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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 09.11.2010 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Sei A eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Welche Aussagen sind korrekt?
a) Ist A für jede Primzahl p invertierbar modulo p, so ist detA=1
b) Ist A für jede Primzahl p invertierbar modulo p, so ist [mm] detA\in [/mm] {-1,1}
c) A ist für hochstens endlich viele Primzahlen p nicht invertierbar modulo p. |
Hallo,
ich hab mir bereits überlegt dass c) falsch sein müsste, denn man kann für A die Nullmatrix wählen und diese ist für keine Primzahl,also unendlich viele Primzahlen nicht invertierbar.
Bei a) und b) hab ich allerdings meine Probleme. Angenommen a) wäre richtig,dann wäre b) automatisch auch richtig, weil die Aussage a) ja enthält. Aber wie überprüft man z.B. ob eine Matrix für alle Primzahlen invertierbar ist.
Ich hatte z.B. an die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] gedacht, die hat als Determinante -1. Aber ist sie für alle p invertierbar?
Ist also b) richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 12.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Sei A eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Welche
> Aussagen sind korrekt?
> a) Ist A für jede Primzahl p invertierbar modulo p, so
> ist detA=1
> b) Ist A für jede Primzahl p invertierbar modulo p, so
> ist [mm]detA\in[/mm] {-1,1}
> c) A ist für hochstens endlich viele Primzahlen p nicht
> invertierbar modulo p.
> Hallo,
> ich hab mir bereits überlegt dass c) falsch sein müsste,
> denn man kann für A die Nullmatrix wählen und diese ist
> für keine Primzahl,also unendlich viele Primzahlen nicht
> invertierbar.
Eine Matrix mit Determinante 0, ist auch fuer keine Primzahl p modulo p invertierbar.
> Bei a) und b) hab ich allerdings meine Probleme.
> Angenommen a) wäre richtig,dann wäre b) automatisch auch
> richtig, weil die Aussage a) ja enthält. Aber wie
> überprüft man z.B. ob eine Matrix für alle Primzahlen
> invertierbar ist.
> Ich hatte z.B. an die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> gedacht, die hat als Determinante -1. Aber ist sie für
> alle p invertierbar?
> Ist also b) richtig?
Ja b) ist richtig und a) falsch.
Uebrigens, ist die Determinante einer ganzzahligen Matrix +1 oder -1, so ist die inverse Matrix auch ganzzahlig.
Teilt eine Primzahl p die Determinante, so ist die Determinante modulo p gleich 0 und die Matrix kann modulo p nicht invertierbar sein.
Vielleich war bei c folgendes gemeint: Ist A invertierbar (in [mm] $\mathbb [/mm] Q$), dann ist sie fuer hoechstens endlich viele Primzahlen p nicht invertierbar. Diese Aussage waere richtig.
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