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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Di 02.02.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IZ_{\ge0}. [/mm] Man berechne die Determinante der Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2} \in \IR^{nxn} [/mm] |
Nachdem ich verschiedene Matrizen dieser Bauart in ein Determinanten-Berechnungs-Programm eingegeben habe, weiß ich, dass die Determinate immer n+1 ist.
Ich hatte überlegt, mit Induktion an die Sache ranzugehen, aber das scheiter ich letzten Endes an n+1.
Ich denke, man kann die Matrix irgendwie schlau umformen mit den Zeilenoperationen.
Ich komme dann zum Beispiel auf:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2} \in \IR^{nxn}
[/mm]
Aber so lange ich diese Matrix auch ansehe, sie will mir nichts sagen.
Ideen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2} \in \IR^{nxn}[/mm]
>
> Aber so lange ich diese Matrix auch ansehe, sie will mir
> nichts sagen.
>
> Ideen?
Addiere zu der zweiten Spalte die erste, dann zur dritten die zweite usw usf. Dann kommst du auf das Ergebnis.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 02.02.2010 | | Autor: | Doemmi |
Danke, SEcki, für deine Antwort!
Ich erhalte dann also eine Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1\\ 2 & 1 & 1 & 1 &\cdots & 1} \in \IR^{nxn} [/mm] $
[mm] det\pmat{ -1 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & -1 } [/mm] = 1
Also habe ich dann 1*1 + 1*1 + ... + 1*1 + 2*1 = (n-1)*1 + 2*1 = n+1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1\\ 2 & 1 & 1 & 1 &\cdots & 1} \in \IR^{nxn}[/mm]
So, und nun ochmal über los und das machen,w as ich gesagt habe - Spalte, nicht Zeile! Und wie du auf obige kommst ist mir nicht ganz klar ...
> [mm]det\pmat{ -1 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & -1 }[/mm]
> = 1
Doch nur für gerade n?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 02.02.2010 | | Autor: | Doemmi |
Ah, sorry, natürlich...
Dass ich Spalten miteinander addieren darf, ist mir so gesehen eigentlich neu. Kommt das dem gleich, dass ich die Matrix transponiere und dann Zeilenoperationen mache und dann wieder transponiere?
Also, dann komme ich auf
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n+1\\ } \in \IR^{nxn} [/mm] $
Kann ich nun so argumentieren, dass nur diese 1er-Diagonale 1*1*...*1*n+1 = n+1 und alles andere ergäbe 0 und somit ist det = n+1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 02.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja das mit dem transponieren und dann Zeilen voneinander abziehen und wieder transponieren ist natürlich das gleiche - kann man sich selbst überlegen; )
Ja man kann jetzt einfach die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Kennst du den "Laplacschen Determinantenentwicklungssatz"? Sonst schau dir denn mal im Web an...dann weisst du wieso...
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