalte hat, so ist die Determinante immer 0.
Bleibt also nur der Fall, dass die Matrix in jeder Zeile und Spalte min. eine 1 hat.
Wenn deine Matrix nur n einsen hätte wäre es also eine Permutationsmatrix, die du durch vertauschen von Zeilen in die Einheitsmatrix umwandeln kannst und deren Determinante 1 oder -1 ist (beim vertauschen von Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante!). Wenn du jetzt noch eine Eins platzierst ändert sich also die Determinante nicht, da du eine obere oder untere Dreiecksmatrix erhälst, deren Determinante man erhält indem man die Einträge auf der Hauptdiagonalen multipliziert.
mfg Verena
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Hallo,
das heißt also quasi das ich eine matrix aufstellen muss, in der jeweil nur eine 1 ins in jeder spalte ist und der vertauschungen erhalte ich die einheitsmatrix,richtig? ist es dabei egal wo ich die einsen wähle?
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also ganz verstanden habe ich das noch nicht:
um zu zeigen das die determinante null ist , muss ich eine matrix aufstellen in der zwei zeilen/spalten null sind.oder?
das heißt do jetzt, das ich zwei matrizen aufstellen muss oder? einmal die in der es mindestens eine 1 in jeder spalte gibt und einmal die mit den zwei spalten die null sind........habe ich das falsch verstanden?
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Mmh, also das mit den Matrizen aufstellen, sollte eigentlich nur zum Verständnis dienen, ber ich scheine dich damit ja eher verwirrt zu haben.
Die Determinante einer Matrix ist 0, wenn eine Zeile und/oder eine Spalte gleich 0 ist.
Meine Idee war es jetzt eine Fallunterscheidung zu machen:
1. Fall: eine Spalte und/oder eine Zeile von A ist 0
Rightarrow det(A)=0
(für diesen Fall gilt die Behauptung also)
2. Fall: in jeder Zeile und Spalte ist min. eine Eins
so eine Matrix kannst du dann durch das Vertauschen von Zeilen
in eine obere oder untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der
Diagonalen umwandeln (da außer den Einsen auf der Diagonalen,
nur noch ein anderer Matrixeintrag=1)
[mm] \Rightarrow det(A)=\pm1
[/mm]
mfg Verena
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ok, und wie zeigt man, dass?
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also ich meine ich habs verstanden, reicht es denn, wenn man das so hinschreibt...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 So 21.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kleines-sax,
> also ich meine ich habs verstanden, reicht es denn, wenn
> man das so hinschreibt...
Ja, ich denke das reicht.
Man könnte aber auch eine vollständige Induktion versuchen, obwohl das Verfahren selbst hier fast komplizierter ist als die eigentliche Aussage.
Der Induktionsschritt könnte in etwa so aussehen:
Die Behauptung sei richtig für n.
Betrachte nun eine [mm] $(n+1)\times(n+1)$-Matrix [/mm] mit n+2 Einsen.
Ich suche in dieser Matrix eine 1, in deren Spalte und Zeile sonst nur 0 steht (das müßtest du noch begründen, warum es so eine 1 geben muss).
Diese 1 bringe ich durch Spalten und Zeilenvertauschungen (die nur das Vorzeichen der Determinante ändern, wie baskolii es vorgemacht hat) an den Eintrag (1,1), also ganz links oben.
Nun läßt sich auf die [mm] $n\times [/mm] n$-Untermatix die Induktionsvoraussetzung anwenden und du bist fertig.
Viele Grüße,
Marc
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