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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 21.10.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Man bestimme die Determinante der folgenden n x n Matrix durch Induktion über n.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ & & \vdots & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] |
Ich habe einfach mit ausprobieren eine Formel herausgefunden. Aber ich denke, das genügt nicht. Man muss doch sicher dies auch noch beweisen?
Wie muss man bei dieser Aufgabe vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 So 21.10.2007 | | Autor: | Hing |
hi, deine "Induktion" ist ein beweis.
das prinzip ist folgendes:
-behauptung
-induktionsanfang
-induktionsende
bei der behauptung stellst du eine behauptung auf. zB "alle matrizen mit einer 1 in der diagonalen, haben als determinante die 1".
das rechnest du als "induktionsanfang" mit kleinen n durch.
dann als "induktionsende" mit n+1.
wenn n+1 mit deiner behauptung übereinstimmt, dann ist es bewiesen.
als hilfsmittel benötigst du das summenzeichen und die indexe der matrize.
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> Man bestimme die Determinante der folgenden n x n Matrix
> durch Induktion über n.
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> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ & & \vdots & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
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> Ich habe einfach mit ausprobieren eine Formel
> herausgefunden. Aber ich denke, das genügt nicht. Man muss
> doch sicher dies auch noch beweisen?
> Wie muss man bei dieser Aufgabe vorgehen?
Hallo,
wie Hing richtig sagt, ist hier ein Induktionsbeweis fällig.
Mach Deine Induktion n, über die Zeilen-bzw. Spaltenzahl der quadratischen Matrix.
Im Induktionsschluß entwickele z.B. nach der letzten Zeile (Laplace).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 21.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Ja also irgendwie habe ich das immer noch nicht ganz kapiert.
Die Induktionsbehauptung und der Induktionsanfang sind klar. Aber wie soll ich dann das Induktionsende (also für n+1) durchführen?
Ich habe einfach bereits für einige n getestet. Aber dann für n+1?
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> Ja also irgendwie habe ich das immer noch nicht ganz
> kapiert.
> Die Induktionsbehauptung und der Induktionsanfang sind
> klar. Aber wie soll ich dann das Induktionsende (also für
> n+1) durchführen?
> Ich habe einfach bereits für einige n getestet. Aber dann
> für n+1?
Hallo,
Du wirst ja inzwischen eine Behauptung aufgestellt haben. Wie heißt sie eigentlich?
Dann machst Du den Induktionsanfang für n=1, was extrem einfach ist.
Nun setzt Du voraus, daß Deine Behauptung für nxn-Matrizen gilt.
Berechne nun die Determinante der (n+1)x(n+1)-Matrix, welche auf der Nebendiagonalen nur Einsen hat und ansonsten Nullen.
Die kannst Du tun, indem Du nach der letzten Spalte entwickelst, wie erwähnt mit der Laplace_Entwicklung. (Das ist die Sache mit dem Schachbrett, und wenn Du nicht so weißt, wie das geht, mußt Du Dich schlau machen.)
Auf diese Art erhältst Du eine Summe von (n+1) Summanden, von denen viele =0 sind, und den anderen bekommst Du mit der Induktionsvoraussetzung in Griff.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 21.10.2007 | | Autor: | Hing |
das mit dem "n+1" ist zB folgendermassen:
behauptung:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n}{2}\cdot{}(n+1)=\bruch{n^{2}+n}{2} [/mm] $ (das ist ein anderes n+1!)
einmal mit n=1 gerechnet:
$ [mm] \summe_{i=1}^{1}i=1=1 [/mm] $
oder $ [mm] \bruch{n^{2}+n}{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1^{2}+1}{2}=1 [/mm] $
haut hin!
und jetzt das ganze nochmal mit n+1:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i=(\summe_{i=1}^{n}i)+(n+1)=\bruch{n^{2}+n}{2}+(n+1) [/mm] $
das ist genau das gleiche als wenn man an die behauptung $ [mm] \bruch{n^{2}+n}{2} [/mm] $ nochmal (n+1) dazu addiert!
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Hallo,
ich weise nur sicherheitshalber daraufhin, daß Hings Induktionsbeispiel mit der Aufgabe nichts weiter zu tun hat, als daß es auch eine Induktion ist, er mit dieser Aufgabe also dias Prinzip der Induktion erläutert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 So 21.10.2007 | | Autor: | Rutzel |
Übrigens ist die Gaußsche-Klammerfunktion bei dieser Aufgabe äußerst hilfreich, denn es gilt:
[mm] \lfloor\frac{n+2}{2}\rfloor [/mm] = [mm] \lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor
[/mm]
Gruß
Rutzel
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Hallo,
ich steh auf dem Schlauch: wie kann uns die Gaußklammerfunktion bei der Berechnung der Determinante von jokeroses Matrix helfen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 So 21.10.2007 | | Autor: | Rutzel |
Nun, mittels der Klammerfunktion lässt sich die Formel der Determinante vergleichsweise einfach in Abhängigkeit der Matrixdimension darstellen. (vor allem vereinfacht der oben genannte "Trick" den Induktionsbeweis [im Vergleich zu einer Formel ohne Klammerfunktion])
Edit: [mm] Det\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & ... & 0\\1&0&0}=(-1)^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}[/mm]
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> Nun, mittels der Klammerfunktion lässt sich die Formel der
> Determinante vergleichsweise einfach in Abhängigkeit der
> Matrixdimension darstellen. (vor allem vereinfacht der oben
> genannte "Trick" den Induktionsbeweis [im Vergleich zu
> einer Formel ohne Klammerfunktion])
>
> Edit: [mm]Det\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & ... & 0\\1&0&0}=(-1)^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}[/mm]
Na, das überzeugt mich nicht:
mit [mm] (-1)^{n+1} [/mm] fahre ich übersichtlicher.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 So 21.10.2007 | | Autor: | Rutzel |
Deine Variante funktioniert leider nicht, da das Vorzeichen der Determinante paarweise alterniert. D.h.:
[mm] M_n [/mm] := [mm] n\times [/mm] n Matrix von gefordertem Typ
[mm] Det(M_2)=-1
[/mm]
[mm] Det(M_3)=-1
[/mm]
[mm] Det(M_4)=1
[/mm]
[mm] Det(M_5)=1
[/mm]
[mm] Det(M_6)=-1
[/mm]
[mm] Det(M_7)=-1
[/mm]
usw.
Gruß
Rutzel
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> Deine Variante funktioniert leider nicht, da das Vorzeichen
> der Determinante paarweise alterniert. D.h.:
In der Tat, da hast Du recht...
Ich würde hier lieber nach n=...mod 4 unterscheiden, aber das ist dann wirklich Geschmackssache.
Gruß v. Angela
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