Determinante beweisen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Aufgabe:
[mm] A$\in$ M(nxn,$\IQ$) [/mm] und sind alle Einträge der Matrix ganze Zahlen. zu zeigen ist det(A) auch eine ganze Zahl.
Beweisen durch vollständige Induktion. |
Hallo,
Ich brauche Hilfe...
Die Aufgabe scheint recht simpel zu sein nur ich kriege den Induktionsschritt nicht hin. ( vollständige Induktion von Laplace)
Was ich nicht weiss ist, ob ich überhaupt den richtigen Weg genommen habe.
Gibt es einen anderen Weg das zu beweisen?
Danke sehr!
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> Aufgabe:
> A[mm]\in[/mm] M(nxn,[mm]\IQ[/mm]) und sind alle Einträge der Matrix ganze
> Zahlen. zu zeigen ist det(A) auch eine ganze Zahl.
> Beweisen durch vollständige Induktion.
> Hallo,
>
> Ich brauche Hilfe...
> Die Aufgabe scheint recht simpel zu sein nur ich kriege den
> Induktionsschritt nicht hin. ( vollständige Induktion von
> Laplace)
> Was ich nicht weiss ist, ob ich überhaupt den richtigen
> Weg genommen habe.
Hallo,
wir können doch nicht hellsehen.
Deinen Weg beureilen können wir nur, wenn wir ihn sehen.
"Induktion und Laplace" klingt nicht unvernünftig, würde ich mal sagen.
> Gibt es einen anderen Weg das zu beweisen?
Bestimmt.
Mit der Leibnizformel ginge das auch.
LG Angela
> Danke sehr!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 22.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Angela,
Ja sorry natürlich muss mann den Weg auch zeigen. Ich habe auch das vorgehabt, leider hat es gestern nicht geklappt.
So jetzt aber..
Sei j=1, [mm] M(3x3,$\IQ$)
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] $\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} *a_{ij}* [/mm] det [mm] (A_{ij})$=(-1)$^{1+1}*1*1=1=1*(-1)^{2}*1$=
[/mm]
[mm] $a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A_{ij})+...+a_{nj}*(-1)^{n+j}*det(A_{nj})
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n=t$\to$ [/mm] n=t+1
Induktionsannahme(IA):
[mm] $\summe_{i=1}^{t}(-1)^{i+j} *a_{ij}* [/mm] det [mm] (A_{ij})$=$a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A^{ij})+...+a_{tj}*(-1)^{t+j}*det(A^{tj})
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\summe_{i=1}^{t+1}(-1)^{i+j} *a_{ij}* [/mm] det [mm] (A_{ij})$=
[/mm]
[mm] $a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A_{ij})+...+a_{(t+1)j}*(-1)^{(t+1)+j}*det(A_{(t+1)j})
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{t+1}(-1)^{i+j} *a_{ij}* [/mm] det [mm] (A_{ij})$=
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{t}(-1)^{i+j} *a_{ij}* [/mm] det [mm] (A_{ij})+(t+1)$=
[/mm]
[mm] $\underbrace{a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A_{ij})+...+a_{tj}*(-1)^{t+j}*det(A_{tj})}_{IA}+(t+1)=
[/mm]
............
[mm] $a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A_{ij})+...+a_{(t+1)j}*(-1)^{(t+1)+j}*det(A_{(t+1)j})
[/mm]
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> Sei j=1, M(3x3,[mm]\IQ[/mm])
Hallo,
bevor Du etwas beweist, solltest Du mal so mutig sein, genau hinzuschreiben, was Du zeigen möchtest. Das hilft auch Dir.
Ich dachte, es ginge um Determinanten von Matrizen mit ganzzahligen Einträgen?
Macht es Dich nicht stutzig, daß in Deinem Beweis nirgendwo [mm] "\in \IZ" [/mm] vorkommt?
