Determinante 4x4 Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
[mm] \IB= \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & d & -c \\
c & -d & -a & b \\
d & c & -b & -a
\end{pmatrix}
[/mm]
Berechnen Sie die Determinante auf möglichst einfache Weise. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Quadrat der Matrix [mm] \IB [/mm] .) |
Was habe ich bisher gemacht?
das Quadrat der Matrix ausgerechnet:
[mm] \IB^2= \begin{pmatrix}
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
0 & 2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
0 & 2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{pmatrix}
[/mm]
also ist bis hierher schonmal klar, dass die Determinante so aussieht:
det [mm] \IB^2 =(a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2) [/mm] * [mm] \begin{vmatrix}
a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{vmatrix}
[/mm]
als endergebnis kommt heraus( von [mm] \IB^2 [/mm] ): [mm] (a^2+b^2+c^2+d^2)^4
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det [mm] \IB [/mm] = [mm] \left| (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \right|
[/mm]
Ich habe bereits versucht, einzelne Zeilen bzw. Spalten so umzuformen dass sie alle einträge mit 1 haben, dabei kommen allerdings in den anderen Einträgen unschöne Polynombrüche raus mit denen man nicht gerade "einfach" (wie in der Aufgabenstellung gefordert) weiter rechnen kann. Diesen Lösungsversuch habe ich abgebrochen.
Des weiteren habe ich diese Matrix in ZSF gebracht, was aber in etwa so einfach ist, wie die Determinante einfach auszurechnen. Dabei habe ich auch als Ergebnis obiges Polynom erhalten)
Nun zur Frage: hat jemand eine Idee, wie man die Matrix so vereinfachen kann dass man relativ einfach auf das Ergebnis kommt?
(Das Ergebnis ist schon da, aber mein Rechenweg ist vermutlich nicht einfach genug)
Ich brauche die Punkte für diese Aufgabe nicht mehr, aber nachdem ich 2 Tage daran herumgerechnet habe, interessiert mich der "einfache" Lösungsweg einfach. Also reißt euch mit dieser Aufgabe bitte kein Bein aus ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
edit: eintrag 3,4 muss b sein, hab den ursprünglich mit -b angegeben
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei
> [mm]\IB= \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & d & -c \\
c & -d & -a & -b \\
d & c & -b & -a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Determinante auf möglichst einfache
> Weise. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Quadrat der
> Matrix [mm]\IB[/mm] .)
> Was habe ich bisher gemacht?
> das Quadrat der Matrix ausgerechnet:
> [mm]\IB^2= \begin{pmatrix}
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
0 & 2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
0 & 2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> also ist bis hierher schonmal klar, dass die Determinante
> so aussieht:
> det [mm]\IB^2 =(a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] + [mm]c^2[/mm] + [mm]d^2)[/mm] * [mm]\begin{vmatrix}
a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{vmatrix}[/mm]
>
> als endergebnis kommt heraus( von [mm]\IB^2[/mm] ):
> [mm](a^2+b^2+c^2+d^2)^4[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] det [mm]\IB[/mm] = [mm] \left| (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \right|[/mm]
>
> Ich habe bereits versucht, einzelne Zeilen bzw. Spalten so
> umzuformen dass sie alle einträge mit 1 haben, dabei
> kommen allerdings in den anderen Einträgen unschöne
> Polynombrüche raus mit denen man nicht gerade "einfach"
> (wie in der Aufgabenstellung gefordert) weiter rechnen
> kann. Diesen Lösungsversuch habe ich abgebrochen.
>
> Des weiteren habe ich diese Matrix in ZSF gebracht, was
> aber in etwa so einfach ist, wie die Determinante einfach
> auszurechnen. Dabei habe ich auch als Ergebnis obiges
> Polynom erhalten)
>
> Nun zur Frage: hat jemand eine Idee, wie man die Matrix so
> vereinfachen kann dass man relativ einfach auf das Ergebnis
> kommt?
> (Das Ergebnis ist schon da, aber mein Rechenweg ist
> vermutlich nicht einfach genug)
ich sehe auf die Schnelle jetzt auch nichts einfaches (vielleicht kann man
so umformen, dass man binomische Formeln ausnutzen kann - aber das
habe ich in Gedanken nicht durchgespielt bekommen).
