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| Aufgabe | | Gegeben ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & i & 0 & i \\ 1+i & 2 & 1+i & i \\ 3 & i & -1 & 0 \\ 1 & 1+i & -1 & 2i} \in \IC^{4 \times 4}. [/mm] Berechnen Sie detA. |
Hallo allerseits,
hänge seit einiger Zeit an obiger Aufgabe.
Zuerst hab ich geprüft ob evtl. Zeilen oder Spalten voneinander abhängig sind, dem scheint aber nicht so, d.h. ich werde die Determinante wohl berechnen müssen. Ich habe versucht sie auf Dreiecksform zu bekommen, was aber scheiterte. Gibt es irgendwelche Tipps (und Tricks) beim Umformen?
Dann hab ich sie Laplace zerlegt und komme da aber auf ziemlich großen Rechenaufwand (O.K., es ist eine 4X4 Matrix).
Hier mal mein Ansatz:
Zuerst hab ich die erste Zeile von der 2ten und 2* von der 4ten abgezogen.
[mm] \pmat{ 1 & i & 0 & i \\ i & 2-i & 1+i & 0 \\ 3 & i & -1 & 0 \\ -1 & 1-i & -1 & 0} [/mm]
Jetzt hab ich nach der 1sten Zeile und 4ten Spalte entwickelt.
[mm] (-1)^{1+4}*i*det\pmat{ i & 2-i & 1+i \\ 3 & i & -1 \\ -1 & 1-i & -1} [/mm] + [mm] (-1)^{1+1}*det*\pmat{ 2-i & 1+i & 0 \\ i & -1 & 0 \\ -1-i & -1 & 0} [/mm] + [mm] (-1)^{1+2}*i*det\pmat{ i & 1+i & 0\\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0} [/mm] + [mm] (-1)^{1+3}*0*det\pmat{ i & 2-i & 0\\ 3 & i & 0 \\ -1 & 1-i & 0} [/mm]
Vielleicht kann sich jemand, trotz Sonntag, Fussball-WM und Formel 1, erbarmen, da mal drüber zu sehen. Ich hab die Vermutung, dass die Determinante sich einfacher berechnen lässt.
MfG
Daniel
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Heee das ist doch genau richtig! Die 2,3 und vierte Determinante ist natürlich alles Null, wegen Nullspalte. Brauchste also gar nicht aufschreigen, wenn du in deine 4x4 Matrix schon eine Zeile/Spalte siehst, die bis auf ein Element nur Nullen enthält!
Jetzt kannst du so weitermachen: multipliziere doch mal in der ersten der Vier Matrizen die erste Spalte mit -1 und addiere sie zur letzte Spalte. Die Determinante ändert sich dadurch nicht!
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Hallo Jewgenij,
das ging aber schnell. Ich hab das mit den Null-Spalten gar nicht bemerkt bzw. komplett übersehen. D.h. ja dann, ich muss nur noch die Determinante meiner ersten Laplace-Entwicklung berechnen und wäre fertig, da die anderen ja alle gleich Null sind?
Gruß
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Hey!
Ja, du kannst vor allem
$ [mm] (-1)^{1+4}\cdot{}i\cdot{}det\pmat{ i & 2-i & 1+i \\ 3 & i & -1 \\ -1 & 1-i & -1} [/mm] $
=
$ [mm] (-1)^{1+4}\cdot{}i\cdot{}det\pmat{ i & 2-i & 1 \\ 3 & i & -4 \\ -1 & 1-i & 0} [/mm] $
=
(1/4)*($ [mm] (-1)^{1+4}\cdot{}i\cdot{}det\pmat{ 4i & 8-4i & 4 \\ 3 & i & -4 \\ -1 & 1-i & 0} [/mm] $)
=
(1/4)*($ [mm] (-1)^{1+4}\cdot{}i\cdot{}det\pmat{ 4i-3 & 8-3i & 0 \\ 3 & i & -4 \\ -1 & 1-i & 0} [/mm] $)
eine weitere Fast-Null-Spalte erzeugen und darauf wieder den Entwicklungssatz anwenden
(Im letzten Schritt die erste Zeile mit 4 multipliziert, deshalb die determinante zum ausgleich mit 1/4 multipliziert und dann die zweite zeile auf die erste draufaddiert!)
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> Zuerst hab ich die erste Zeile von der 2ten und 2* von der
> 4ten abgezogen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & i & 0 & i \\ i & 2-i & 1+i & 0 \\ 3 & i & -1 & 0 \\ -1 & 1-i & -1 & 0}[/mm]
>
> Jetzt hab ich nach der 1sten Zeile und 4ten Spalte
> entwickelt.
Hallo,
Du hast nach der 1.Zeile entwickelt,
den Rest hat Dir Jewgeni erklärt.
Besser wäre es, nach der 4.Spalte zu entwickeln, denn es bleibt wegen der drei Nullen in dieser Spalte ja nur ein Summand, nämlich [mm] (-1)^{1+4}*i*det\pmat{ i & 2-i & 1+i \\ 3 & i & -1 \\ -1 & 1-i & -1}.
[/mm]
Merke: immer nach Zeilen bzw. Spalten mit vielen Nullen entwickeln.
Gruß v. Angela
>
> [mm](-1)^{1+4}*i*det\pmat{ i & 2-i & 1+i \\ 3 & i & -1 \\ -1 & 1-i & -1}[/mm]
> + [mm](-1)^{1+1}*det*\pmat{ 2-i & 1+i & 0 \\ i & -1 & 0 \\ -1-i & -1 & 0}[/mm]
> + [mm](-1)^{1+2}*i*det\pmat{ i & 1+i & 0\\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0}[/mm]
> + [mm](-1)^{1+3}*0*det\pmat{ i & 2-i & 0\\ 3 & i & 0 \\ -1 & 1-i & 0}[/mm]
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Hallo angela,
stimmt, diese Art der Entwicklung kommt mir langsam wieder ins Gedächtnis.
Diesen einen Summanden/Determinate könnte ich jetzt z.B. mit der Regel von Sarrus ausrechnen oder wie es Jewgeni gezeigt hat, noch weiterentwickeln?
Gruß
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> Hallo angela,
>
> stimmt, diese Art der Entwicklung kommt mir langsam wieder
> ins Gedächtnis.
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> Diesen einen Summanden/Determinate könnte ich jetzt z.B.
> mit der Regel von Sarrus ausrechnen oder wie es Jewgeni
> gezeigt hat, noch weiterentwickeln?
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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Dann müsste das Endergebnis lauten detA= -2-15i ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 13.06.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Danke euch allen,
noch einen schönen Sonntag und Daumen drücken für heute Abend nicht vergessen 
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