Wieso schreibst Du [mm] M(3\times 3,\IQ)? [/mm]
Soll es nur um [mm] 3\times [/mm] 3 Matrizen gehen?
Ich hätte eigentlich gedacht, daß die Aussage für [mm] n\times [/mm] n-Matrizen zu zeigen ist...
Behauptung:
Sei [mm] A:=(a_i_j)\in M(n\times n,\IQ) [/mm] mit [mm] a_i_j\in\IZ [/mm] für alle i,j=1,...,n.
Dann ist [mm] det(A)\in \IZ.
[/mm]
> Induktionsanfang: n=1
Hier mußt Du glaubhaft machen, daß die Determinante einer [mm] 1\times [/mm] 1-Matrix mit ganzzahligen Einträgen eine ganze Zahl ist.
Wie sieht denn eine [mm] 1\times [/mm] 1-Matrix mit Einträgen aus [mm] \IZ [/mm] aus?
Und was ist ihre Determinante? Dafür braucht man echt kein Summengedöns...
Schreib das mal hin und guck nach, ob die Determinante eine ganze Zahl ist. Dann hast Du den Induktionsanfang.
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} *a_{ij}* det (A_{ij})[/mm]=(-1)[mm]^{1+1}*1*1=1=1*(-1)^{2}*1[/mm]=
>
> [mm]$a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A_{ij})+...+a_{nj}*(-1)^{n+j}*det(A_{nj})[/mm]
Das ist doch Kokolores.
für n=1 hätte die Summe - wenn man sie denn bilden will - einen einzigen Summanden.
Und was sollte [mm] A_1_1 [/mm] ind diesem Falle sein?
Laplaceentwickling bei einer [mm] 1\times [/mm] 1-Matrix ist echt nicht so sinnig.
>
> Induktionsschritt: n=t[mm]\to[/mm] n=t+1
>
> Induktionsannahme(IA):
> [mm]$\summe_{i=1}^{t}(-1)^{i+j} *a_{ij}*[/mm] det
> [mm](A_{ij})$=$a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A^{ij})+...+a_{tj}*(-1)^{t+j}*det(A^{tj})[/mm]
Nein.
In der Induktionsannahme nimmt man jetzt an, daß die Aussage für n=t gilt:
es gelte also für [mm] A:=(a_i_j)\in M(t\times t,\IQ) [/mm] mit [mm] a_i_j\in\IZ [/mm] für i,j=1,...,t: [mm] det(A)\in \IZ.
[/mm]
In Worten: die Determinante sämtlicher [mm] t\times [/mm] t-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IZ [/mm] ist eine ganze Zahl.
>
> Zu zeigen:
Wenn das gilt, ist auch die Determinante sämtlicher [mm] (t+1)\times [/mm] (t+1)-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IZ [/mm] eine ganze Zahl.
Beweis: es sei [mm] A:=(a_i_j)\in M((t+1)\times (t+1),\IQ) [/mm] mit [mm] a_i_j\in\IZ [/mm] für allle ij=1,...,t,t+1.
Es ist det(A)=...
Jetzt kannst Du mit Laplace anrücken, etwa nach der ersten Spalte (j=1) entwickeln.
Wenn Du dann die Summe dastehen hast, mußt Du Argumente dafür finden, daß das Ergebnis eine ganze Zahl ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mo 23.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Ich dachte, es ginge um Determinanten von Matrizen mit
> ganzzahligen Einträgen?
> Macht es Dich nicht stutzig, daß in Deinem Beweis
> nirgendwo [mm]"\in \IZ"[/mm] vorkommt?
>
> Wieso schreibst Du [mm]M(3\times 3,\IQ)?[/mm]
> Soll es nur um [mm]3\times[/mm] 3 Matrizen gehen?
> Ich hätte eigentlich gedacht, daß die Aussage für
> [mm]n\times[/mm] n-Matrizen zu zeigen ist...
