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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 15.11.2007 | | Autor: | mazzer87 |
Moinsen, leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter.. Könnte mir jemand einen Lösungsweg dafür erklären, denn ich überlege schon ziemlich lange..
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ -2 & 3 & 2 & 1 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 5}
[/mm]
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> Moinsen, leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> weiter.. Könnte mir jemand einen Lösungsweg dafür erklären,
> denn ich überlege schon ziemlich lange..
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ -2 & 3 & 2 & 1 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 5}[/mm]
Hallo mazzer87!
Wie vertraut bist du denn mit dem Umgang von determinanten? Kennst du vielleicht den Entwicklungssatz von Laplace? Versuche zunächst deine Matrix so um zuformen so dass in einer Zeile bzw einer Spalte so viele 0 wie möglich stehen. Danach kannst du nach dieser Zeile entwickeln!!
Ich gebe dir ein Beispiel:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -3 & 0 & 9 \\ 3 & 7 & 10 & 3 &17 \\ 4 & 0 & 11 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 8 & 0 & -3 \\ 5 & 1 & 6 & -1 & 8 }
[/mm]
So und jetzt durch Zeilenumformungen erhält man:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -3 & 0 & 9 \\ 18 & 10 & 28 & 0 & 41 \\ 4 & 0 & 11 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 8 & 0 & -3 \\ 5 & 1 & 5 & -1 & 8 }
[/mm]
Nun kann man mit dem Entwicklungssatz nach Laplace nach der 4. Spalte entwickeln und erhält:
=-(-1) [mm] \* \vmat{ 1 & 0 & -3 & 9 \\ 18 & 10 & 28 & 41 \\ 4 & 0 & 11 & 1 \\ 6 & 0 & 8 & -3 } [/mm] Jetzt nochmal nach der 2. Spalte entwickeln:
= 10 [mm] \* \vmat{ 1 & -3 & 9 \\ 4 & 11 & 1 \\ 6 & 8 & -3 }
[/mm]
Schlussendlich wendest du jetzt die Regel nach Sarrus an und erhälst deine Determinante!
Achja die Formel von Laplace ist: Ist A = [mm] (a_{i,j}) [/mm] eine n x n - Matrix mit n [mm] \ge [/mm] 3, so ist detA := [mm] \summe_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} \* a_{1,j} \* det(A_{1,j}) [/mm] wobei [mm] A_{1,j} [/mm] diejenige Matrix ist, die aus A durch Streichung der ersten Zeile und j-ten Spalte ensteht.
Für die Streichung der Spalten geht das analog!
Hoffe du konntest meinem Beispiel folgen!
Gruß
Tyskie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 15.11.2007 | | Autor: | mazzer87 |
Danke für das Beispiel.. Den Entwicklungssatz von Laplace ist mir bekannt und das habe ich grundsätzlich auch verstanden, aber ich komme halt speziell bei der Aufgabe nicht weiter.. 2 Schritte bekomme ich vielleicht noch hin, dass ich eine Null erhalte, aber danach schaffe ich es nicht mehr, andere Möglichkeiten zu finden .. Vielleicht könntest du mir bei der Aufgabe nochmal weiterhelfen, das ich dort mal zu einer Lösung komme..
