matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDiskrete MathematikDeterminante modular berechnen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Diskrete Mathematik" - Determinante modular berechnen
Determinante modular berechnen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Determinante modular berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 13.01.2010
Autor: alexismichael

Aufgabe
Berechnen Sie die Determinante von [mm] A = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 99 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 200 } [/mm] mit modularer Arithmetik und Wahl von drei geeigneten Modulen.

Zuerst habe ich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnet:

[mm] det A = -9700 [/mm]

Anschließend habe ich mir zwei verschiedene Sätze von Modulen überlegt: 1.) 99 100 101 und 2.) 3 7 11 (zwei verschiedene da für 1. eine Musterlösung existiert, ich für 2. das ganze aber nochmal verinnerlichen wollte.)

das ergibt folgende Matrizen:

1.) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }_{100} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{99} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 }_{101} [/mm]

2.) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{3} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 4 }_{7} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{11} [/mm]

mit den folgenden Determinanten:

1.) [mm] det A_{100}=0 ; det A_{99}=2 ; det A_{101}=-4 [/mm]

2.) [mm] det A_{3}=2 ; det A_{7}=2 ; det A_{11}=2 [/mm]

Weiter geht es mithilfe von simultanen linearen Kongruenzen:

1.)
[mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 99 * 100 * 101 = 999900[/mm]

[mm] ggT(m_i, \br {M}{m_i}) [/mm]

10100 = 102 * 99 + 2
99 = 49 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 4999 * 99 - (10100 * 49)

9999 = 99 * 100 + 99
100 = 99 * 1 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 =100 * 100 - 9999 * 1

9900 = 98 * 101 + 2
101 = 50 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 4901 * 101 - (9900 * 50)

[mm] \Rightarrow [/mm] x = 2 * 10100 * 49 + 0 * (-9999) + (-4) * (-9900 * 50) = 990200

990200 [mm] \equiv [/mm] -9700 mod 999900

2.)
[mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 3 * 7 * 11 = 231[/mm]

[mm] ggT(m_i, \br {M}{m_i}) [/mm]

21 = 11 * + 10
11 = 10 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 2 * 11 - 21

33 = 4 * 7 + 5
7 = 5 + 2
5 = 2 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 3 * 33 - 14 * 7

77 = 25 * 3 + 2
3 = 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 26 * 3 - 77

[mm] \Rightarrow [/mm] x = 2 * 22 - 2 * 14 * 7 + 2 * 26 * 3 = 4

4 [mm] \not\equiv [/mm] -9700 mod 231

und eben genau hier liegt mein Problem, warum geht das nicht? Wo liegt der Fehler? Habe alle Zahlenwerte und Berechnungen sicher zwei- bis dreimal nachvollzogen, ich bekomme es einfach nicht heraus.

Bin für jeden Tipp dankbar!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



edit: det [mm] A_{101}=-4 [/mm] und nicht 12


        
Bezug
Determinante modular berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 13.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Berechnen Sie die Determinante von [mm]A = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 99 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 200 }[/mm]
> mit modularer Arithmetik und Wahl von drei geeigneten
> Modulen.
>  Zuerst habe ich die Determinante nach der Regel von Sarrus
> berechnet:
>  
> [mm]det A = -9700[/mm]
>  
> Anschließend habe ich mir zwei verschiedene Sätze von
> Modulen überlegt: 1.) 99 100 101 und 2.) 3 7 11 (zwei
> verschiedene da für 1. eine Musterlösung existiert, ich
> für 2. das ganze aber nochmal verinnerlichen wollte.)
>  
> das ergibt folgende Matrizen:
>  
> 1.) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }_{100}[/mm] ;
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{99}[/mm] ; [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 }_{101}[/mm]
>  
> 2.) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{3}[/mm] ;
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 4 }_{7}[/mm] ; [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{11}[/mm]
>  
> mit den folgenden Determinanten:
>  
> 1.) [mm]det A_{100}=0 ; det A_{99}=2 ; det A_{101}=-4[/mm]
>  
> 2.) [mm]det A_{3}=2 ; det A_{7}=2 ; det A_{11}=2[/mm]
>  
> Weiter geht es mithilfe von simultanen linearen
> Kongruenzen:
>  
> 1.)
>  [mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 99 * 100 * 101 = 999900[/mm]
>  
> [mm]ggT(m_i, \br {M}{m_i})[/mm]
>  
> 10100 = 102 * 99 + 2
>  99 = 49 * 2 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = 4999 * 99 - (10100 * 49)
>  
> 9999 = 99 * 100 + 99
>  100 = 99 * 1 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 =100 * 100 - 9999 * 1
>  
> 9900 = 98 * 101 + 2
>  101 = 50 * 2 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = 4901 * 101 - (9900 * 50)
>  
> [mm]\Rightarrow x = 2 * 10100 * 49 + 0 * (-9999) + (-4) * (-9900 * 50) = 990200[/mm]

Da fehlt ein Minuszeichen: [mm] x = 2 * (\red{-}10100 * 49)+ 0 * (-9999) + (-4) * (-9900 * 50) = 990200[/mm]

>  
> 990200 [mm]\equiv[/mm] -9700 mod 999900

[ok]

> 2.)
>  [mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 3 * 7 * 11 = 231[/mm]
>  
> [mm]ggT(m_i, \br {M}{m_i})[/mm]
>  
> 21 = 11 * + 10
>  11 = 10 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = 2 * 11 - 21
>  
> 33 = 4 * 7 + 5
>  7 = 5 + 2
>  5 = 2 * 2 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = 3 * 33 - 14 * 7
>  
> 77 = 25 * 3 + 2
>  3 = 2 + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = 26 * 3 - 77
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 2 * 22 - 2 * 14 * 7 + 2 * 26 * 3 = 4

[notok]

Du musst doch gerade die anderen Summanden nehmen, die mit den Faktoren [mm] $M/m_i$, [/mm] nicht die mit den [mm] $m_i$: [/mm]

[mm] x = 2 * (-21) + 2* (3*33) + 2 * (-77) = 2 [/mm]


Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Determinante modular berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Mi 13.01.2010
Autor: alexismichael

Danke, manchmal hat man echt Tomaten auf den Augen :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]