>
>
> Behauptung:
> Sei [mm]A:=(a_i_j)\in M(n\times n,\IQ)[/mm] mit [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für
> alle i,j=1,...,n.
> Dann ist [mm]det(A)\in \IZ.[/mm]
Ok das habe ich weg gelassen, weil für mich das war selbstverständlich
Aber natürlich das muss man am Anfang schreiben, hast du recht.
>
> > Induktionsanfang: n=1
>
> Hier mußt Du glaubhaft machen, daß die Determinante einer
> [mm]1\times[/mm] 1-Matrix mit ganzzahligen Einträgen eine ganze
> Zahl ist.
> Wie sieht denn eine [mm]1\times[/mm] 1-Matrix mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm]
> aus?
> Und was ist ihre Determinante? Dafür braucht man echt
> kein Summengedöns...
> Schreib das mal hin und guck nach, ob die Determinante
> eine ganze Zahl ist. Dann hast Du den Induktionsanfang.
Ich habe gedacht das wenn man eine Vollständige Induktion macht, muss man vom Anfang bis zu
Ende bei Laplace's Entwicklungssatz bleiben.
Ok. Dann kann ich auch so schreiben:
Induktionsanfang:
Sei n=1,
[mm] A$\in$M(1x1,$\IQ$) [/mm] dann det (A)=1 also ganze Zahl.
> > Induktionsschritt: n=t[mm]\to[/mm] n=t+1
> >
> > Induktionsannahme(IA):
> > [mm]$\summe_{i=1}^{t}(-1)^{i+j} *a_{ij}*[/mm] det
> >
> [mm](A_{ij})$=$a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A^{ij})+...+a_{tj}*(-1)^{t+j}*det(A^{tj})[/mm]
>
> Nein.
>
> In der Induktionsannahme nimmt man jetzt an, daß die
> Aussage für n=t gilt:
Habe ich doch auch gemacht,halt nur mit Laplace...
>
> es gelte also für [mm]A:=(a_i_j)\in M(t\times t,\IQ)[/mm] mit
> [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für i,j=1,...,t: [mm]det(A)\in \IZ.[/mm]
>
> In Worten: die Determinante sämtlicher [mm]t\times[/mm] t-Matrizen
> mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm] ist eine ganze Zahl.
Ok verstehe ich...
> > Zu zeigen:
>
> Wenn das gilt, ist auch die Determinante sämtlicher
> [mm](t+1)\times[/mm] (t+1)-Matrizen mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm] eine
> ganze Zahl.
> Beweis: es sei [mm]A:=(a_i_j)\in M((t+1)\times (t+1),\IQ)[/mm] mit
> [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für allle ij=1,...,t,t+1.
>
> Es ist det(A)=...
>
> Jetzt kannst Du mit Laplace anrücken, etwa nach der ersten
> Spalte (j=1) entwickeln.
> Wenn Du dann die Summe dastehen hast, mußt Du Argumente
> dafür finden, daß das Ergebnis eine ganze Zahl ist.
Das hier verstehe ich nicht...
Du meinst das ich oben ganz falsch mit dem einsetzen von t+1 auf diese weise bin?
$ [mm] \summe_{i=1}^{t+1}(-1)^{i+j} \cdot{}a_{ij}\cdot{} [/mm] det [mm] (A_{ij}) [/mm] $
=$ [mm] $a_{ij}\cdot{}(-1)^{i+j}\cdot{}det(A_{ij})+...+a_{(t+1)j}\cdot{}(-1)^{(t+1)+j}\cdot{}det(A_{(t+1)j}) [/mm] $
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Hallo,
> > Ich dachte, es ginge um Determinanten von Matrizen mit
> > ganzzahligen Einträgen?
> > Macht es Dich nicht stutzig, daß in Deinem Beweis
> > nirgendwo [mm]"\in \IZ"[/mm] vorkommt?
