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Forum "Determinanten" - Determinante 4x4-Matrix
Determinante 4x4-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Determinante 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Di 20.09.2011
Autor: paula_88

Aufgabe
Zu berechnen ist die Determinante folgender Matrix:

[mm] A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 } [/mm]

Hallo alle,
ich weiß wie man Determinanten berechnet und kann dies dachte ich auch, ich komme aber bei folgender Matrix nicht auf das richtige Ergebnis, deshalb dachte ich, ich stelle meine Schritte rein und hoffe, dass jemand anderes den Fehler findet. :-)
Ich habe die Marix in eine untere Dreiecksform gebracht und dann die Einträge der Diagonale multipliziert:

[mm] A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 7 & 5 & -2 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 7 & 5 & -2 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 } [/mm]

Und hier nochmal die Schritte, damit ihr nicht raten müsst:
1) [mm] Z_{3}-2.5Z_{1} [/mm]
2) [mm] 2Z_{2}+Z_{1} [/mm]
3) [mm] Z_{1}-2Z_{4} [/mm]
4) [mm] Z_{2}+2Z_{3} [/mm]
5) [mm] Z_{1}+2Z_{3} [/mm]
6) [mm] 3Z_{1}-Z_{2} [/mm]

Somit ist laut meinen Berechnungen det(A)=-2 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] (-2)=24.
Laut meiner Lösung ist die Determinante allerdings 4.

Was mache ich falsch?? :-)

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Di 20.09.2011
Autor: Adamantin


> Zu berechnen ist die Determinante folgender Matrix:
>  
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }[/mm]
>  
> Hallo alle,
>  ich weiß wie man Determinanten berechnet und kann dies
> dachte ich auch, ich komme aber bei folgender Matrix nicht
> auf das richtige Ergebnis, deshalb dachte ich, ich stelle
> meine Schritte rein und hoffe, dass jemand anderes den
> Fehler findet. :-)
>  Ich habe die Marix in eine untere Dreiecksform gebracht
> und dann die Einträge der Diagonale multipliziert:
>  
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 7 & 5 & -2 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 7 & 5 & -2 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }\sim \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ -2.5 & 0.5 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }[/mm]
>  
> Und hier nochmal die Schritte, damit ihr nicht raten
> müsst:
>  1) [mm]Z_{3}-2.5Z_{1}[/mm]
>  2) [mm]2Z_{2}+Z_{1}[/mm]
>  3) [mm]Z_{1}-2Z_{4}[/mm]
>  4) [mm]Z_{2}+2Z_{3}[/mm]
>  5) [mm]Z_{1}+2Z_{3}[/mm]
>  6) [mm]3Z_{1}-Z_{2}[/mm]
>  
> Somit ist laut meinen Berechnungen det(A)=-2 [mm]\cdot[/mm] 6 [mm]\cdot[/mm]
> 1 [mm]\cdot[/mm] (-2)=24.
>  Laut meiner Lösung ist die Determinante allerdings 4.
>  
> Was mache ich falsch?? :-)
>  
> Vielen Dank im Voraus.

Sei mir nicht böse, ich möchte deine langen, gebrochenen Schritte nich nachvollziehen, ich sehe eine Spalte mit einer 1 und daneben ganze Zahlen, also tendiere ich dazu, die letzten drei Spalten (auch gerne drei Zeilen) in der ersten Zeile 0 zu setzen, so dass ich direkt nach der ersten Zeile entwickeln kann und alles bis auf die 1. Unterdeterminante wegfällt, dass sieht dann so aus:

[mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 } = A=\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 6 & -14 \\ -5 & 3 & -4 & 10 \\ -3 & 2 & -4 & 10 }= -1 \vmat{ -1 & 6 & -14 \\ 3 & -4 & 10 \\ 2 & -4 & 10 }= -1 \vmat{ -1 & 6 & -14 \\ 3 & -4 & 10 \\ -1 & 0 & 0 }= -1 ( -1 \vmat{ 6 & -14 \\ -4 & 10 }= + (60-56)=4[/mm]

Natürlich kannst du auch Sarrus oder sonstetwas anwenden, wichtig ist, dass du dir ganz schnell diese furchtbar hässlichen Brüche abgewöhnst. Dreiecksmatrizen sind toll, weil man die Determinante direkt ablesen kann, ABER doch nicht um den Preis, aus lauter ganzen Zahlen Brüche zu basteln. Vergleiche die beiden Lösungswege und entscheide selbst, wann dir welcher Weg das schnellere und vor allem sicherer Ergebnis liefert.

Hoffe meine Antwort hilft, auch wenn ich deinen Weg "ignoriert" habe, sonst suchen wir gemeinsam noch den Fehler.

