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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:35 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | K Körper, und m, n, r [mm] \in GL_{m}(K) [/mm] mit:
[mm] SAT=D=\pmat{y_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & y_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & ... & 0 & y_{m}}
[/mm]
und det(A)=det(D) |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht gescheit weiter. Meine Überlegungen bisher sind, damit det(A)=det(D) gilt, muss, wenn SAT=D gilt, det(SAT)=det(D) [mm] \Rightarrow [/mm] det(S) [mm] \cdot [/mm] det(T)=1 sein.
d.h. doch dann auch, das S das inversere zu T bzw. umgekehrt gilt, damit das Produkt der Determinaten wieder 1 ist, oder?
und daraus kann ich doch wieder folgern, dass man einfach D durch elementare Zeilenumformung in eine Dialogmatrix A umwandeln, und das geschieht durch ein Produkt K (Elementarmatrix), somit gilt dann A=KD.
da die zur K inverse Matrix wieder eine Elementarmatrix ist, gilt somit [mm] K^{-1}=ST \Rightarrow [/mm] STA=D [mm] \Rightarrow [/mm] det(STA)=det(D) [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] det(A)=det(D)
Kann man das so schreiben? oder habe ich da einfach irgendwelche Sachen miteinander verwechselt?
MFG
kiwibox
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Hallo!
> K Körper, und m, n, r [mm]\in GL_{m}(K)[/mm] mit:
> [mm]SAT=D=\pmat{y_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & y_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & ... & 0 & y_{m}}[/mm]
>
> und det(A)=det(D)
Zunächst: Was musst du überhaupt beweisen?
Hier steht keine Aufgabenstellung.
Damit wir dir helfen können, brauchen wir eine.
Ich kann deswegen jetzt nur deine Schritte kommentieren.
> Hallo,
> ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht gescheit weiter.
> Meine Überlegungen bisher sind, damit det(A)=det(D) gilt,
> muss, wenn SAT=D gilt, det(SAT)=det(D) [mm]\Rightarrow[/mm] det(S)
> [mm]\cdot[/mm] det(T)=1 sein.
Das stimmt.
> d.h. doch dann auch, das S das inversere zu T bzw.
> umgekehrt gilt, damit das Produkt der Determinaten wieder 1
> ist, oder?
Nein.
Das kannst du nicht daraus folgern.
Es stimmt, dass [mm] $\det(S)*\det(S^{-1}) [/mm] = 1$ gilt. Allerdings kann es auch Matrizen S und T geben, für die [mm] \det(S)*\det(T) [/mm] = 1 gilt, und trotzdem S = [mm] T^{-1} [/mm] falsch ist. (Die Suche nach solch einem Beispiel überlasse ich dir).
Grüße,
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:20 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Zunächst: Was musst du überhaupt beweisen?
> Hier steht keine Aufgabenstellung.
> Damit wir dir helfen können, brauchen wir eine.
ich denke die Aufgabenstellung besteht darin z.z. das det(D)=det(A) gilt, wenn S,T [mm] \in GL_{m} [/mm] ist, so habe ich das zumindest herausgelesen....
und zum dem Beispiel, es ist klar, det(S) [mm] \cdot [/mm] det(T) = 2 [mm] \cdot \bruch{1}{2} [/mm] =1 sein, ist klar. falsch gedacht.
aber wie soll ich denn zeigen, dass det(D)=det(A) gilt? das geht doch nur wenn det(S) [mm] \cdot [/mm] det(T)=1, aber wie mache ich das mit [mm] GL_{m}?
[/mm]
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Hallo,
das Leben könnte so einfach sein...
Vorschlag. Du postest mal die komplette (!) Aufgabe im originalen (!) Wortlaut.
> ich denke die Aufgabenstellung besteht darin
Dann brauchen wir uns die Aufgabenstellung nämlich nicht zu denken, sondern wir wissen sie dann - was zum Lösen von Aufgaben durchaus vorteilhaft ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
das ist leider die komplette Aufgabenstellung, die angegeben habe. mehr weiß ich auch nicht. (Aufgabenteil b habe ich weggelassen...) Also hier nochmal die komplette Aufgabe:
Es sei K ein Körper und m, n, r [mm] \IN [/mm] .
a) Sei a [mm] \in K^{m x m}, [/mm] dann gibt es S,T [mm] \in GL_{m}(K) [/mm] mit SAT = D = [mm] \pmat{y_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & y_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & ... & 0 & y_{m}} [/mm] und det(A)=det(D).
b) Sei M eine Blockmatrix von der Form [mm] M=\pmat{A & B \\ C & D } \in K^{n x n} [/mm] , wobei a [mm] \in K^{r x r}, [/mm] B [mm] \in K^{r x (n-r)}, [/mm] C [mm] \in K^{(n-r) x r} [/mm] und D [mm] \in K^{(n-r) x (n-r)} [/mm] Matrizen sind und 0<r<n. Zeigen Sie: Falls B oder C eine Nullmatrix ist, so folgt det(M)=det(A) \ cdot det(D)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
was ist jetzt nach eurer Meinung bei a diegenaue Aufgabenstellung?
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> das ist leider die komplette Aufgabenstellung, die
> angegeben habe. mehr weiß ich auch nicht. (Aufgabenteil b
> habe ich weggelassen...) Also hier nochmal die komplette
> Aufgabe:
>
> Es sei K ein Körper und m, n, r [mm]\IN[/mm] .
> a) Sei A [mm]\in K^{m x m},[/mm] dann gibt es S,T [mm]\in GL_{m}(K)[/mm] mit
> SAT = D = [mm]\pmat{y_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & y_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & ... & 0 & y_{m}}[/mm]
> und det(A)=det(D).
Hallo,
das hier ist nicht "nochmal" die komplette Aufgabe a), sondern es ist erstmalig die komplette Aufgabe a).
Vergleiche mal mit Deinem ersten Post.
Merkst Du den Unterschied?
Du darfst, wenn Du sinnvolle Hilfe möchtest, nicht einfach die Aufgabenstellung verkrüppeln.
Die Aufgabe ist es, daß Du zu einer vorgegebenen Matrix A die Existenz der Matrizen S und T beweist, und anschließend zeigst, daß die beiden Determinanten gleich sind.
Mal als Tip: es geht hier um die Darstellung von linearen Abbildungen bzgl. verschiedener Basen.
Du mußt nun eine Basen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] in Start- bzw. Zielraum finden, so daß die durch A dargestellte Abbildung bzgl der beiden neuen Basen gerade durch D dargestellt wird.
Damit lasse ich es erstmal bewenden, ich könnte mir nämlich vorstellen, daß allein die Klärung der Aufgabenstellung schon zu Teilergebnissen führt.
Möglicherweise hattet Ihr in der Vorlesung schon was ähnliches, nämlich daß es Basen [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] gibt, bzgl derer die Abbildung durch eine Diagonalmatrix mit nur Einsen und Nullen auf der Hauptdiagonalen dargestellt wird.
Gruß v. Angela
> b) Sei M eine Blockmatrix von der Form [mm]M=\pmat{A & B \\ C & D } \in K^{n x n}[/mm]
> , wobei a [mm]\in K^{r x r},[/mm] B [mm]\in K^{r x (n-r)},[/mm] C [mm]\in K^{(n-r) x r}[/mm]
> und D [mm]\in K^{(n-r) x (n-r)}[/mm] Matrizen sind und 0<r<n. Zeigen
> Sie: Falls B oder C eine Nullmatrix ist, so folgt
> det(M)=det(A) \ cdot det(D)
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