Determinante eines Eigenwerts < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 02.06.2009 | | Autor: | Lew |
Hallo,
ich schreibe morgen eine Klausur und habe dringend noch eine Frage...
Wir sollen Eigenwerte und -vektoren berechnen, was ich eigentlich auch kann, aber ich hab ein kleines Problem schon ganz zu Beginn der Rechnung..
Ich habe die Matrix
( 0 0 4
1 2 1
1 0 3)
und soll den Eigenwert dieser berechnen...
also gilt erst A-aE (a = Lambda)
damit:
(-a 0 4
1 2-a 1
1 0 3-a)
wie berechne ich nun genau die determinante?
könnte ihr mir das eventuell mit den einzelnen rechenschritten aufschreiben....
das ergebnis ist a³-5a²+a+8, aber wie komm ich darauf...
ich bin irgendwie bei (-a*2-a*3-a) - (2-a*4) angekommen, aber irgendwie stimmt das ja eher minder überein...
danke schonmal für die tipps...schnelle antworten wären sher hilfreich :)
grüße
Lew
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lew und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> ich schreibe morgen eine Klausur und habe dringend noch
> eine Frage...
> Wir sollen Eigenwerte und -vektoren berechnen, was ich
> eigentlich auch kann, aber ich hab ein kleines Problem
> schon ganz zu Beginn der Rechnung..
>
> Ich habe die Matrix
> ( 0 0 4
> 1 2 1
> 1 0 3)
[mm] $\pmat{0&0&4\\1&2&1\\1&0&3} [/mm] \ \ [mm] \longleftarrow$ [/mm] klick!
> und soll den Eigenwert dieser berechnen...
> also gilt erst A-aE (a = Lambda)
> damit:
> (-a 0 4
> 1 2-a 1
> 1 0 3-a)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , also
[mm] $\pmat{-\lambda&0&4\\1&2-\lambda&1\\1&0&3-\lambda}$
[/mm]
> wie berechne ich nun genau die determinante?
Da es eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix ist, empfiehlt sich die Regel von Sarrus oder alternativ (und vllt. mit dem geringsten Aufwand verbunden) Entwicklung nach der 2.Spalte gem. Laplace, denn dort stehen schon zwei Nullen:
Ich zeige dir letzteres, du verifizierst das Ergebnis mit Sarrus, ok?
Also Laplace-Entwicklung nach der 2. Spalte: (denke an die schachbrettartige Vorzeichenverteilung)
[mm] $det\pmat{-\lambda&0&4\\1&2-\lambda&1\\1&0&3-\lambda}=(-1)^{1+2}\cdot{}0\cdot{}det\pmat{1&1\\1&3-\lambda}+(-1)^{2+2}\cdot{}(2-\lambda)\cdot{}det\pmat{-\lambda&4\\1&3-\lambda}+(-1)^{3+2}\cdot{}0\cdot{}det\pmat{-\lambda&4\\1&1}$
[/mm]
[mm] $=(2-\lambda)\cdot{}det\pmat{-\lambda&4\\1&3-\lambda}$ [/mm] nun die Regel für die Det. einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix:
[mm] $=(2-\lambda)\cdot{}\left(-\lambda\cdot{}(3-\lambda)-1\cdot{}4\right)=(2-\lambda)\cdot{}(\lambda^2-3\lambda-4)=-\lambda^3+5\lambda^2-2\lambda-8=-(\lambda^3-5\lambda^2+\red{2}\lambda+8)$
[/mm]
Stimmt also fast mit deinem Ergebnis überein, einer von uns hat sich also verrechnet oder verschrieben.
Aber das kannst du ja jetzt mal nachkontrollieren
> könnte ihr mir das eventuell mit den einzelnen
> rechenschritten aufschreiben....
> das ergebnis ist a³-5a²+a+8, aber wie komm ich darauf...
> ich bin irgendwie bei (-a*2-a*3-a) - (2-a*4) angekommen,
> aber irgendwie stimmt das ja eher minder überein...
>
> danke schonmal für die tipps...schnelle antworten wären
> sher hilfreich :)
>
> grüße
> Lew
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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