Determinante von Endomorphismu < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:04 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 9. Sei [mm] $V=Abb(\IN_{n},\IR)$ [/mm] der [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] alle Abbildungen [mm] $v:\IN_{n}\rightarrow \IR$, [/mm] und sei [mm] $\sigma \in S_{n}$. [/mm]
i) Zeige, dass die Formel [mm] $f_{\sigma}(v)=v \circ \sigma$ [/mm] ein Element [mm] $f_{\sigma} \in [/mm] End \ V$ definiert.
ii) Sei n=2 und [mm] \sigma \ne [/mm] Identitätselement, berechne $det [mm] \psi_{\mathcal{B}}(f_{\sigma})$ [/mm] für jede Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] von $V$ |
Hallo,
i) [mm] $f_{\sigma}(v) [/mm] ist eine lineare Abbildung und es gilt [mm] $\IN_{n}=\IR$ [/mm]
ii) [mm] $det\psi_{\mathcal{B}}(f_{\sigma}):=det(A)$ [/mm]
$det: [mm] End(\IN_{2}) \rightarrow \IR [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $det(f)=det(A)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] det(AB)=det(A)det(B)$
[mm] $\Rightarrow det(f_{\sigma}\circ g)=det(f_{\sigma})det(g)$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> 9. Sei [mm]V=Abb(\IN_{n},\IR)[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum alle
> Abbildungen [mm]v:\IN_{n}\rightarrow \IR[/mm], und sei [mm]\sigma \in S_{n}[/mm].
>
> i) Zeige, dass die Formel [mm]f_{\sigma}(v)=v \circ \sigma[/mm] ein
> Element [mm]f_{\sigma} \in End \ V[/mm] definiert.
> ii) Sei n=2 und [mm]\sigma \ne[/mm] Identitätselement, berechne [mm]det \psi_{\mathcal{B}}(f_{\sigma})[/mm]
> für jede Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]V[/mm]
> Hallo,
>
> i) [mm]$f_{\sigma}(v)[/mm] ist eine lineare Abbildung
Das sollst Du doch zeigen !!!!
> und es gilt
> [mm]$\IN_{n}=\IR$[/mm]
Nein. [mm] $\IN_{n}=\{1,2,...,n\}$
[/mm]
>
> ii) [mm]det\psi_{\mathcal{B}}(f_{\sigma}):=det(A)[/mm]
Was ist A ???
>
> [mm]det: End(\IN_{2}) \rightarrow \IR[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]det(f)=det(A)[/mm]
Was soll dies Aneinanderreihung von Symbolen ???
>
> [mm]\Rightarrow det(AB)=det(A)det(B)[/mm]
> [mm]\Rightarrow det(f_{\sigma}\circ g)=det(f_{\sigma})det(g)[/mm]
Was ist nun plötzlich g ??
>
>
> Stimmt das so?
Nein.
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
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Moin,
> 9. Sei [mm]V=Abb(\IN_{n},\IR)[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum alle
> Abbildungen [mm]v:\IN_{n}\rightarrow \IR[/mm], und sei [mm]\sigma \in S_{n}[/mm].
>
> i) Zeige, dass die Formel [mm]f_{\sigma}(v)=v \circ \sigma[/mm] ein
> Element [mm]f_{\sigma} \in End \ V[/mm] definiert.
> ii) Sei n=2 und [mm]\sigma \ne[/mm] Identitätselement, berechne [mm]det \psi_{\mathcal{B}}(f_{\sigma})[/mm]
> für jede Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]V[/mm]
> Hallo,
>
ergänzend noch ein paar Lösungshinweise:
zu i)
[mm] S_n [/mm] ist die Gruppe der Bijektionen von [mm] \IN_n [/mm] auf sich selbst. Es folgt für [mm] f_\sigma???
[/mm]
zu ii)
Hier solltest du die vielleicht erstmal im Klaren darüber werden, was eine Basis von [mm] V_2 [/mm] ist. Es ist [mm] \IN_2=\{1,2\}. [/mm] Finde zwei (einfache) Basiselemente, aus denen du alle Abbildungen des [mm] V_2 [/mm] zusammensetzen kannst.