> >
> > Wieso schreibst Du [mm]M(3\times 3,\IQ)?[/mm]
> > Soll es nur um [mm]3\times[/mm] 3 Matrizen gehen?
> > Ich hätte eigentlich gedacht, daß die Aussage für
> > [mm]n\times[/mm] n-Matrizen zu zeigen ist...
> >
> >
> > Behauptung:
> > Sei [mm]A:=(a_i_j)\in M(n\times n,\IQ)[/mm] mit [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für
> > alle i,j=1,...,n.
> > Dann ist [mm]det(A)\in \IZ.[/mm]
> Ok das habe ich weg gelassen,
> weil für mich das war selbstverständlich
> Aber natürlich das muss man am Anfang schreiben, hast du
> recht.
> >
> > > Induktionsanfang: n=1
> >
> > Hier mußt Du glaubhaft machen, daß die Determinante einer
> > [mm]1\times[/mm] 1-Matrix mit ganzzahligen Einträgen eine ganze
> > Zahl ist.
> > Wie sieht denn eine [mm]1\times[/mm] 1-Matrix mit Einträgen aus
> [mm]\IZ[/mm]
> > aus?
> > Und was ist ihre Determinante? Dafür braucht man echt
> > kein Summengedöns...
> > Schreib das mal hin und guck nach, ob die Determinante
> > eine ganze Zahl ist. Dann hast Du den Induktionsanfang.
>
> Ich habe gedacht das wenn man eine Vollständige Induktion
> macht, muss man vom Anfang bis zu
> Ende bei Laplace's Entwicklungssatz bleiben.
> Ok. Dann kann ich auch so schreiben:
> Induktionsanfang:
> Sei n=1,
> A[mm]\in[/mm]M(1x1,[mm]\IQ[/mm]) dann det (A)=1 also ganze Zahl.
??
Wieso sollte die Determinante 1 sein?
Die Matrix sieht doch so aus: [mm]A=\pmat{a}[/mm] mit [mm]a\in\IZ[/mm]
Wie lautet [mm]\operatorname{det}(A)[/mm]?
>
> > > Induktionsschritt: n=t[mm]\to[/mm] n=t+1
> > >
> > > Induktionsannahme(IA):
> > > [mm]\summe_{i=1}^{t}(-1)^{i+j} *a_{ij}*[/mm] det
> > >
> >
> [mm](A_{ij})[mm]=[/mm]a_{ij}*(-1)^{i+j}*det(A^{ij})+...+a_{tj}*(-1)^{t+j}*det(A^{tj})[/mm]
> >
> > Nein.
> >
> > In der Induktionsannahme nimmt man jetzt an, daß die
> > Aussage für n=t gilt:
>
> Habe ich doch auch gemacht,halt nur mit Laplace...
> >
> > es gelte also für [mm]A:=(a_i_j)\in M(t\times t,\IQ)[/mm] mit
> > [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für i,j=1,...,t: [mm]det(A)\in \IZ.[/mm]
> >
> > In Worten: die Determinante sämtlicher [mm]t\times[/mm] t-Matrizen
> > mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm] ist eine ganze Zahl.
>
> Ok verstehe ich...
>
>
> > > Zu zeigen:
> >
> > Wenn das gilt, ist auch die Determinante sämtlicher
> > [mm](t+1)\times[/mm] (t+1)-Matrizen mit Einträgen aus [mm]\IZ[/mm] eine
> > ganze Zahl.
>
> > Beweis: es sei [mm]A:=(a_i_j)\in M((t+1)\times (t+1),\IQ)[/mm] mit
> > [mm]a_i_j\in\IZ[/mm] für allle ij=1,...,t,t+1.
> >
> > Es ist det(A)=...
> >
>
> > Jetzt kannst Du mit Laplace anrücken, etwa nach der ersten
> > Spalte (j=1) entwickeln.
> > Wenn Du dann die Summe dastehen hast, mußt Du
> Argumente
> > dafür finden, daß das Ergebnis eine ganze Zahl ist.