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Ok! dann schreib mal schon mal deine schritte auf die du hast! Ich versuche zusätzlich die Matirix in Teilmatrizen umzuformen um vielleicht daort schneller auf ne lösung zu kommen!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 15.11.2007 | | Autor: | mazzer87 |
So, also mein Ansatz sieht so aus
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ -2 & 3 & 2 & 1 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 5}
[/mm]
5.Zeile [mm] \*-1 [/mm] und zur 3.Zeile addieren
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & -7 & 0 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 5}
[/mm]
1.Spalte [mm] \*-2 [/mm] und zur 2.Spalte addieren
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -7 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 7 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 11 & 2 & 1 & 2 & 5}
[/mm]
1.Spalte [mm] \*7 [/mm] und zur 5.Spalte
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 3 & 2 & 13 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -0 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 6 & -2 & 0 \\ -3 & 7 & 2 & 1 & -20 & 3 \\ -4 & 11 & 2 & 1 & -26 & 5}
[/mm]
=1 [mm] \vmat{ 0 & 3 & 2 & 13 & -2 \\ 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & 5 & 6 & -2 & 0 \\ 7 & 2 & 1 & -20 & 3 \\ 11 & 2 & 1 & -26 & 5 }
[/mm]
3.Spalte [mm] \*-2 [/mm] und zur 2.Spalte
[mm] \vmat{ 0 & -1 & 2 & 13 & -2 \\ 5 & -8 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & -7 & 6 & -2 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & -20 & 3 \\ 11 & 0 & 1 & -26 & 5 }
[/mm]
1.Zeile [mm] \*-8 [/mm] und zur 2.Zeile
[mm] \vmat{ 0 & -1 & 2 & 13 & -2 \\ 5 & 0 & -14 & -100 & 25 \\ 0 & 0 & -8 & -93 & 14 \\ 7 & 0 & 1 & -20 & 3 \\ 11 & 0 & 1 & -26 & 5 }
[/mm]
So und da hört es dann auf und ich komme nicht weiter.. Weiß auch nicht, ob das bis dahin überhaupt richtig ist...?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Do 15.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Du hast recht! Es ist sehr viel arbeit mit Laplace! Versuch mal mit meinem letzten post weiterzukommen. Damit sollte es funktionieren und es geht viel schneller. Wenn das nicht kalppt dann wähle andere Teilmatrizen. achte daraf das A und D quadratisch sind und A invertierbar ist! Mit der Formel kommst du dann ans ziel. Kannst dein ergebnis dann posten!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Do 15.11.2007 | | Autor: | AndiL |
[mm] \vmat{ 0 & -1 & 2 & 13 & -2 \\ 5 & 0 & -14 & -100 & 25 \\ 0 & 0 & -8 & -93 & 14 \\ 7 & 0 & 1 & -20 & 3 \\ 11 & 0 & 1 & -26 & 5 }
[/mm]
Und warum entwickelst du diese Matrix nicht nach der zweiten Spalte?
= [mm] 1*\vmat{ 5 & -14 & -100 & 25 \\ 0 & -8 & -93 & 14 \\ 7 & 1 & -20 & 3 \\ 11 & 1 & -26 & 5 }
[/mm]
4.Zeile von der 3.Zeile abziehen
4.Zeile mal 8 und zur 2. addieren
4.Zeile mal 14 und zur 1. addieren
und nochmal nach der zweiten Spalte entwickeln
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 15.11.2007 | | Autor: | AndiL |
Im Grunde kann man jede beliebige Matrix nach dem selben Schema abarbeiten.
Kleines Beispiel:
Entwicklung nach der ersten Spalte
[mm] \vmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Schritt 1: Bastle dir eine "1".
Dividiere erste Zeile durch a
[mm] \vmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ c & d }
[/mm]
Schritt 2: Bring die übrige Spalte auf 0.
von jeder Zeile ein vielfaches der ersten abziehen,
also zweite zeile minus c mal erste zeile
[mm] \vmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & d-c*\bruch{b}{a} }
[/mm]
Wenn man das stur nach Schema macht gibt das meist unschöne Brüche, aber es funktioniert 100%.
Man erspart sich natürlich Arbeit, wenn man vorhandene Nullen und/oder Einsen durch günstige Wahl der Zeile/Spalte nach der man entwickeln will ausnutzt. Oder wenn man schon sieht, dass in einer Zeile/Spalte die Zahlen gerade vielfache voneinander sind.
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Also du hast ja das:
H:= [mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 & 4 & 9 \\ -2 & 3 & 2 & 1 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & -9 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 5}
[/mm]
Jetzt zerlege das ist 4 Teilmatrizen:
Und zwar A:= [mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5 & 6 }
[/mm]
B:= [mm] \vmat{ 5 & -2 \\ 4 & 9 \\ -6 & 3 \\ -9 & 0 }
[/mm]
C:= [mm] \vmat{ 3 & 1 & 2 & 1 \\ -4 & 3 & 2 & 1 }
[/mm]
D:= [mm] \vmat{ 1 & 3 \\ 2 & 5 }
[/mm]
A und D sollen quadratisch sein. Und A soll invertierbar sein. Dann gilt folgendes:
detH = detA [mm] \* (D-C\*A^{-1}\*B)
[/mm]
Das heisst berechne die Determinatnte von A, Invertiere A und berchne das Produkt [mm] C\*A^{-1}\*B). [/mm] Dann berschne die Determinante von [mm] D-C\*A^{-1}\*B [/mm] Und zum schluss multipliziere deine Determinante von [mm] D-C\*A^{-1}\*B [/mm] mit A. Und schon hast du dein Ergebnis!
Gruß
Tyskie
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