Vielleicht einfach nochmal nach Laplace entwickeln, und dabei halt nur mit
Bedacht ausmultiplizieren, so dass man nicht "zu viel im Kreis" rechnet.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Es sei
> [mm]\IB= \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
b & -a & d & -c \\
c & -d & -a & -b \\
d & c & -b & -a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Determinante auf möglichst einfache
> Weise. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Quadrat der
> Matrix [mm]\IB[/mm] .)
> Was habe ich bisher gemacht?
> das Quadrat der Matrix ausgerechnet:
> [mm]\IB^2= \begin{pmatrix}
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
0 & 2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
0 & 2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{pmatrix}[/mm]
Das stimmt doch nicht. Neben wir mal den Eintrag [mm] b_{1,4}. [/mm] Dieser ist bei dir [mm] b_{1,4}=0
[/mm]
Es ist doch aber:
[mm] b_{1,4}=ad-bc-bc-ad=-2bc
[/mm]
Stimmt eventuell obige Matrix B nicht?
>
> also ist bis hierher schonmal klar, dass die Determinante
> so aussieht:
> det [mm]\IB^2 =(a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] + [mm]c^2[/mm] + [mm]d^2)[/mm] * [mm]\begin{vmatrix}
a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\
2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\
2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2
\end{vmatrix}[/mm]
>
> als endergebnis kommt heraus( von [mm]\IB^2[/mm] ):
> [mm](a^2+b^2+c^2+d^2)^4[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] det [mm]\IB[/mm] = [mm] \left| (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \right|[/mm]
>
> Ich habe bereits versucht, einzelne Zeilen bzw. Spalten so
> umzuformen dass sie alle einträge mit 1 haben, dabei
> kommen allerdings in den anderen Einträgen unschöne
> Polynombrüche raus mit denen man nicht gerade "einfach"
> (wie in der Aufgabenstellung gefordert) weiter rechnen
> kann. Diesen Lösungsversuch habe ich abgebrochen.
>
> Des weiteren habe ich diese Matrix in ZSF gebracht, was
> aber in etwa so einfach ist, wie die Determinante einfach
> auszurechnen. Dabei habe ich auch als Ergebnis obiges
> Polynom erhalten)
>
> Nun zur Frage: hat jemand eine Idee, wie man die Matrix so
> vereinfachen kann dass man relativ einfach auf das Ergebnis
> kommt?
> (Das Ergebnis ist schon da, aber mein Rechenweg ist
> vermutlich nicht einfach genug)
>
> Ich brauche die Punkte für diese Aufgabe nicht mehr, aber
> nachdem ich 2 Tage daran herumgerechnet habe, interessiert
> mich der "einfache" Lösungsweg einfach. Also reißt euch
> mit dieser Aufgabe bitte kein Bein aus ;)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ja, in der dritten zeile der vierte eintrag hatte ein negatives vorzeichen wo keines sein sollte.
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Hallo,
nachdem sich das mit der Multiplikation aufgelöst hat, noch folgendes:
Sei $ [mm] A=\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\ 2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\ 2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix} [/mm] $
Wegen [mm] det(A)=det(A^T) [/mm] folgt: [mm] det(A^2)=det(A*A^T)
[/mm]
Nun ist aber [mm] A*A^T=\left(
\begin{array}{ccc}
\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2 & 0 & 0 \\
0 & \left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2 & 0 \\
0 & 0 & \left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2
\end{array}
\right)
[/mm]
Hiervon ist die Determinante schnell berechnet. Wurzelziehen und fertsch die Laube. Am Ende erhältst du dann auch dein Ergebnis.
Ob die Rechnung nun aber schonender ist, oder nicht, obliegt wohl der Ansicht der jeweiligen Person.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Richie,
> Hallo,
>
> nachdem sich das mit der Multiplikation aufgelöst hat,
> noch folgendes:
>
> Sei [mm]A=\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd \\ 2ad+2cb & a^2-b^2+c^2-d^2 &2cd-2ab \\ 2bd-2ac & 2ab+2cd & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wegen [mm]det(A)=det(A^T)[/mm] folgt: [mm]det(A^2)=det(A*A^T)[/mm]
von der Logik her meintest Du hier wohl
[mm] $$\det(A)^2=\det(A*A^T)$$
[/mm]
(also das Quadrat der Determinante von [mm] $A\,,$ [/mm] nicht die Determinante von [mm] $A^2$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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