Determinanten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & ... & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & ... & a_{2} \\ . & . & . & & .\\ . & . & . & & . \\ . & . & . & & . \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & ... & a_{n} } [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (a_{i} [/mm] - [mm] b_{i} [/mm] ) |
Hallo..
ich beschäftige mich schon seit paar stunden mit dieser aufgaben.. eigentlich dachte ich mir, dass ich es mit der determinantenfunktion zeigen könnte, aber irgendwie komme ich damit net weiter..
Wäre echt dankbar für Tipps!
Lg,
Sherin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Sherin!
Beweise das mit vollständiger Induktion nach $n$. Ersetze dabei die letzte Zeile durch die Differenz der letzten mit der vorletzten Zeile und entwickele die Determinante dann nach der letzten Zeile. Nutze dabei zweimal die Induktionsvoraussetzung aus und fasse zusammen...
Liebe Grüße aus Bonn nach Bonn mit einem Hinweise auf das ![[]](/images/popup.gif) Bonner Mathematische Forum
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Hi Julius.. danke für die schnelle antwort!
Wenn ich die letzte Zeite durch die vorletzte ersetze, sähe die letzte zeile ja dann so aus: 0 0 0 ..... [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] oder?
Ich verstehe noch nicht so ganz, was du damit meinst, dass ich dann die Determinante nach der letzten Zeile entwickeln soll.. Wäre dir dankbar, wenn du mir das nochmal näher erläutern könntest..
Danke auch für den Link vom Mathematischen Institut der Uni Bonn!
Lg,
Sherin
|
|
|
| |
|
Hallo!
Mit dem Tipp von Julius geht es sicherlich auch, ich würde es aber trotzdem lieber ohne vollständige Induktion machen:
Zieh die 1. Zeile [mm] $a_k$-mal [/mm] von der $k+1$-Zeile ab. Das sieht dann in etwa so aus:
[mm] $\vmat{ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & ... & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & ... & a_{2} \\ . & . & . & & .\\ . & . & . & & . \\ . & . & . & & . \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & ... & a_{n}}=\vmat{1&1&1&\cdots&1&1\\b_1-a_1&0&0&\cdots&0&0\\b_1-a_2&b_2-a_2&0&\cdots&0&0\\b_1-a_3&b_2-a_3&b_3-a_3&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
b_1-a_n&b_2-a_n&b_3-a_n&\cdots&b_n-a_n&0}$.
[/mm]
Jetzt schiebst du die erste Zeile nach unten:
[mm] $\vmat{1&1&1&\cdots&1&1\\b_1-a_1&0&0&\cdots&0&0\\b_1-a_2&b_2-a_2&0&\cdots&0&0\\b_1-a_3&b_2-a_3&b_3-a_3&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
b_1-a_n&b_2-a_n&b_3-a_n&\cdots&b_n-a_n&0}=\vmat{b_1-a_1&0&0&\cdots&0&0\\b_1-a_2&b_2-a_2&0&\cdots&0&0\\b_1-a_3&b_2-a_3&b_3-a_3&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
b_1-a_n&b_2-a_n&b_3-a_n&\cdots&b_n-a_n&0\\1&1&1&\cdots&1&1}$.
[/mm]
Jetzt kann man die Determinante direkt ablesen!
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Hey cool.. dankeschön..
gibt es ein allgemeines prinzip, wie man determinanten bestimmen kann? Hab noch einige andere Matrixen, wo ich die Determinanten bestimmen muss, aber ich komme leider nicht immer zum ziel..
Nochmal dankeschön banachella!
Ganz liebe Grüße,
Sherin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Eine weitere Frage dazu:
Auch wenn ich aus der Form die Determinante ablesen kann, muss ich dies doch bestimmt noch über induktion beweisen, oder?
Wenn ja, wie mache ich das?
Lg,
Sherin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 13.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du musst hier nichts mehr per Induktion beweisen.
Du nimmst doch ein allgemeines (beliebiges) n an und machst die Umformungen, wie vorgegeben und erhältst deine Determinante dafür.
Du musst also nicht irgendwie die Determinante von kleineren n mitbenutzen..
Und allgemein gibt es nicht immer DEN Weg um schnell an Determinanten zu kommen - man muss da halt ein Auge für entwickeln..
Wenn es nur Matrizen aus Zahlen sind und n genügend groß ist, versuche immer nach der Zeile bzw Spalte zu entwickeln wo am meisten Nullen stehen - aber dies ist auch nur die Greedy-Variante des Entwicklungssatzes, also nicht immer optimal
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Das heißt, ich kann aus der Form
[mm] \vmat{ a_{1} - b_{1} & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_{2} - b_{1} & a_{2} - b_{2} & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_{3} - b_{1} & a_{3} - b_{2} & a_{3}-b_{3} & ... & 0 & 0 \\ . & . & . & .. & .. & \\ a_{n} - b_{1} & a_{n} - b_{2} & a_{n}-b_{3} & ... & a_{n}-b_{n} & 0 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 } [/mm] kann ich direkt ablesen, dass die Determinante gleich [mm] \produkt_{i=1}^{n} (a_{i}-b_{i}) [/mm] ist? Und ich kann das einfach so aufschreiben ohne irgendwas noch beweisen zu müssen?
Danke!!!
Lg,
Sherin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 13.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also wenn du von der Form aus der Aufgabenstellung zu der Form, wie du sie hier angegeben hast kommst (und dies natürlich für den Tutor auch aufschreibst) und dann noch begründest, warum man die Determinante nun einfach "ablesen" kann, dann reicht dies alles aus um die Aufgabe vollständig zu lösen - ja.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Hehe.. ja natürlich werde ich die schritte etc aufschreiben, aber ich verstehe noch net so ganz, wie man in der form die determinante einfach ablesen kann.. Könnt ihr mir das vielleicht kurz erklären?
Danke im voraus!!!
Lg,
Sherin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Yuhu.. ja jetzt ist alles klar.. Danke nochmal an alle!!
Werd mich jetzt mal an die anderen aufgaben machen, also kann sein, dass ich mich gleich nochmal melde!!
Liebe Grüße,
Sherin
|
|
|
|
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Ansonsten poste sie mal hier und frage nach einem Ansatz, evtl. gibt es doch noch ein paar Tricks, aber Induktion ist auch oft nicht verkehrt.
