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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute ich sitz hier mal wieder vor einem Prpblem.
ich soll die Det von
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & . & . & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & . & . & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & . & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & . 0 \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & . & . & 0 & 1 & 2 & 1 }
[/mm]
Also in der Hauptdiagonalen lauter 2 er und in den beiden Nebendiagonalen lauter 1 er und der rest ist 0
Ich habe es schon mit Laplace versucht aber ich bekomm nur Müll raus.
Vielen Dank für eure Hilfe
Michael
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> Hi Leute ich sitz hier mal wieder vor einem Prpblem.
> ich soll die Det von
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> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & . & . & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & . & . & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & . & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & . 0 \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & . & . & 0 & 1 & 2 & 1 }[/mm]
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> Also in der Hauptdiagonalen lauter 2 er und in den beiden
> Nebendiagonalen lauter 1 er und der rest ist 0
> Ich habe es schon mit Laplace versucht aber ich bekomm nur
> Müll raus.
Hallo Michael,
Laplace ist doch gar nicht übel!
Nennen wir diese nxn Bandmatrix mal [mm] B_{n}.
[/mm]
Wenn Du nach der ersten Spalte entwickelst kriegst Du
[mm] detB_{n}=2detB_{n-1}-1detC_{n-1}.
[/mm]
Wie sieht dieses [mm] C_{n-1} [/mm] aus? es ist eine (n-1)x(n-1) Matrix mit dem Einheitsvektor in der ersten Spalte und Zeile, und der Rest ist ausgefüllt mit [mm] B_{n-2}. [/mm] Ich krieg das leider mit dem Formeleditor nicht hin, aber mit einem Blatt Papier müßtest Du es verstehen.
[mm] detC_{n-1} [/mm] entwickelst Du wieder nach der ersten Spalte: [mm] detC_{n-1}=detB_{n-2},
[/mm]
so daß sich [mm] detB_{n}=2detB_{n-1}-1detB_{n-2} [/mm] ergibt.
[mm] detB_{1}=2, detB_{2}=3.
[/mm]
Ich denke, Du wirst schnell zu einer Vermutung für [mm] detB_{n} [/mm] kommen, die Du dann per Induktion beweisen kannst, wenn das Prinzip klargeworden ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Vielen Dank für deine Hilfe
Ich habe das jetzt alles mal mit einem BNaltt nachvollzogen und an Beispielen versucht und bin zum Ergebnis gekommen
Det A = n+1
Nur ich habe leider keine Ahnung wie ich es jetzt auch Zeigen kann.
Mein Großes Problem ist ich habe nie Induktion gelernt und noch kein Gutes Buch gefunden wo es gut Erklärt drin steht.
Wäre nett wenn du mir nochmal helfen könntest
Vielen Dank
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wofür brauchst du das denn, wenn du keine Induktion gelernt hast? Ich würde es nämlich damit mal als Beweis versuchen. Und du studierst Mathe und ihr habt keine Induktion gemacht? Vielleicht findest du hier im MR ja ein paar gute Beispiele dazu, jedenfalls hatten wir öfter Fragen zur Induktion.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo.
Nun gut, hier also vielleicht ein "Musterbeispiel" für Induktion.
Also: Vermutung: [mm] $\det B_n=n+1$.
[/mm]
Es gilt: [mm] $\det B_n=2\det B_{n-1} [/mm] - [mm] \det B_{n-2}$. [/mm] (schon gezeigt)
1. Induktionsanfang: Für n=1,2 wurde die Behauptung schon gezeigt, denn
[mm] $\det B_1=2$, $\det B_2=3$.
[/mm]
2. Induktionsannahme: gelte für alle [mm] $k\le [/mm] n$: [mm] $\det B_k=k+1$.
[/mm]
3. Induktionsschritt: Dann ist, nach Induktionsannahme:
[mm] $\det B_{n+1}=2\det B_n-\det B_{n-1}=2*(n+1)-(n-1+1)=n+2=(n+1)+1$,
[/mm]
also gilt die Vermutung auch für n+1, damit gilt sie dann für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Hast Du das soweit verstanden? Wenn nicht, nachfragen!
Gruß,
Christian
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