Dann ist bekannt, dass die Determinante eines Endomorphismus unabhängig von der Basis ist.
Auch das sollte dir auffallen: Ist [mm] \sigma\in S_2 [/mm] nicht das Identitätselement, so bleibt nur eine Möglichkeit [mm] \sigma(n)=\begin{cases} 1, & n=2 \\ 2, & n=1 \end{cases}
[/mm]
Also berechne die Abbildungsmatrix bzgl der gefundenen basis und davon die Determinante!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti und fred,
i)
< es folgt für [mm] f_{\phi} [/mm] ???
[mm] $f_{\phi}$ [/mm] ist ein Isomorphismus
ii)
< zwei Basiselemente
wären [mm] $\{\phi, v\}$ [/mm] ?
< Gruß
Danke.
Gruss
kushkush
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> Hallo kamaleonti und fred,
>
>
>
> i)
> < es folgt für [mm]f_{\phi}[/mm] ???
>
> [mm]f_{\phi}[/mm] ist ein Isomorphismus
Das klingt ohne weitere Begründung wie eine Rateantwort. Wieso nennst du die Abbildung plötzlich [mm] f_\phi? [/mm] Außerdem stimmt es nicht, es soll gezeigt werden, dass es sich um einen Endomorphismus handelt.
Dazu ist zu zeigen [mm] v\circ \sigma\in [/mm] V
>
>
>
> ii)
> < zwei Basiselemente
>
> wären [mm]\{\phi, v\}[/mm] ?
Eine konkrete Basis. Das sind doch nur sinnlose Variablen. Etwas in dieser Art:
[mm] v_1:\IN_2\to\IR: v_1(1)=1, v_1(2)=0
[/mm]
[mm] v_2:\IN_2\to\IR: v_2(1)=0, v_2(2)=1
[/mm]
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kushkush |
< Dazu ist zu zeigen V
Sei M eine Matrize, dann gilt: $M(v), [mm] M(\sigma) \in [/mm] V$
[mm] $M(v\circ \sigma) [/mm] = M(v) [mm] \circ M(\sigma)$ [/mm]
< Etwas in dieser Art:
also wäre [mm] $\vektor{1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm] Eine Abbildungsmatrix und die determinante $1$ auch der Wert des Endomorphismus. ?
< Gruß
Danke!
Gruss
kushkush
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Guten morgen,
> < Dazu ist zu zeigen V
>
> Sei M eine Matrize, dann gilt: [mm]M(v), M(\sigma) \in V[/mm]
>
> [mm]M(v\circ \sigma) = M(v) \circ M(\sigma)[/mm]
Das ist mir äußerst schleierhaft. Was für eine Matrix ist denn plötzlich M? Das ergibt keinen Sinn.
Es ist doch ganz einfach, sogar fast trivial: Zeige, dass [mm] f_\sigma=v\circ\sigma [/mm] eine Abbildung von [mm] \IN_n\to\IR [/mm] ist. Das reicht schon aus, um zu zeigen, dass [mm] f_\sigma [/mm] im Vektorraum V liegt. Du brauchst nur einmal etwas vernünftiges hinzuschreiben, etwa:
Sei [mm] k\in\IN_n, [/mm] dann ist [mm] \sigma(k)\in\IN_n. [/mm] Da [mm] v\in [/mm] V wird [mm] \sigma(k) [/mm] auf eine reelle Zahl abgebildet. Also ist [mm] v\circ\sigma(k)\in\IR. [/mm] Aus der Beliebigkeit von k folgt die Behauptung.
>
>
>
> < Etwas in dieser Art:
>
> also wäre [mm]\vektor{1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] Eine Abbildungsmatrix
> und die determinante [mm]1[/mm] auch der Wert des Endomorphismus. ?
Nein.
Das wäre die Identitätsabbildung. Überleg doch mal, dass das nicht sein kann.
So viele andere Möglichkeiten gibt es auch gar nicht ...
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>
> < Gruß
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>
> Danke!
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>
> Gruss
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> kushkush
>
>
Gruß
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