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Forum "Determinanten" - Determinante
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Determinante: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:29 Fr 12.07.2013
Autor: capri

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für x,y [mm] \in [/mm] IR gilt:

[mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x \end{pmatrix} [/mm] = [mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm]

Hallo,

[mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm] = [mm] x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1 [/mm]
stimmt das?

wenn ich nun die Determinante nach der dritten Zeile entwickle habe ich folgendes

[mm] -1*det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x*det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}- [/mm] (-y) * [mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix} [/mm]

in der ersten Determinante incl. *(-1) habe ich

[mm] (x^2+y^2+1) [/mm] raus. aus der zweiten [mm] (x^4-x^2+y^2x^2) [/mm] dritte ( [mm] x^2y^2+y^2+y^4) [/mm]
wenn ich es alles berechne fällt bei mir [mm] x^2 [/mm] raus sonst müsste alles richtig sein, aber bin jetzt alles dreimal durchgegangen ich sehe es leider nicht, kann mir jmd sagen wo der Fehler ist?


Lg

        
Bezug
Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:27 Fr 12.07.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie, dass für x,y [mm]\in[/mm] IR gilt:
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm](x^2+y^2+1)^2[/mm]
>  Hallo,
>  
> [mm](x^2+y^2+1)^2[/mm] = [mm]x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1[/mm]
>  stimmt das?

Rechnen wir es nach:

    [mm] $(x^2+y^2+1)^2=(x^2+y^2)^2+2*(x^2+y^2)*1+1^2=x^4+y^4+2(x^2y^2)+2(x^2+y^2)+1$ [/mm]

    [mm] $=x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1$ [/mm]

[ok]

> wenn ich nun die Determinante nach der dritten Zeile
> entwickle habe ich folgendes
>  
> [mm]-1*det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x*det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}-[/mm] (-y) * [mm]det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix}[/mm]

[haee]

Schau' mal []hier (klick!).

Die Entwicklung nach der 3. Zeile beginnt mit einem [mm] $+\,$ [/mm] ("Schachbrettmuster":
[mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] - ...
- [mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] ...
[mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] - ...
...)

Die "jeweilige Restmatrix" entsteht hier, indem man die 3.Zeile streicht,
und die [mm] $j\,$-te [/mm] Spalte, wenn man "den Faktor [mm] $a_{3,j}$" [/mm] im Laplaceschen
Entwicklungssatz benutzt, d.h.

    [mm] $\red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}*\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}*\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}*\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}*\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y}$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Determinante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:45 Fr 12.07.2013
Autor: capri

ich weiß, dass die mit einem plus beginnen aber das habe ich direkt ausgelassen weil es mal 0 ist und direkt verschwindet deswegen direkt bei minus 1 begonnen. Abgesehen davon ändert sich das ja nicht bei mir. 0 * det von irgendwas ist 0, das beeinflusst doch nicht die Aufgabe?

Bezug
                
Bezug
Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:59 Fr 12.07.2013
Autor: Marcel

Hallo,

die Matrix war:

    [mm] $A:=\begin{pmatrix} x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x \end{pmatrix},$ [/mm]

von der willste die Determinante berechnen.

Du hast gesagt: Entwicklung nach der 3. Zeile ergibt:

$ [mm] -1\cdot{}det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x\cdot{}det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}- [/mm] $ (-y) * $ [mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix} [/mm] $

Ich habe geantwortet: "[haee]

Schau' mal []hier (klick!)."

"Die Entwicklung nach der 3. Zeile beginnt mit einem $ [mm] +\, [/mm] $ ("Schachbrettmuster":
$ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ - ...
- $ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ ...
$ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ - ...
...)"

(Das war einfach nur eine Ergänzung.)

Und dann habe ich Dir hingeschrieben, wie die Entwicklung nach der dritten
Zeile wirklich aussieht:

    $ [mm] \red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}\cdot{}\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}\cdot{}\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y} [/mm] $

Wenn ich das Deinige

    $ [mm] -1\cdot{}det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x\cdot{}det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}- [/mm] $ (-y) * $ [mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix} [/mm] $

mit meinem

    $ [mm] \red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}\cdot{}\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}\cdot{}\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y} [/mm] $

vergleiche, so steht dort doch NICHT dasselbe. Mir war das eben allerdings
auch nicht so ganz klar, dass Du den Satz im Wesentlichen doch richtig
verwendet hattest - zu später Stunde wird man "blind". (Keine Ahnung,
warum ich nicht gesehen hatte, dass wir "fast" das Gleiche da stehen
haben.)

Du hast einfach nur einen kleinen Schreibfehler:
Bei "Deinem" Summanden

    [mm] $x\cdot{}\det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ \red{1} & 0 & x \end{pmatrix}$ [/mm]

stimmt der Eintrag der Matrix in der 3. Zeile und 1. Spalte nicht (die rot
markierte 1):
Vergleiche es einfach mit meinem Ergebnis der Entwicklung nach der 3. Zeile!

P.S. Wie gesagt: Sorry, zu so später Stunde dachte ich wirklich, dass Du da
mehr falsch gemacht hättest. Ich hätte einfach nochmal genauer hingucken
sollen. ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Determinante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Fr 12.07.2013
Autor: capri

kein problem :) danke  ja wenn ich die minus eins hinschreibe ist es richtig und ich habe [mm] 2x^2 [/mm] :) ja hab mir es auch dreimal immer wieder angeguckt nachts nichts gefunden :D

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