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Hallo ich habe folgende Vektoren gegeben:
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 7\\4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1\\ 9\\-1}
[/mm]
sowie bereits berechnet:
[mm] h:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6\\0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1\\-8\\5}
[/mm]
nun war die Frage wie sich die beiden Vektoren zueinander verhalten. Ok
ich konnte feststellen dass die beiden a.) nicht parallel b.) somit nicht identisch sind. Ich ging weiter und habe durch Gleichsetzen mit zwei Unbekannten den Schnittpunkt ermittelt S (2/-2/5). Welcher auch passt.
Somit wäre die Aufgabe schon gelöst. Die Vektoren befinden sich auf der gleichen Ebene und schneiden sich.
Nun hat unser Mathelehrer ergänzend dazu gesagt dass man mit der Determinanten prüfen kann ob die Vektoren auf einer gemeinsamen Ebene
liegen hierfür muss 0 rauskommen. Und hat uns folgende Zahlenmatrix an die Tafel gekrizelt:
[mm] \vmat{ 0 & 1 & -4 \\ -1 & 9 & -1 \\ -1&-8 & 5 }\vektor{0\\ -1\\-4}\vektor{1\\ 9\\-1}
[/mm]
=0 +32 -1 -36 +5 = 0 d.h-> g&h liegen in einer Ebene
wie er auf die Null kam habe ich mittlerweile herausgefunden. Womit ich mein Problem habe ist dass ich die Zahlenaufstellung nicht ganz nachvollziehen kann. Ich kann mir das bildlich auch schlecht vorstellen was hier eigentlich gemeint ist.
Was ich hier in dem Zahlengemenge sehen kann ist in der ersten Spalte der Matrix eine (Aufpunktvektorendifferenz) in der zweiten (Richtungsvektor von g) in der dritten (Richtungsverktor von h) ausserhalb dder Matrix in ich nenne es mal Spalte 4 (Aufpunktvektorendifferenz) und in Spalte 5 (Richtungsverktor von g).
a.)Wer kann mir auf die Sprünge helfen?
b.) dient die Determinante rein zur Ebenenbestimmung?
danke fur Eure Mühe
Janosch
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> [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 7\\4}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1\\ 9\\-1}[/mm]
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> sowie bereits berechnet:
>
> [mm]h:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 6\\0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{-1\\-8\\5}[/mm]
> Nun hat unser Mathelehrer ergänzend dazu gesagt dass man
> mit der Determinanten prüfen kann ob die Vektoren auf
> einer gemeinsamen Ebene
> liegen hierfür muss 0 rauskommen. Und hat uns folgende
> Zahlenmatrix an die Tafel gekrizelt:
>
> [mm]\vmat{ 0 & 1 & -4 \\ -1 & 9 & -1 \\ -1&-8 & 5 }\vektor{0\\ -1\\-4}\vektor{1\\ 9\\-1}[/mm]
>
> =0 +32 -1 -36 +5 = 0 d.h-> g&h liegen in einer Ebene
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> wie er auf die Null kam habe ich mittlerweile
> herausgefunden. Womit ich mein Problem habe ist dass ich
> die Zahlenaufstellung nicht ganz nachvollziehen kann. Ich
> kann mir das bildlich auch schlecht vorstellen was hier
> eigentlich gemeint ist.
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> Was ich hier in dem Zahlengemenge sehen kann ist in der
> ersten Spalte der Matrix eine (Aufpunktvektorendifferenz)
> in der zweiten (Richtungsvektor von g) in der dritten
> (Richtungsverktor von h) ausserhalb dder Matrix in ich
> nenne es mal Spalte 4 (Aufpunktvektorendifferenz) und in
> Spalte 5 (Richtungsverktor von g).
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> a.)Wer kann mir auf die Sprünge helfen?
>
> b.) dient die Determinante rein zur Ebenenbestimmung?
Hallo,
zunächst mal vorweg zur Determinante: wenn man in eine 3x3-Matrix 3 linear abhängige Vektoren einträgt, kommt bei der Determinante 0 heraus, und wenn nicht 0 herauskommt, weiß man, daß die eingetragenen Vektoren linear unabhängig sind.
Du weißt sicher auch, daß 3 Vektoren in der Ebene stets linear abhängig sind. Trägt man in die Matrix also drei Vektoren ein, die in einer gemeinsamen Ebene liegen, so ergibt die Determinante Null.
Die macht sich Dein Lehrer nun zunutze.
Die Richtungsvektoren der beiden Geraden (Du schreibst immer "Vektoren") g und h sind linear unabhängig, sie haben ja verschiedene Richtungen.
Der Gedanke ist nun folgender: wenn die beiden Geraden in derselben Ebene liegen, liegt auch der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte (also der verwendete Differenzvektor) in dieser Ebene. In diesem Fall hat man also drei linear abhängige Vektoren, was die Rechnung (Determinante) dann bestätigt.
Im Falle windschiefer Geraden sieht die Sache anders aus: auch hier sind die beiden Richtungsvektoren unabhängig. Wenn Du nun irgendeinen Punkt auf g mit einem auf h verbindest, liegt die Verbindung nicht in der von den beiden Richtungsvektoren aufgespannten Ebene, mit zwei Bleistiften als Geraden kannst Du Dir das klarmachen. Und weil die drei nicht in einer Ebenen liegen, wäre hier die Determinante von Null verschieden.
Gruß v. Angela
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Danke für deine ausführliche Erklärung,
nun habe auch ich es mal kapiert.
Gruss
Janosch
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