Edit: Ich glaube, du hast auch einen Fehler in deinem 2. Schritt. Man muss höllisch aufpassen, wann man einen Faktor in Determinanten reinzieht. Man darf zwar das beliebige skalare Vielfacher einer Spalte zu einer anderen addieren, du aber verändert Spalte 2 (Zweile 2, sorry), indem du ZUERST die Zeile mit 2 multiplizierst und anschließend zu DIESER Zeile die erste addiert. Dadurch hast du auch danach die Zeile mit zwei multipliziert. Damit hast du den Wert der Determinante um 2 erhöht. Wenn du das gleiche am Ende nochmal gemacht hast (mit 3), so hast du erneut den Wert um 3 erhöht. Sollte dein Ergebnis mit 24 stimmen, so wäre 24:2:3 genau die gesuchten 4.

Bezug
                
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Di 20.09.2011
Autor: barsch

Hi,


> Edit: Ich glaube, du hast auch einen Fehler in deinem 2.
> Schritt. Man muss höllisch aufpassen, wann man einen
> Faktor in Determinanten reinzieht. Man darf zwar das
> beliebige skalare Vielfacher einer Spalte zu einer anderen
> addieren, du aber verändert Spalte 2 (Zweile 2, sorry),
> indem du ZUERST die Zeile mit 2 multiplizierst und
> anschließend zu DIESER Zeile die erste addiert. Dadurch
> hast du auch danach die Zeile mit zwei multipliziert. Damit
> hast du den Wert der Determinante um 2 erhöht. Wenn du das
> gleiche am Ende nochmal gemacht hast (mit 3), so hast du
> erneut den Wert um 3 erhöht. Sollte dein Ergebnis mit 24
> stimmen, so wäre 24:2:3 genau die gesuchten 4.

hätte ich deinen Edit doch gemerkt, als ich gerade meine Antwort geschrieben habe - dann hätte ich mir die nämlich sparen können..... neeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeein [scheisskram] [grins]

Gruß
barsch


Bezug
                        
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: ach iwooo
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Di 20.09.2011
Autor: Adamantin

*gg* das habe ich mir dann auch gedacht, aber du hast es wesentlich klarer Vormuliert und vor allem ein Beispiel gemacht. Bei meinem dahingeschludertem Kauderwelsch wird man nicht so recht schlau, und ich habe direkt einen zweiten Kardinalsfehler begangen und Laplace vorausgesetzt, weil es für mich einfach so unglaublich intus ist, bereite mich gerade auf Mathe II vor ;).

Also nicht ärgern, du hast ihr mit Sicherheit weitergeholfen, ihren Fehler zu verstehen, ich bin der Mann für alternative Rechenwege ;)

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Determinante 4x4-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Di 20.09.2011
Autor: barsch

Dann einigen wir uns darauf: Wir haben uns gut ergänzt [grins]

Dann viel Erfolg für Mathe II.

Gruß
barsch


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Determinante 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Di 20.09.2011
Autor: barsch

Hallo Paula,

ich schließe mich meinem Vorredner an: Deine Methode ist wahrlich nicht die Günstigste. Das siehst du ja daran, dass einiges schief gelaufen zu sein scheint. Versuche wirklich die Determinante nach einem Verfahren wie der LaPlace-Entwicklung zu bestimmen, sofern du diese bereits kennst. Man muss ja immer vorsichtig sein, darf nichts benutzen, was in der VL (bisher) nicht verwendet wurde.

Ich will dir auch zeigen, warum deine Methode ungünstig ist:


> Zu berechnen ist die Determinante folgender Matrix:
>  
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 3 & -2 & 2 \\ -5 & -2 & 6 & -10 \\ -3 & -1 & 2 & -2 }[/mm]


Machen wir mal ein kleines Beispiel:

[mm]B=\pmat{ 6 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm]

[mm]det(B)=(\vektor{6 \\ 8} , \vektor{2 \\ 4} )=det({\red{2*0,5*}\vektor{6 \\ 8} , \vektor{2 \\ 4} })[/mm]

[mm]=\red{2*}det({\red{0,5*}\vektor{6 \\ 8} , \vektor{2 \\ 4} })=\red{2*}det({\vektor{3 \\ 4} , \vektor{2 \\ 4} })=\red{2*}det({\vektor{3 \\ 4} -\vektor{2 \\ 4} , \vektor{2 \\ 4} })=\red{2*}det({\vektor{1 \\ 0} , \vektor{2 \\ 4} })=\red{2*}1*4=8[/mm]

Du rechnest aber:

[mm]det(B)=(\vektor{6 \\ 8} , \vektor{2 \\ 4} )\neq det({\red{0,5*}\vektor{6 \\ 8} -\vektor{2 \\ 4} , \vektor{2 \\ 4} })=det(\vektor{1 \\ 0} , \vektor{2 \\ 4} )=4[/mm]

Sehen wir uns deine Schritte an:

> Und hier nochmal die Schritte, damit ihr nicht raten müsst:

1) [mm] Z_{3}-2.5Z_{1} [/mm]
2) [mm] 2Z_{2}+Z_{1} [/mm]
3) [mm] Z_{1}-2Z_{4} [/mm]
4) [mm] Z_{2}+2Z_{3} [/mm]
5) [mm] Z_{1}+2Z_{3} [/mm]
6) [mm] 3Z_{1}-Z_{2} [/mm]

Für Schritt 2) und 6) musst du deine Determinante korrigieren! Du hast 24 raus:

[mm]24*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}=4[/mm]

Und genau das ist das Ergebnis. Hättest du in in Schritt 2) [mm]Z_2+\bruch{1}{2}*Z_1[/mm] und in Schritt 6 [mm] $Z_1-\bruch{1}{3}Z_2$ [/mm] gewählt, so wärst du wohl auf das korrekte Ergebnis gekommen!

