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Forum "Determinanten" - Determinante und Volumen
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Determinante und Volumen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:16 So 12.05.2013
Autor: JoeSunnex

Aufgabe
Aufgabe

b.) Seien [mm] $u_1,u_2,u_3 \in \IR^3$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $|\det(u_1,u_2,u_3)|$ [/mm] gleich dem Volumen des durch [mm] $u_1,u_2,u_3$ [/mm] aufgespannten Spats (skalare Vielfache [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] mit $0 [mm] \le a_i \le [/mm] 1$) ist.

c.) Sei $W$ ein Würfel im [mm] $\IR^3$, [/mm] sodass der Nullpunkt und die drei Vektoren der kanonischen Basis Ecken des Würfels sind und sei [mm] $\psi: \IR^3 \rightarrow \IR^3$ [/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen Sie [mm] Volumen$(\psi(W)) [/mm] = [mm] |\det(\psi)|\cdot$ [/mm] Volumen$(W)$.

Hallo zusammen,

habe diesmal eine einfache Aufgabe, die ich jedoch mit den uns bekannten Mitteln nicht lösen kann, außer ich nutze das mir bekannte, aber noch nicht in der Vorlesung eingeführte, skalare Produkt der Vektoren.

Meine Ansätze:

zu a.)
Ich weiß noch aus meiner Schulzeit $V = G [mm] \cdot [/mm] h$ :) und es gilt $V = [mm] |\det(u_1,u_2)| \cdot [/mm] h$, wenn ich als Grundfläche das durch [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] aufgespannte Parallelogramm nehme (habe ich in Aufgabenteil a) durch eine Berechnung der Fläche eines Parallelogramms mithilfe eines Rechtecks gezeigt, wobei ich da natürlich Flächen von Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken abziehen musste). Jetzt könnte man $h = [mm] |u_3| \cdot \cos(\alpha)$ [/mm] einsetzen aber dann würde ich in der Falle des Skalarproduktes landen, welches ich nicht verwenden darf und deswegen etwas grüble und zu nichts komme :)

zu c.)

Die kanonische Basis kann durch [mm] $\psi$ [/mm] auf Vektoren abgebildet werden, die skalare Vielfache von sich selbst oder mit den anderen Basisvektoren kombiniert sind. Also ist die Determinante der Darstellungsmatrix nichts anderes als eine Zahl der Vervielfachung des Volumens von $W$, außer es ist ein entarteter Spat oder gar Würfel. Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie ich das Volumen von [mm] $\psi(W)$ [/mm] betrachten soll, man könnte einfach sagen nach b folgt [mm] $Volumen(\psi(W)) [/mm] = [mm] |\det(\psi(e_1),\psi(e_2),\psi(e_3))| [/mm] = [mm] |\det(\psi)| |\det(1_n)| [/mm] = [mm] |\det(\psi)| \cdot [/mm] Volumen(W)$. Theoretisch nutze ich die Multilinearität der Determinate da ich die lineare Abbildung (und somit deren Determinate) nur als Faktor betrachte, die das Volumen vervielfacht.
Das wäre aber ein bisschen zu einfach argumentiert oder?

Hoffe auf eure Hinweise.

Grüße
Joe

        
Bezug
Determinante und Volumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Mo 13.05.2013
Autor: JoeSunnex

Hat keiner einen Ansatz - wäre super, wenn sich noch einer finden würde - denn ich sehe immernoch nichts bei der b.) :(

