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| Aufgabe | | Zeigen Sie: A ist orthogonal ⇒ | det(A)| = 1. |
hallo liebe gemeinde,
wie ich sie doch immer wieder liebe, mal wieder eine "Zeige" aufgabe .... :(
das einzige, was ich bisher rausgefunden habe, war das die orthogonalität dadurch bedingt ist, das [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] gelten muss
sofern ich überhaupt richtig gelesen habe, und das was da steht bedeutet, das a orthogonal ist, wenn die Determinante von A = 1 ist
naja für tipps wäre ich sehr dankbar
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> Zeigen Sie: A ist orthogonal ⇒ | det(A)| = 1.
> hallo liebe gemeinde,
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> wie ich sie doch immer wieder liebe, mal wieder eine
> "Zeige" aufgabe .... :(
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> das einzige, was ich bisher rausgefunden habe, war das die
> orthogonalität dadurch bedingt ist, das [mm]A^{T}[/mm] = [mm]A^{-1}[/mm]
> gelten muss
Hallo,
das ist doch schon was Brauchbares.
Du hast eine orthogonale Matrix A, und Du weißt, daß die Inverse dieser Matrix gerade [mm] A^t [/mm] ist.
Was bedeutet das denn? Es ist [mm] A*A^t=E [/mm] , E ist die Einheitsmatrix.
Nun mußt Du mal vorkramen, was Ihr so über Determinanten aufgeschrieben habt.
Werte damit dann [mm] det(AA^t)=det(E) [/mm] aus.
Gruß v. Angela
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danke erstmal,
zu determinanten haben wir, soweit ich das hier finde, nichts weiter gemacht, was mir helfen könnte
ich weis jedoch, das die det E = 1 ist
und wir hatten nur aufgeschrieben A * [mm] A^{-1} [/mm] = E ist, gilt selbiges auch für A * [mm] A^{T} [/mm] ? müsste ja eigentliuch schon, ist ja schließlich auch die bedingung für orthogonal, das [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1}
[/mm]
aber das die det E = 1 ist hilft mir ja auch nicht sonderlich weiter
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> danke erstmal,
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> zu determinanten haben wir, soweit ich das hier finde,
> nichts weiter gemacht, was mir helfen könnte
Hallo,
doch, ganz bestimmt.
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> ich weis jedoch, das die det E = 1 ist
Ja.
> und wir hatten nur aufgeschrieben A * [mm]A^{-1}[/mm] = E ist, gilt
> selbiges auch für A * [mm]A^{T}[/mm] ? müsste ja eigentliuch schon,
> ist ja schließlich auch die bedingung für orthogonal, das
> [mm]A^{T}[/mm] = [mm]A^{-1}[/mm]
Eben.
Also weißt Du aus dem, was ich zuvor schrieb, schon zielich viel: es folgt nämlich [mm] det(AA^t)=1.
[/mm]
Du mußt jetzt mal schauen, was Ihr über Determinanten von Produkten notiert habt, und was über die Determinante der transponierten matrix.
Gruß v. Angela
>
> aber das die det E = 1 ist hilft mir ja auch nicht
> sonderlich weiter
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also ich habe nun doch noch etwas rausgefunden, und zwar:
det(A * [mm] A^{-1}) [/mm] = det(A) * [mm] det(A^{-1}) [/mm] => det [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det A}
[/mm]
jedoch frag ich mich jetzt, inwiefern das nun richtig ist bzw dadruch gezeigt ist, ob das stimmt ^^
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> also ich habe nun doch noch etwas rausgefunden, und zwar:
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> det(A * [mm]A^{-1})[/mm] = det(A) * [mm]det(A^{-1})[/mm] => det [mm]A^{-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{det A}[/mm]
>
> jedoch frag ich mich jetzt, inwiefern das nun richtig ist
> bzw dadruch gezeigt ist, ob das stimmt ^^
Hallo,
Du bist zu verliebt in [mm] A^{-1} [/mm] - dasstört.
Guck mal lieber [mm] A^t [/mm] an, da hast Du mehr davon.
Rausgefungen hast Du jetzt die Sache mit dem Produkt, und das ist gut.
Du bist jetzt so weit:
A ist orthogonal
==> [mm] AA^t=E
[/mm]
==> 1=det(E)= [mm] det(AA^t)= det(A)det(A^t) [/mm] =...
Jetzt folge meinem Rat und schau was Du über die Determinante von transponierten findest. Wenn Du das hast, bist Du nahezu fertig.
Gruß v. Angela
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aaalso,
ich hab jetzt durch den papula rausgefunden, das die determinante gleich bleibt, wenn man zeilen und spalten vertausch(transponiert)
damit ist [mm] detA^{T} [/mm] = A
damit hätte ich dann detA * detA = detE, ich hoffe damit ist das erledigt ^^
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> aaalso,
> ich hab jetzt durch den papula rausgefunden, das die
> determinante gleich bleibt, wenn man zeilen und spalten
> vertausch(transponiert)
> damit ist [mm]detA^{T}[/mm] = A
>
> damit hätte ich dann detA * detA = detE,
Genau, also [mm] (detA)^2=1, [/mm] und nun kannst Du sagen, welche beiden Werte detA dann nur annehmen kann.
Gruß v. Angela
ich hoffe damit
> ist das erledigt ^^
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jo, dank dir !
nun gehts an die nächste :D ma sehen wieviel da zustandekommt
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