>
> Das hier verstehe ich nicht...
> Du meinst das ich oben ganz falsch mit dem einsetzen von
> t+1 auf diese weise bin?
> [mm]\summe_{i=1}^{t+1}(-1)^{i+j} \cdot{}a_{ij}\cdot{} det (A_{ij})[/mm]
>
> =[mm]
> [mm]a_{ij}\cdot{}(-1)^{i+j}\cdot{}det(A_{ij})+...+a_{(t+1)j}\cdot{}(-1)^{(t+1)+j}\cdot{}det(A_{(t+1)j})[/mm]
> [/mm]
>
Wenn du entwickelst, haben doch die Untermatrizen das Format [mm]t\times t[/mm] - und deren Determinanten sind nach Induktionsvoraussetzung allesamt ganzzahlig.
Du multiplizierst also ganze Zahlen mit ganzen Zahlen, summierst da einiges auf und verlässt [mm]\IZ[/mm] somit nicht.
Das schreibe noch "schön" auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 25.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo schachuzipus,
Danke erstmal!
> > Induktionsanfang:
> > Sei n=1,
> > A[mm]\in[/mm]M(1x1,[mm]\IQ[/mm]) dann det (A)=1 also ganze Zahl.
>
> Wieso sollte die Determinante 1 sein?
Weil die Matrix 1x1 ist mit der einzigen Zahl=1
> Die Matrix sieht doch so aus: [mm]A=\pmat{a}[/mm] mit [mm]a\in\IZ[/mm]
>
> Wie lautet [mm]\operatorname{det}(A)[/mm]?
>
>
> Wenn du entwickelst, haben doch die Untermatrizen das
> Format [mm]t\times t[/mm] - und deren Determinanten sind nach
> Induktionsvoraussetzung allesamt ganzzahlig.
>
> Du multiplizierst also ganze Zahlen mit ganzen Zahlen,
> summierst da einiges auf und verlässt [mm]\IZ[/mm] somit nicht.
>
> Das schreibe noch "schön" auf ...
>
Das ist doch alles richtig und klar, das verstehe ich auch. Aber wie beweise ich das?!
Wenn ich nur zeige das die Unterdeterminante aus ganzen Zahlen besteht, das reicht doch nicht aus...
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 25.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich versuche nochmal alles zusammen zu fassen..
Sei A:=(a$_{ij})\inM(nxn,\IQ)$ mit $a_{ij}\in\IZ$ für alle i,j=1,...,n
Induktionsanfang:n=1 det$_{1}:Mat(1x1,\IZ)\to \IZ, a_{ij} \to a_{ij}$
Induktionsschritt: n=t$\to$n=t+1
Induktionsannahme(IA):
Sei A:=(a$_{ij})\in M(txt,\IQ)$ mit $a_{ij}\in \IZ $. für i,j=1,...,t
det(A)$\in \IZ$
Beweis: Es sei A:=(a$_{ij}\in M((t+1)*(t+1),\IQ)$ mit $ a_{ij}\in \IZ$ für $alle i,j=1,...,t,t+1$
Dann ist det(A)=$\summe_{j=1}^{t+1}$*$a__{(t+1)j$ *$(-1)^{(t+1)+j}$ *det($A_{(t+1)j}$)
t+1 ist doch das gleiche wie IA+1
Ich kann doch auch so schreiben
det(A)=$\summe_{j=1}^{t}$*$a__{tj}$ *$(-1)^{t+j}$ *det($A_{tj}$)+$\summe_{j=1}^{1}$*$a__{1j}$ *$(-1)^{1+j}$ *det($A_{1j}$)
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Hallo,
> Sei A:=(a[mm]_{ij})\inM(nxn,\IQ)[/mm] mit [mm]a_{ij}\in\IZ[/mm] für alle
> i,j=1,...,n
> Induktionsanfang:n=1
Dann ist A=(a) mit [mm] a\in \IZ [/mm] und es ist [mm] det(A)=a\in \IZ.