Bezug
        
Bezug
Determinante und Volumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mo 13.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Aufgabe
>  
> b.) Seien [mm]u_1,u_2,u_3 \in \IR^3[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]|\det(u_1,u_2,u_3)|[/mm] gleich dem Volumen des durch
> [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aufgespannten Spats (skalare Vielfache [mm]a_i \in \IR[/mm]
> mit [mm]0 \le a_i \le 1[/mm]) ist.
>  
> c.) Sei [mm]W[/mm] ein Würfel im [mm]\IR^3[/mm], sodass der Nullpunkt und
> die drei Vektoren der kanonischen Basis Ecken des Würfels
> sind und sei [mm]\psi: \IR^3 \rightarrow \IR^3[/mm] eine lineare
> Abbildung. Zeigen Sie Volumen[mm](\psi(W)) = |\det(\psi)|\cdot[/mm]
> Volumen[mm](W)[/mm].
>  Hallo zusammen,
>  
> habe diesmal eine einfache Aufgabe, die ich jedoch mit den
> uns bekannten Mitteln nicht lösen kann, außer ich nutze
> das mir bekannte, aber noch nicht in der Vorlesung
> eingeführte, skalare Produkt der Vektoren.

mit dem wäre es vielleicht schöner, aber das brauchst Du hier doch gar
nicht!

> Meine Ansätze:
>  
> zu a.)

Du meinst b), oder?

>  Ich weiß noch aus meiner Schulzeit [mm]V = G \cdot h[/mm] :)

[ok]

> und
> es gilt [mm]V = |\det(u_1,u_2)| \cdot h[/mm], wenn ich als
> Grundfläche das durch [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] aufgespannte
> Parallelogramm nehme (habe ich in Aufgabenteil a) durch
> eine Berechnung der Fläche eines Parallelogramms mithilfe
> eines Rechtecks gezeigt, wobei ich da natürlich Flächen
> von Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken abziehen
> musste). Jetzt könnte man [mm]h = |u_3| \cdot \cos(\alpha)[/mm]
> einsetzen aber dann würde ich in der Falle des
> Skalarproduktes landen, welches ich nicht verwenden darf
> und deswegen etwas grüble und zu nichts komme :)

Nutze doch einfach alles, was Du weißt. Vielleicht schreiben wir mal
[mm] $$x:=u_1 \text{ mit }x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\,,$$ [/mm]
[mm] $$y:=u_2 \text{ mit }y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\,,$$ [/mm]
[mm] $$z:=u_3 \text{ mit }z=\vektor{z_1\\z_2\\z_3}\,.$$ [/mm]

Dann kannst Du doch

    einerseits [mm] $\det(x,y,z)$ [/mm] komplett hinschreiben und damit auch [mm] $|\det(x,y,z)|$ [/mm]

und

    andererseits kannst Du [mm] $V\,$ [/mm] 'elementar' ausrechnen.

Wenn Du die Ergebnisse gleichsetzt, siehst Du, was Du noch zu beweisen
hast...

Allerdings kann da [mm] $V=|\det(x,y)|*h\,$ [/mm] nicht stimmen, wie Du behauptest, denn
wie soll denn die Determinante einer $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix (hier [mm] $(x,y)\,$) [/mm] definiert sein?

Keine Ahnung. Zeig' mal bitte den Aufgabenteil a).

Das Ding, um was es hier geht, trägt übrigens den Namen

    []Spatprodukt (klick: Wiki!)

Wenn ihr weder das skalare Produkt noch das Kreuzprodukt habt, so musst Du Dir
halt die geometrischen Aspekte, die man damit einfach hinschreiben kann,
anhand von Überlegungen herleiten, indem Du Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] auch
als Koordinatenvektoren schreibst.

Zum Beispiel ist $|x [mm] \times [/mm] y|$ ja der Flächeninhalt eines entsprechenden
Parallelogramms.
Du darfst aber $x [mm] \times [/mm] y$ vermutlich noch nicht verwenden. Aber dann
schau' halt in den Beweis, wieso beim []Kreuzprodukt
[mm] $$\|x \times y\|_2=\|x\|_2*\|y\|_2*|\sin(\alpha)|$$ [/mm]
(welcher Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] gemeint ist, ist Dir klar, oder)
gilt.

