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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 So 05.07.2015 | | Autor: | emperor |
| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \IN [/mm] / {1}$ und $ [mm] n_1, n_2 \in \Bbb [/mm] N$ so dass [mm] $n_1+ n_2=n.$
[/mm]
Sei $M [mm] \in \Bbb R^{n \times n}$ [/mm] gegeben durch:
[mm] $$M:=\begin{pmatrix}E_{n_1}&B\\O&C\end{pmatrix}$$
[/mm]
wobei [mm] $E_{n_1} \in \Bbb R^{n_1 \times n_1}=$ [/mm] Einheitsmatrix, [mm] $\space [/mm] B [mm] \in \Bbb R^{n_1 \times n_2}, \space [/mm] O [mm] \in \Bbb R^{n_2 \times n_1}=$ [/mm] Nullmatrix, [mm] $C\in \Bbb R^{n_2 \times n_2}$
[/mm]
> Zeigen Sie das: [mm] $\det(M)=\det(C)$ [/mm] |
Hallo,
ich möchte wie oben schon erwähnt zeigen das:
[mm] $\det(M)=\det(C)$
[/mm]
Ich dachte ich versuche das mal mit dem Laplace Entwicklungssatz und entwickle nach der ersten Spalte. Leider kommt da ein falsches Ergebnis heraus. Meine Rechnung:
[mm] $\det(M) =\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \space m_{ij} \space \lvert M_{ij} \rvert$
[/mm]
$$
[mm] \det(M) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^2 (-1)^{i+1} \space m_{i1} \space \lvert M_{i1} \rvert \\
[/mm]
= [mm] m_{11} \lvert M_{11} \rvert-m_{21} \lvert M_{22} \rvert \\ [/mm]
= [mm] E_{n_1} \lvert M_{11}\rvert-O \lvert M_{21} \rvert \\ [/mm]
= [mm] E_{n_1} \lvert C\rvert \\
[/mm]
[mm] \not= \det(C)
[/mm]
$$
Was mache ich hier falsch?
Gruß
emperor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 05.07.2015 | | Autor: | chrisno |
So wie Du den Entwicklungssatz geschrieben hast, musst Du die Elemente der Einheitsmatrix einzeln einsetzen und das ganze [mm] $n_1$ [/mm] mal durchführen. So wie Du vorgehst, möchtest Du eine Verallgemeinerung des Entwicklungssatzes benutzen. Falls das gelingt, sollte am Ende [mm] $det(E_n_1)det(C)$ [/mm] stehen, was eine zügige Lösung wäre.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:05 So 05.07.2015 | | Autor: | emperor |
Danke für die Antwort.
Wie sieht denn die Verallgemeinerung des Entwicklungssatzes aus? Ich kenne nur den Entwicklungssatz den ich am Anfang angegeben habe. Könntest du mir vielleicht den Verallgemeinerten zeigen damit ich damit versuchen kann die Gleichung zu beweisen.
Gruß
emperor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 So 05.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe diese Verallgemeinerung in Wikipedia gefunden, weil ich sicherstellen wollte, dass ich den Entwicklungssatz richtig erinnere. Mehr weiß ich nicht dazu. Wenn Ihr ihn nicht gehabt habt, dann müsstest Du ihn zuerst beweisen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mo 06.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Bringe C auf Zeilenstufenform C'.
Dann: det(C)=det(C')= Produkt der Diagonalelemente von C' und
$ [mm] M':=\begin{pmatrix}E_{n_1}&B\\O&C'\end{pmatrix} [/mm] $
ist eine obere Dreicksmatrix mit
det(M)=det(M')=det(C')=det(C).
FRED
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