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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 07.01.2008 | | Autor: | die_lisa |
| Aufgabe | Berechne die Determinanten folgender Matrizen aus M NxN(R) mit Hilfe von Induktion in N:
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 2 & 2 & ... & 2 \\ 1 & 2 & 3 & ... & 3 \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & 2 & 3 & ... & N } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe nun die behauptung aufgestellt, dass det(A)=1
beweis durch induktion nach n:
IA für n=4 .... gilt
IV: die behauptung gelte für ein festes, aber beliebiges n [mm] \in [/mm] N [mm] \ge [/mm] 4.
IS: n -> n+1
genau da is das problem :o)
entwicklung nach leaplace macht hier wenig sinn, da nirgends gehäuft nuller auftreten, oder?!
aber auch leibniz würde ausarten, oder?
also - was kann ich tun?!
hoffe, ihr könnt mir helfen!
dankeschön schonmal im voraus
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> Berechne die Determinanten folgender Matrizen aus M NxN(R)
> mit Hilfe von Induktion in N:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 2 & 2 & ... & 2 \\ 1 & 2 & 3 & ... & 3 \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & 2 & 3 & ... & N }[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe nun die behauptung aufgestellt, dass det(A)=1
>
> beweis durch induktion nach n:
> IA für n=4 .... gilt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Warum machst Du Deinen Induktionsanfang denn für n=4?
Das gilt doch ab n=1, oder nicht?
Zum Induktionsschluß:
mach doch zur Übung mal eine Laplace_Entwicklung nach der ersten für n=5 und schau, was das mit det [mm] A_4 [/mm] zu tun hat. (Bedenke: wenn in einer Matrix zwei Zeilen linear abhängig sind, ist ihre Determinante =0)
Danach wirst Du's dann für n+1 hinbekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 07.01.2008 | | Autor: | die_lisa |
achso, ich dachte, das müsste halt in der reihenfolge sein... also in der letzten zeile 1 2 3 4 ....
da wär ja 4 das kleinste was ich wählen kann, oder nicht?!
hab jetzt auch mal laplace entwicklung nach der 1. zeile bei einer matrix für n=5... aber ich steh auf dem schlauch :o(
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> achso, ich dachte, das müsste halt in der reihenfolge
> sein... also in der letzten zeile 1 2 3 4 ....
> da wär ja 4 das kleinste was ich wählen kann, oder nicht?!
Nee, es wäre
[mm] A_1:=(1)
[/mm]
[mm] A_2:=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
[mm] A_3:=\pmat{ 1 & 1&1 \\ 1 & 2 &2\\1 & 2 &3}
[/mm]
[mm] A_4:=\pmat{ 1 & 1&1&1 \\ 1 & 2 &2&2\\1 & 2 &3&3\\1 & 2 &3&4}
[/mm]
[mm] A_5:=\pmat{ 1 & 1&1&1&1 \\ 1 & 2 &2&2&2\\1 & 2 &3&3&3\\1 & 2 &3&4&4\\1 & 2 &3&4&5}
[/mm]
usw.
>
> hab jetzt auch mal laplace entwicklung nach der 1. zeile
> bei einer matrix für n=5... aber ich steh auf dem schlauch
> :o(
Tja, das müßte man mal sehen, was Du getan hast. Gibt es nicht Matrizen, in denen Du linear abhängige Zeilen hast?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 07.01.2008 | | Autor: | die_lisa |
aaalso:
für N=5 hab ich:
[mm] \vmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 }
[/mm]
- [mm] \vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 5 }
[/mm]
+ [mm] \vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 5 }
[/mm]
- [mm] \vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 } [/mm]
+ [mm] \vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 }
[/mm]
die letzte entfällt, da det=0
weiter gehts
2* [mm] \vmat{ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } [/mm] - 2* [mm] \vmat{ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 5 } [/mm] + 2* [mm] \vmat{ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 5 } [/mm] - 2* [mm] \vmat{ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 }
[/mm]
letzte entfällt wieder
.
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.
wie weit soll ich es dir denn aufschreiben? das is hier so anstrengend :o)
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> wie weit soll ich es dir denn aufschreiben? das is hier so
> anstrengend :o)
Hallo,
für das, was ich Dir zeigen wollte, ist es völlig ausreichend, es soll ja hier geholfen werden und nicht gequält.
Schau Dir mal die letzten drei Matrizen an, insbesondere ihre beiden ersten Spalten. Die sind doch offensichtlich linear abhängig, also ist die det hier jeweils =0.
Jetzt gucken wir die erste Matrix an.
Deren Determinante ändert sich nicht, wenn ich v. jeder Zeile die erste abziehe.
Was habe ich dann: vorne eine Spalte mit 1 0 0 0 und dann noch die Matrix [mm] A_3. [/mm] perfekt für Laplace!
Und nun dasselbe procedere mit der 2.Matrix.
Gruß v. Angela
> aaalso:
>
> für N=5 hab ich:
>
> [mm]\vmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 }[/mm]
>
> - [mm]\vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 5 }[/mm]
>
> + [mm]\vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 5 }[/mm]
>
> - [mm]\vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 }[/mm]
> + [mm]\vmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 }[/mm]
>
> die letzte entfällt, da det=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 08.01.2008 | | Autor: | die_lisa |
aso, ich dachte nur das zählt für zeilen, an linear abhängige spalten hab ich nicht gedacht!
ich hab die erste zeile und spalte doch dann eine nullzeile, oder?!
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> aso, ich dachte nur das zählt für zeilen, an linear
> abhängige spalten hab ich nicht gedacht!
>
> ich hab die erste zeile und spalte doch dann eine
> nullzeile, oder?!
Wenn Du wo was machst, es stehen insgesamt 5 Matrizen zur Auswahl, und ich müßte schon wissen, wozu ich jetzt ja sage...
Bei den letzten dreien: ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 08.01.2008 | | Autor: | die_lisa |
bei den letzten 3 die ich dir aufgeschrieben hab is die determinante ja eh null (wg linear abhängig)
nun meintest du doch ich soll bei den anderen beiden jeweils bei jeder zeile die erste subtrahieren
dann erhalt ich doch für
[mm] \vmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 } [/mm] => [mm] \vmat{ 0 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
analog auch für die zweite entsteht die zweite matrix wennich bei jeder zeile 1 2 2 2 subtrahiere....
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> nun meintest du doch ich soll bei den anderen beiden
> jeweils bei jeder zeile die erste subtrahieren
Hallo,
ja, das schrieb ich, ich dachte aber nicht, daß Du die Zeile auch von sich selbst subtrahieren würdest...
Auf diese Art wäre ja jede Determinante schließlich =0...
Guck Dir im Skript oder sonstwo nochmal an, was Du tun darfst mit Matrizen, ohne daß sich ihre Determinante ändert - es wäre mir mühsam, sollte ich alles aufschreiben.
Zu diesen Dingen gehört jedenfalls, daß Du überall Zeilen subtrahieren darfst, allerdings nicht v. der Zeile selber.
>
> dann erhalt ich doch für
>
> [mm]\vmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 }[/mm]
=> [mm]\vmat{ 2 & 2 &2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm],
und die Determinante davon ist [mm] 2*A_3, [/mm] eine Information, die bei der Induktion spaäter hilfreixh sein könnte.
Gruß v. Angela
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> analog auch für die zweite entsteht die zweite matrix
> wennich bei jeder zeile 1 2 2 2 subtrahiere....
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