Ich meine etwa:
Dass die rechte Seite den Flächeninhalt des entsprechenden Parallelogramms
beschreibt, ist klar. Dann beweist Du halt, dass
[mm] $$\|x\|_2*\|y\|_2*|\sin(\alpha)|=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}*\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2}*|\sin(\alpha)|$$ [/mm]
das Gleiche ist wie
[mm] $$\sqrt{(x_2y_3-x_3y_2)^2+(x_3y_1-x_1y_3)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2}\,.$$ [/mm]

Das sind ja eigentlich genau die geometrischen Überlegungen, die man
hier anstellt - und vor allen Dingen muss man irgendwie [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] da wiederfinden...

Ein schöner Link, wie ich das meine:
[]hier (klick!)

Und klar: Da steckt jetzt wieder das skalare Produkt zwischen zwei
Vektoren drin, aber das machst Du dann halt genauso.

Beispiel (leider nur für 2D):
[]hier

Generell kannst Du das mit einer Skizze, eintragen aller Komponenten und
mitnehmen entsprechender Winkel halt auch "von Hand" nachrechnen, die
Einführung und geometrische Deutungen der anderen Bezeichnungen
(skalares Produkt, Kreuzprodukt etc. pp.) hilft halt vor allem zum einen,
schnell den Überblick zu behalten, und zum anderen, schnell geometrische
Formeln herzuleiten...

P.S. [mm] $V=|u_1 \times u_2|*h\,,$ [/mm] wobei [mm] $h\,$ [/mm] senkrecht auf die Ebene steht,
die von [mm] $x=u_1\,$ [/mm] und [mm] $y=u_2$ [/mm] aufgespannt wird und natürlich hat [mm] $h\,$ [/mm] auch
noch etwas mit [mm] $z=u_3$ [/mm] zu tun hat (interessant ist ja nur der Fall eines echten
Parallelogramms). Genauer siehst Du das ja in der Formel
$$V=|(x [mm] \times [/mm] y) [mm] \cdot z|\,...$$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Determinante und Volumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mo 13.05.2013
Autor: JoeSunnex

Hallo Marcel,

danke für deine Antwort.

Erstmal die Aufgabe a.) war, dass die Fläche eines Parallelogramms im [mm] $\IR^2$ [/mm] gleich [mm] $|\det(v_1,v_2)|$ [/mm] ist. Dies habe ich mit dieser geometrischen Überlegung gezeigt http://de.wikiversity.org/wiki/Datei:Linalg_parallelogram_area.png .

Zur Determinante: [mm] $\det(x,y,z) [/mm] = [mm] x_1y_2z_3+y_1z_2x_3+z_1x_2y_3-x_3y_2z_1-y_3z_2x_1-z_3x_2y_1$ [/mm] (Regel von Sarrus) und [mm] $|\det(x,y,z)|$ [/mm] ist natürlich der Absolutbetrag davon, da die Determinante das "orientierte" Volumen angibt.

Sorry bei der Angabe von [mm] $|\det(u_1,u_2)|$ [/mm] habe ich ein bisschen gepennt und dachte ich sei noch im [mm] $\IR^2$, [/mm] innerlich meinte ich da das Kreuzprodukt (was ich natürlich aus der Schule, aber nicht aus der VL kenne) und somit insgesamt das von dir erwähnte Spatprodukt, aber ich habe halt ein Brett vor'n Kopf wenn ich direkt weiß wie es "einfach" geht.

Im Grunde könnte ich auch das Kreuzprodukt nicht nachweisen, da wir die Länge eines Vektors nicht definiert haben :) [mm] $\alpha$ [/mm] ist in deinem Beispiel der durch $x$ und $y$ eingeschlossene Winkel. Mit [mm] $||x||_2$ [/mm] meinst du ja den altbekannten Betrag des Vektors über Pythagoras.

Auf deine Identität [mm] ($\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}\cdot{}\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2}\cdot{}|\sin(\alpha)| [/mm] = [mm] \sqrt{(x_2y_3-x_3y_2)^2+(x_3y_1-x_1y_3)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2}\,. [/mm] $, also im Grunde der Definition der Länge des Normalenvektors komme ich aber nicht.

