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det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n\\ 2 & 2 & 3 & ... & n \\ 3 & 3 & 3 & ... & n \\ . \\ . \\ .\\ n & n & n & ... & n}
[/mm]
Meine Idee ist es die Matrix durch elementare Zeilenumformungen (Weiß noch nicht wie und hoffe auf ein Tipp) in Zeilenstufenform zu bringen, sodass nur die Diagonale vorhanden bleibt. So ungefähr meine ich das:
det [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\ . \\ . \\ .\\ 0 & 0 & 0 & ... & n}
[/mm]
Anschließend die Elemente der Diagonale herausholen, sodass eine Einheitsmatrix übrig bleibt, dessen Determinante 1 ist. Die Diagonaleinträge müssten dann meine Determinante ergeben.
det [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ . \\ . \\ .\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1}
[/mm]
=> det(A)=1*2*3*...*n oder so ähnlich.
Komme bei den el. Zeilenumformungen nicht weiter. Kann mir das einer erklären oder bin ich auf dem falschen Weg?
Könnte hier als Lösung $ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}n [/mm] $ rauskommen?
Vielen Dank im Voraus!
LG DerPinguinagent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Du beschreibst die Methode völlig richtig. Wo ist Dein Problem?
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Also ich weiß nicht wie ich das vernünftig aufschreiben soll. Kannst du mir das erklären oder vielleicht den Anfang aufschreiben, damit ich einen roten Faden habe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Sa 09.01.2016 | | Autor: | hippias |
Wie gesagt: Du hast bisher alles vernünftig aufgeschrieben. Wie genau Dein Übungsleiter die Anwendung der Zeilenumformungen sehen möchte, kann ich nicht genau sagen. Ich halte folgendes für ausreichend um Zeilenumformungen zu beschreiben:
Sei [mm] $A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ 2 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ 3 & 3 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ \vdots & & & \ldots & & \vdots\\ n & n & n & \ldots & n & n}$.
[/mm]
Subtrahiere in $A$ die $n$-te Zeile von der $i$-ten Zeile für [mm] $i=1,\ldots,n-1$. [/mm] Dies liefert
$B= [mm] \pmat{ -(n-1) & -(n-2) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ -(n-2) & -(n-2) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ -(n-3) & -(n-3) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ \vdots & & & \ldots & & \vdots\\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & 0\\ n & n & n & \ldots & n & n}$.
[/mm]
Usw. usf.
Es könnte aber sein, dass von Dir verlangt wird, dass die Einträge der Matrizen "richtig" angibst. Z.B. gilt für obige Matrix $A$, dass [mm] $A=(a_{i,j})$ [/mm] mit [mm] $a_{i,j}= \begin{cases} i & i\leq j\\ j & i< j\end{cases}$. [/mm] Analog für $B$.
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Kann hier als Lösung [mm] (-1)^{n-1}*n [/mm] rauskommen?
LG DerPinguinagent
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Könnte hier als Lösung $ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}n [/mm] $ rauskommen?
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> Könnte hier als Lösung [mm](-1)^{n-1}\cdot{}n[/mm] rauskommen?
>
Ja.
LG Angela
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Vielen Dank für die Hilfe!
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Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur aufschreibweise zu Beweisen. (Habe da noch ein paar Probleme). Konkret beziehe ich mich auf die Aufgabenstellung vom Beginn. Was muss ich alles zusätzlich zu meinem eigentlichen Beweis aufschreiben. Ich hätte zum Beispiel folgendes zu oben geschrieben:
Sei K ein Körper. A [mm] \in K^{nxn}. [/mm] Sei [mm] Q_{i}^{j} [/mm] die elementar Matrix, dann gilt det(A)= Hier würde ich mein eigentlichen Beweis hinschreiben. Wäre das so richtig oder fehlt da was?
Vielen Dank im Voraus!
LG DerPinguinagent
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Hallo,
> Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur aufschreibweise zu
> Beweisen. (Habe da noch ein paar Probleme). Konkret beziehe
> ich mich auf die Aufgabenstellung vom Beginn. Was muss ich
> alles zusätzlich zu meinem eigentlichen Beweis
> aufschreiben. Ich hätte zum Beispiel folgendes zu oben
> geschrieben:
>
> Sei K ein Körper. A [mm]\in K^{nxn}.[/mm] Sei [mm]Q_{i}^{j}[/mm] die
> elementar Matrix,
Wozu das?
> dann gilt det(A)= Hier würde ich mein
> eigentlichen Beweis hinschreiben. Wäre das so richtig oder
> fehlt da was?
Wenn du es ganz penibel machen möchtest, dann ist wohl vollständige Induktion zu erwägen ...
Beh.: Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist für die Matrix $A$ wie oben [mm] $\operatorname{det}(A)=...$
[/mm]
Dann der Beweis ...
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> LG DerPinguinagent
Gruß
schachuzipus
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Also gut dann schreibe ich einfach Beh.: det(A)=... und dann beginne ich sofort mit meinem Beweis. Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
> Also gut dann schreibe ich einfach Beh.: det(A)=... und
> dann beginne ich sofort mit meinem Beweis. Vielen Dank für
> die Hilfe!
Jo, sowas wie:
Sei [mm] $A\in M_n(\IK)$ [/mm] mit $A=(...)$ wie du es im ersten post geschrieben hast.
Beh. [mm] $\forall n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\operatorname{det}(A)=(-1)^n...$ [/mm] - das, was du da hattest
Bew.: mittels vollst. Ind.
IA: n=1 --> zeigen
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] bel. und gelte [mm] $\operatorname{det}(A)=...$
[/mm]
Dann zeige, dass die Beh. auch für $n+1$ gilt
Probier's doch mal ganz formal aufzuschreiben ...
Gruß
schachuzipus
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Ich muss ja nicht zeigen, dass [mm] (-1)^{n-1} [/mm] gilt ich musste ja nur die Determinante bestimmen und dass habe ich nicht mit Induktion gemacht!
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Hallo nochmal,
> Ich muss ja nicht zeigen, dass [mm](-1)^{n-1}[/mm] gilt ich musste
> ja nur die Determinante bestimmen und dass habe ich nicht
> mit Induktion gemacht!
Naja, du kannst natürlich die Zeilenumformungen verwenden, und wenn dein Übungsgruppenleiter mit der "Pünktchen"-Schreibweise zufrieden ist, ist alles ok.
Aber formal korrekt solltest du m.E. eine Induktion machen.
Frage ihn oder sie, wie genau bzw. formal genau der Beweis sein soll ...
Dann hast du Klarheit 
Gruß
schachuzipus
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