Du siehst, so macht das keinen Spass.

Gruß
barsch



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Determinante 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Di 20.09.2011
Autor: paula_88

Vielen Dank für die Erklärungen und Bemühungen, es hat sehr geholfen.

1) Ich wusste nicht, dass wenn man durch Umformungen auf eine Zeile/Spalte kommt mit nur einem Eintrag außer 0, dass man dann noch nach LaPlace entwickeln darf.
Sprich ich kann mir meine Marix umformen so viel es mir passt uns dann immer LaPlace noch danach anwenden?

2) Ganz verstanden habe ich das noch nicht mit den "Brüchen".
Mal unmathematisch ausgedrückt: Solange ich nur die Zeilen/Spalten vervielfache, die ich bei derjenigen Umformung nicht in eine Nullzeile verändern will, muss ich die Determinante später auch nicht "ausgleichen", oder?

Soweit so gut, jetzt bin ich einen Schritt weiter, wie ich Determinanten großer Matrizen berechne, die keinen Nulleintrag besitzen.

Wie berechne ich jetzt aber das charakteristische Polynom?
Wir haben dies wie folgt definiert: [mm] det(x\cdot E_{n}-A) [/mm]

[mm] \Rightarrow \vmat{ x+1 & 1 & -2 & 4 \\ -4 & x-3 & 2 & -2 \\ 5 & 2 & x-6 & 10 \\ 3 & 1 & -2 & x+2 } [/mm]

Bei Matrizen, bei denen man sofort die LaPlace-Entwicklung anwenden kann kann ich das c.P. berechnen, hier weiß ich jetzt aber nicht, wie ich trotz des x elementare Zeilenumformungen machen kann!??
Ich habe viel versucht, bin aber nie auf das richtige Polynom gekommen.

Es wäre lieb wenn ich noch solch eine klasse Erklärung bekäme :-)

Viele Grüße, Paula.



Bezug
                        
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Determinante 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Di 20.09.2011
Autor: leduart

Hallo
du kannst die eine oder andere 0 erzeugen, durch geschickte zeilenaddition, wie damit hattest du recht, da du nst des char. polynoms wissen willst kommts ja aber hier nicht auf ein paar faktoren an. im übrigen stur nach der geeignetsten zeile oder spalte entwickeln, oder nen Programm verwenden!
z. Bsp []das da
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Mi 21.09.2011
Autor: paula_88

Vielen Dank für die Antwort, diese hilf mir aber leider nur teilweise weiter :-)

Ich würde gerne die ersten Schritte sehen, wie man die Nullen erzeugt, um auch bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms die Laplace-Entwicklung benutzen zu können:

Wir haben dies wie folgt definiert: $ [mm] det(x\cdot E_{n}-A) [/mm] $

$ [mm] \Rightarrow \vmat{ x+1 & 1 & -2 & 4 \\ -4 & x-3 & 2 & -2 \\ 5 & 2 & x-6 & 10 \\ 3 & 1 & -2 & x+2 } [/mm] $

Vielen Dank für die Mühen!!!

Bezug
                                        
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Mi 21.09.2011
Autor: kamaleonti

Hallo paula_88,
> Vielen Dank für die Antwort, diese hilf mir aber leider
> nur teilweise weiter :-)
>  
> Ich würde gerne die ersten Schritte sehen, wie man die
> Nullen erzeugt, um auch bei der Berechnung des
> charakteristischen Polynoms die Laplace-Entwicklung
> benutzen zu können:
>  
> Wir haben dies wie folgt definiert: [mm]det(x\cdot E_{n}-A)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \vmat{ x+1 & 1 & -2 & 4 \\ -4 & x-3 & 2 & -2 \\ 5 & 2 & x-6 & 10 \\ 3 & 1 & -2 & x+2 }[/mm]

Subtrahiere zum Beispiel die letzte von der ersten Zeile. Dann sind in der ersten Zeile nur zwei Einträge ungleich Null und Laplaceentwicklung nach der ersten Zeile hat vertretbaren Aufwand:

[mm] \vmat{ x-2 & 0 & 0 & 2-x \\ -4 & x-3 & 2 & -2 \\ 5 & 2 & x-6 & 10 \\ 3 & 1 & -2 & x+2 } [/mm]

LG

>  
> Vielen Dank für die Mühen!!!


Bezug
                                                
Bezug
Determinante 4x4-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Mi 21.09.2011
Autor: paula_88

Vielen Dank, jetzt ist alles klar. :-)

Bezug
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