[/mm]
> Induktionsschritt: n=t[mm]\to[/mm]n=t+1
> Induktionsannahme(IA):
für ein [mm] t\in \IN [/mm] gilt
> A:=(a[mm]_{ij})\in M(txt,\IQ)[/mm] mit [mm]a_{ij}\in \IZ [/mm]. für
> i,j=1,...,t.
Dann ist
> det(A)[mm]\in \IZ[/mm]
In Worten: es wird angenommen, daß alle [mm] t\times [/mm] t-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IZ [/mm] eine ganzzahlige Determinante haben.
>
> Beweis: Es sei A:=(a[mm]_{ij}\in M((t+1)*(t+1),\IQ)[/mm] mit
> [mm]a_{ij}\in \IZ[/mm] für [mm]alle i,j=1,...,t,t+1[/mm]
> Dann ist
> det(A)=[mm]\summe_{j=1}^{t+1}[/mm]*[mm]a_{(t+1)j[/mm] *[mm](-1)^{(t+1)+j}[/mm]
> *det([mm]A_{(t+1)j}[/mm]
Du hast jetzt nach der (t+1)-ten Spalte entwickelt.
Überleg' Dir, woher die Faktoren [mm] a_{(t+1)j} [/mm] kommen, überleg' Dir, welches Format die [mm] A_{(t+1)j} [/mm] haben.
Was folgt daraus?
>
> t+1 ist doch das gleiche wie IA+1
???
>
> Ich kann doch auch so schreiben
> det(A)=[mm]\summe_{j=1}^{t}[/mm]*[mm]a__{tj}[/mm] *[mm](-1)^{t+j}[/mm]
> *det([mm]A_{tj}[/mm])+[mm]\summe_{j=1}^{1}[/mm]*[mm]a__{1j}[/mm] *[mm](-1)^{1+j}[/mm]
> *det([mm]A_{1j}[/mm])
Nein,
und wenn Du Dir die t+1 Summanden von det(A)=[mm]\summe_{j=1}^{t+1}a_{(t+1)j[/mm] *[mm](-1)^{(t+1)+j}[/mm] *det([mm]A_{(t+1)j}[/mm]
mal ausschreibst, dann wirst Du sehen, daß das der totale Quatsch ist.
Richtig ist
[mm] det(A)=[\summe_{j=1}^{t}a_{(t+1)j}*(-1)^{(t+1)+j} *det(A_{(t+1)j}]+a_{(t+1)(t+1)}*(-1)^{(t+1)+(t+1)} *det(A_{(t+1)(t+1)},
[/mm]
aber diese Darstellung nützt uns hier nichts.
LG Angela
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>
>
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> > > Induktionsanfang:
> > > Sei n=1,
> > > A[mm]\in[/mm]M(1x1,[mm]\IQ[/mm]) dann det (A)=1 also ganze Zahl.
> >
> > Wieso sollte die Determinante 1 sein?
> Weil die Matrix 1x1 ist mit der einzigen Zahl=1
Hallo,
wie kommst Du nur darauf?
Eine [mm] 1\times [/mm] 1-Matrix ist eine Matrix mit einer Zeile und einer Spalte.
Sie hat nur einen Eintrag.
A[mm]\in[/mm]M(1x1,[mm]\IQ[/mm]) sagt uns, daß dieser Eintrag aus [mm] \IQ [/mm] ist, bei den Voraussetzungen Deiner Aufgabe ist er sagar eine ganze Zahl.
Du erzählst uns nun, daß z.B. für A:=(-4711) gilt: det(A)=1...
>
>
> > Die Matrix sieht doch so aus: [mm]A=\pmat{a}[/mm] mit [mm]a\in\IZ[/mm]
> >
> > Wie lautet [mm]\operatorname{det}(A)[/mm]?
