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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 10.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Sei p Primzahl und A eine n [mm] \times [/mm] n Matrix mit Einträgen [mm] a_{ij} [/mm] in [mm] \IZ. [/mm] Für jede ganze Zahl sei [mm] \overline{k} [/mm] der Rest von k bei Division durch p.
Dann definieren wir die Matrix [mm] \overline{A} [/mm] (eine n [mm] \times [/mm] n - Matirx in [mm] \IF_{p}) [/mm] durch [mm] \overline{A}=(\overline{a}_{ij}. [/mm] Zeigen Sie: det [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \overline{detA}. [/mm] |
Hallo ihr!
Zu folgender Aufgabe hab ich folgenden Ansatz mal gemacht!
[mm] \bruch{k}{p}=x+\overline{k} \Rightarrow \bruch{a_{i1}}{p}=x+\overline{a}_{i1} [/mm] (*) [mm] \Rightarrow \bruch{detA}{p}=x+\overline{detA} [/mm] (1)
Dann ist ja [mm] det\overline{A} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}\overline{a}_{i1}detA_{i1}. [/mm] (2)
Jetzt habe ich (1) nach [mm] \overline{detA} [/mm] umgeformt und mit (2) gleichgesetzt. Aber wie kann ich zeigen dass das dasselbe ist?
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}\overline{a}_{i1}detA_{i1} [/mm] = [mm] \bruch{detA-x*p}{p}. [/mm]
Wenn ich auf der linken Seite [mm] \overline{a}_{i1} [/mm] ersetzte durch den aus (*) gewonnen Ausdruck für [mm] \overline{a}_{i1} [/mm] hörts bei mir auf!
Kann ich so beginnen? Und wenn ja, wie könnte ich dann weiter machen? Irgendwie kommt mir das sehr verzwickt vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 10.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Ich weiss nicht, was du da vorher vor hast, aber
> Dann ist ja [mm]det\overline{A}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}\overline{a}_{i1}detA_{i1}.[/mm]
(hier muss die Untermatrix aber auch noch mit einem Strich versehen werden)
diese Zeile sollte dein Ansatz sein.
wenn du nun allgemein zeigen kannst, dass
1) [mm] $\overline{k_1}+\overline{k_2}=\overline{k_1 +k_2}$
[/mm]
2) [mm] $\overline{k_1}*\overline{k_2}=\overline{k_1 *k_2}$
[/mm]
dann kannst du deine obige Gleichung nutzen um alles per Induktion zu beweisen - ist dir klar, wie das dann geht?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 10.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal! 
Hmm... was ich zeigen will ist dass am Ende die allgemeine Entwicklung nach der ersten Spalte für eine Matrix A dasteht.
Den mir in der Antwort gegebenen Ansatz verstehe ich leider so nicht! Bzw. wie ich da Induktion anwenden soll ist mir nicht klar!
Vlg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 10.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja Induktion nach n, dann bei Induktionsschritt nach der ersten Zeile entwickeln, dann steht da : A ist nun eine (n+1)x(n+1) Matrix:
[mm] $\overline{\det A} =\overline{\summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}a_{i1}detA_{i1}}$
[/mm]
wenn du nun 1) und 2) aus meiner obigen Antwort schon bewiesen hättest oder aus der Vorlesung kennst, könntest du folgern, dass :
[mm] $\overline{\det A} =\overline{\summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}a_{i1}detA_{i1}}= \summe_{i=1}^{n}(-1)^{n+1}\overline{a_{i1}}\overline{detA_{i1}}$
[/mm]
auf die Untermatrix kannst du dann deine Induktionsvorraussetzung loslassen und erhälst dann auf der rechten Seite [mm] $\det\overline{A}$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mi 11.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo zusammen,
ich moecht mal fragen, wie die Aufgabenstellung ueberhaupt zu verstehen ist. Ist
Gleichheit in [mm] \IZ [/mm] zu zeigen oder Gleichheit in [mm] \IZ\slash p\IZ [/mm] (oder was es war) ?
Das koennt doch zunaechst einen Unterschied machen, oder ?
Wenn nur Gleichheit im Quotientenkoerper gelten soll, dann habt Ihr die Loesung ausfuehrlich diskutiert. Sollte Gleichheit in [mm] \IZ [/mm] gelten - was ich nicht weiss- so
funktionieren doch die im Strang geposteten Ansaetze noch nicht, oder ?
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier ist nichts zu zeigen. Die Addition und Multiplikation in [mm] $\IF_p$ [/mm] sind gerade so definiert.
Wenn ihr das noch nicht hattet, dann musst du dir überlegen, dass diese Operationen sinnvoll ("wohldefiniert") sind, d.h. dass aus
[mm] $\bar{x} [/mm] = [mm] \bar{x'}$ [/mm] und [mm] $\bar{y} [/mm] = [mm] \bar{y'}$ [/mm]
tatsächlich
[mm] $\overline{x+x'} [/mm] = [mm] \overline{y+y'}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\overline{x \cdot x'} [/mm] = [mm] \overline{y \cdot y'}$
[/mm]
gilt.
Mich würde aber überraschen, wenn ihr das nicht gemacht hättet, denn dann machte die Aufgabe keinen Sinn (wie sollte man dann [mm] $\det(\bar{A})$ [/mm] berechnen?).
Insofern musst du dir nur klar machen, dass die Determinantenabbildung nur eine Abfolge von Additionen und Multiplikationen ist, die beide bezüglich der Äquivalenzrelation eben (wie vermutlich bereits in der Vorlesung gezeigt) verträglich sind.
Liebe Grüße
Stefan
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Sehr interessant!