Jetzt aber mal ganz ehrlich, ich glaube kaum, dass die Aufgabe darauf abziehlt selbstständig Kreuz- und Skalarprodukt zu erschließen.

Was ist denn deine Meinung zur c.)?

Grüße,
Joe

Bezug
                        
Bezug
Determinante und Volumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mo 13.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> danke für deine Antwort.
>  
> Erstmal die Aufgabe a.) war, dass die Fläche eines
> Parallelogramms im [mm]\IR^2[/mm] gleich [mm]|\det(v_1,v_2)|[/mm] ist. Dies
> habe ich mit dieser geometrischen Überlegung gezeigt
> http://de.wikiversity.org/wiki/Datei:Linalg_parallelogram_area.png
> .
>  
> Zur Determinante: [mm]\det(x,y,z) = x_1y_2z_3+y_1z_2x_3+z_1x_2y_3-x_3y_2z_1-y_3z_2x_1-z_3x_2y_1[/mm]
> (Regel von Sarrus) und [mm]|\det(x,y,z)|[/mm] ist natürlich der
> Absolutbetrag davon, da die Determinante das "orientierte"
> Volumen angibt.
>  
> Sorry bei der Angabe von [mm]|\det(u_1,u_2)|[/mm] habe ich ein
> bisschen gepennt und dachte ich sei noch im [mm]\IR^2[/mm],
> innerlich meinte ich da das Kreuzprodukt (was ich
> natürlich aus der Schule, aber nicht aus der VL kenne) und
> somit insgesamt das von dir erwähnte Spatprodukt, aber ich
> habe halt ein Brett vor'n Kopf wenn ich direkt weiß wie es
> "einfach" geht.
>  
> Im Grunde könnte ich auch das Kreuzprodukt nicht
> nachweisen, da wir die Länge eines Vektors nicht definiert
> haben :)

brauchst Du auch nicht.

> [mm]\alpha[/mm] ist in deinem Beispiel der durch [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]
> eingeschlossene Winkel. Mit [mm]||x||_2[/mm] meinst du ja den
> altbekannten Betrag des Vektors über Pythagoras.
>  
> Auf deine Identität
> ([mm]\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}\cdot{}\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2}\cdot{}|\sin(\alpha)| = \sqrt{(x_2y_3-x_3y_2)^2+(x_3y_1-x_1y_3)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2}\,. [/mm],
> also im Grunde der Definition der Länge des
> Normalenvektors komme ich aber nicht.
>  
> Jetzt aber mal ganz ehrlich, ich glaube kaum, dass die
> Aufgabe darauf abziehlt selbstständig Kreuz- und
> Skalarprodukt zu erschließen.

Nein, aber alles, was Du da geometrisch erschließt, wird sich in einfacherer
Weise automatisch in dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt ergeben.

Machen wir es mal so: Angenommen, Du hättest die Aufgabe, allgemein eine Formel anzugeben,
um den Winkel zwischen zwei Vektoren [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)^T$ [/mm] zu berechnen.

Das SKALARPRODUKT an sich darf dabei nicht (direkt) verwendet werden.
Du weißt nun, was rauskommen soll: Ist [mm] $\phi$ [/mm] der gesuchte Winkel, so
gilt
[mm] $$\|x\|_2*\|y\|_2*\cos(\phi)=x \bullet y\,,$$ [/mm]
wobei ich $x [mm] \bullet [/mm] y$ für das Skalarprodukt zwischen [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] (in dieser Reihenfolge)
schreibe (eigentlich wäre das egal, da [mm] $\bullet$ [/mm] kommutativ ist, aber sauberer
definiere ich es erstmal einfach so).
  