> >
>
> >
> > Wenn du entwickelst, haben doch die Untermatrizen das
> > Format [mm]t\times t[/mm] - und deren Determinanten sind nach
> > Induktionsvoraussetzung allesamt ganzzahlig.
> >
> > Du multiplizierst also ganze Zahlen mit ganzen Zahlen,
> > summierst da einiges auf und verlässt [mm]\IZ[/mm] somit nicht.
> >
> > Das schreibe noch "schön" auf ...
> >
> Das ist doch alles richtig und klar, das verstehe ich auch.
> Aber wie beweise ich das?!
Sag "dies ist aus [mm] \IZ, [/mm] und das ist aus [mm] \IZ, [/mm] also ist jenes auch aus [mm] \IZ."
[/mm]
Wenn die Laplaceentwicklung dasteht, ist nichts mehr zu rechnen, sondern zu argumentieren.
> Wenn ich nur zeige das die Unterdeterminante aus ganzen
> Zahlen besteht, das reicht doch nicht aus...
Die Unterdeterminanten bestehen aus ganzen Zahlen und die Faktoren davor auch.
Wenn Du Dir Gedanken über das Format der Unterdeterminanten machst, kannst Du die Induktionsvoraussetzung verwenden.
LG Angela
>
>
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 26.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Angela,
> Du erzählst uns nun, daß z.B. für A:=(-4711) gilt:
> det(A)=1...
Ok jetzt habe verstanden warum diese Frage..
Ich habe in Gedanken eine E Matrix deswegen habe ich 1 geschrieben. Da eine Matrix 1x1 aus einem Element besteht,
Also aus [mm] $a_{11}$ [/mm] dh. Det [mm] (A)=$a_{11}$ [/mm]
So jetzt weiter
>Du hast jetzt nach der (t+1)-ten Spalte entwickelt.
>Überleg' Dir, woher die Faktoren a${_(t+1)j}$ kommen, überleg' Dir, welches Format die A$_{(t+1)j}$haben.
>Was folgt daraus?
t+1 ist doch Anzahl der Spalten/Zeilen+1, d.h. Wenn alle Einträge ganze Zahlen sind, dann t+1 besteht auch aus Zahlen in [mm] $\IZ$.
[/mm]
a${_(t+1)j}$ dass ist auch eine Zahl aus [mm] $\IZ$ [/mm] , weil alle Zahlen in der Matrix -ganze Zahlen sind.
Hier A$_{(t+1)j}$ das ist eine Unterdeterminante, und ihre Faktoren sind auch ganze Zahlen.
Da bei der Ermittlung die Unterdeterminante wird Addition, Subtraktion und Multiplikation verwendet wird, und Die Menge der ganzen Zahlen bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen ist, sprich das Ergebnis sind ganze Zahlen.
Ist die Unterdeterminante auch eine ganze Zahl.
Oder meinst du was anderes?
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> >Du hast jetzt nach der (t+1)-ten Spalte entwickelt.
> >Überleg' Dir, woher die Faktoren a[mm]_{(t+1)j}[/mm] kommen,
> überleg' Dir, welches Format die A[mm]_{(t+1)j}[/mm]haben.
> >Was folgt daraus?
>
> t+1 ist doch Anzahl der Spalten/Zeilen+1,
Hallo,
t+1 ist die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix A, welche nun betrachtet wird.
Die Anzahl der Zeilen und Spalten ist um 1 größer als die der Matrix in der Induktionsvoraussetzung.
> d.h. Wenn alle
> Einträge ganze Zahlen sind, dann t+1 besteht auch aus
> Zahlen in [mm]\IZ[/mm].
???
Die Matrix hat Einträge aus [mm] \IZ.
[/mm]
> a[mm]_{(t+1)j}[/mm] dass ist auch eine Zahl aus [mm]\IZ[/mm] , weil alle
> Zahlen in der Matrix -ganze Zahlen sind.