Natürlich wirst Du jetzt erstmal [mm] $\|x\|_2*\|y\|_2 \not=0$ [/mm] haben wollen, dann schreibst
Du also, dass [mm] $x_i\not=0$ [/mm] und [mm] $y_k \not=0$ [/mm] für jeweils ein $i [mm] \in \{1,2,3\}$ [/mm] und $k [mm] \in \{1,2,3\}$ [/mm]
gelten sollte. Sowas wie [mm] $\|.\|_2$ [/mm] benutzen wir nicht, da wir das noch nicht
kennenlernen durften! Aber mit Komponenteneinträgen können wir arbeiten!

Weiterhin können wir bei $x [mm] \bullet y=\sum_{k=1}^3 x_ky_k$ [/mm] mit der rechten
Seite arbeiten, ohne uns Sorgen machen zu müssen, dass ja [mm] $\bullet$ [/mm] noch gar nicht
definiert worden sei.

Das heißt, die Gleichung, die wir kennen, die aber unbekannte Mittel benutzt:
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\|x\|_2*\|y\|_2*\cos(\phi)=x \bullet y\,,$$ [/mm]
schreiben wir um eine Gleichung, die nur noch Mittel benutzt, die wir
kennen:
[mm] $$\Big(\sqrt{\sum_{k=1}^3 {x_k}^2}*\sqrt{\sum_{k=1}^3 {y_k}^2}\Big)*\cos(\phi)=\sum_{k=1}^3 x_ky_k$$ [/mm]
bzw., wenn wir [mm] $\|x\|_2 \not=0$ [/mm] und [mm] $\|y\|_2 \not=0$ [/mm] fordern, können wir sie
umschreiben zu
[mm] $$(\*\*)\;\;\;\;\;\;\cos(\phi)=\frac{\sum_{k=1}^3 x_ky_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^3 {x_k}^2}*\sqrt{\sum_{k=1}^3 {y_k}^2}}\;\;\;\; \text{ mit }x_i\not=0 \text{ und }y_k \not=0 \text{ für ein }i \in \{1,2,3\} \text{ bzw. für ein }k \in \{1,2,3\}\,.$$ [/mm]

Anstatt also [mm] $(\*)$ [/mm] zu beweisen, wo noch undefinierte "Operationen/Begriffe"
verwendet werden, beweist Du halt [mm] $(\*\*),$ [/mm] wo alles "in elementarer Bedeutung
verwendet wird". Was dabei [mm] $\sum_{k=1}^3 x_ky_k$ [/mm] für eine Bedeutung hat
oder haben könnte, interessiert Dich nicht. Aber dass [mm] $\sqrt{\sum_{k=1}^3 {x_k}^2}$ [/mm] die geometrische
Länge des Vektors [mm] $x\,$ [/mm] ist, ergibt sich elementar mit Pythagoras (Geometrie
der Schule!). Dass man diese Länge auch [mm] $\|x\|_2$ [/mm] schreibt, brauchst Du
doch nicht, da Du [mm] $\|x\|_2$ [/mm] eh nicht schreiben dürfen wirst! Der Weg zum
Ziel würde hier also sein: Pythagoras einbauen, und auch gucken, dass man
ein rechtwinkliges Dreieck einbaut, wo [mm] $\cos(\phi)$ [/mm] als Faktor mit
reingeschmuggelt werden kann.

Analog musst Du halt bei Deiner Aufgabe denken. Erstmal:
Was ist [mm] $|\det(x,y,z)|$ [/mm] ausgeschrieben? Und danach guckst Du dann, dass Du auf
schulgeometrischen Wege nach und nach bei der Berechnung des Flächeninhalts
und des Volumens die Koordinateneinträge von [mm] $x,y,z\,$ [/mm] ins Spiel bringst. Wenn Du so
[mm] $V\,$ [/mm] "straight forward" berechnen kannst, so dass nur noch Rechenoperationen
mit den Koordinateneinträgen der Vektoren am Ende da stehen, dann hast
Du nur noch die Ergebnisse zu vergleichen!

> Was ist denn deine Meinung zur c.)?

Die Aufgabe habe ich mir noch nicht angeguckt (nur grob).

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Determinante und Volumen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 14.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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