Ja.
>
> Hier A[mm]_{(t+1)j}[/mm] das ist eine Unterdeterminante,
Nein. Es ist eine Untermatrix, welche auf eine bestimmte Weise entstanden ist.
Wie?
Wieviele Zeilen/Spalten hat sie?
Ihre Einträge sind ganze Zahlen.
Mit der richtigen Argumentation (Induktionsannahme) kannst Du nach diesen Überlegungen nun sagen, warum ihre Determinante ganzzahlig ist.
LG Angela
> und ihre
> Faktoren sind auch ganze Zahlen.
> Da bei der Ermittlung die Unterdeterminante wird Addition,
> Subtraktion und Multiplikation verwendet wird, und Die
> Menge der ganzen Zahlen bezüglich Addition, Subtraktion
> und Multiplikation abgeschlossen ist, sprich das Ergebnis
> sind ganze Zahlen.
> Ist die Unterdeterminante auch eine ganze Zahl.
>
> Oder meinst du was anderes?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 26.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> > >Du hast jetzt nach der (t+1)-ten Spalte entwickelt.
> Hallo,
>
> t+1 ist die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix A,
> welche nun betrachtet wird.
> Die Anzahl der Zeilen und Spalten ist um 1 größer als
> die der Matrix in der Induktionsvoraussetzung.
Genau das meine ich auch.
>
>
> > d.h. Wenn alle
> > Einträge ganze Zahlen sind, dann t+1 besteht auch aus
> > Zahlen in [mm]\IZ[/mm].
>
> ???
> Die Matrix hat Einträge aus [mm]\IZ.[/mm]
Ok du kannst das besser Ausdrücken...genau das wollte ich auch sagen
>
> > a[mm]_{(t+1)j}[/mm] dass ist auch eine Zahl aus [mm]\IZ[/mm] , weil alle
> > Zahlen in der Matrix -ganze Zahlen sind.
>
> Ja.
>
> >
> > Hier A[mm]_{(t+1)j}[/mm] das ist eine Unterdeterminante,
>
> Nein. Es ist eine Untermatrix, welche auf eine bestimmte
> Weise entstanden ist.
Sorry ich habe hier ein wenig falsch zitiert.
Ich habe hier Laplace Formel (allgemein) zitiert , nicht die Entwicklung nach eine Spalte/Zeile.
Das natürlich die Untermatrix A[mm]_{(t+1)j}[/mm] die durch
weglassen von i-Zeile und j-Spalte entsteht.
> Wie?
> Wieviele Zeilen/Spalten hat sie?
Die Matrix Allgemein t+1 Spalten/Zeilen. Die Untermatrix t Zeilen und t-Spalten.
> Ihre Einträge sind ganze Zahlen.
>
> Mit der richtigen Argumentation (Induktionsannahme) kannst
> Du nach diesen Überlegungen nun sagen, warum ihre
> Determinante ganzzahlig ist.
Weil die Untermatrix besteht aus t-Zeilen/Spalten, dessen Einträge ganze Zahlen sind.
> LG Angel
>
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> Sorry ich habe hier ein wenig falsch zitiert.
> Ich habe hier Laplace Formel (allgemein) zitiert , nicht
> die Entwicklung nach eine Spalte/Zeile.
Hallo,
???
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> Das natürlich die Untermatrix A[mm]_{(t+1)j}[/mm] die durch
> weglassen von i-Zeile und j-Spalte entsteht.
> > Mit der richtigen Argumentation (Induktionsannahme) kannst
> > Du nach diesen Überlegungen nun sagen, warum ihre
> > Determinante ganzzahlig ist.
>
> Weil die Untermatrix besteht aus t-Zeilen/Spalten, dessen
> Einträge ganze Zahlen sind.
Genau.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Danke für die Hilfe! Jetzt habe ich verstanden!!
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