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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 18.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich habe folgendes Gleichungssystem:
I. 1/x + 1/y = 2
II. 1/x - 1/y = 6
x und y lassen sich ja z.B. durch das Additionsverfahren bzw. den Gausschen Algorithmus leicht ermitteln. Ich wuerde das Gleichungssystem jedoch gerne mittels Determinanten loesen. Aber welche Werte muss ich da in die Determinante einsetzen, da x und y ja im Nenner stehen?
Anderes Bsp: Bei 3x/7 muesste ich 3/7 in die Determinante eintragen, aber was bei 3/7x?
Vielen Dank schonmal im voraus,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 18.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Michael,
willkommen im MatheRaum  !
> ich habe folgendes Gleichungssystem:
>
> I. 1/x + 1/y = 2
> II. 1/x - 1/y = 6
>
> x und y lassen sich ja z.B. durch das Additionsverfahren
> bzw. den Gausschen Algorithmus leicht ermitteln. Ich wuerde
> das Gleichungssystem jedoch gerne mittels Determinanten
> loesen. Aber welche Werte muss ich da in die Determinante
> einsetzen, da x und y ja im Nenner stehen?
Es handelt sich ja hier nicht um ein lineares Gleichungssystem, weswegen eine Lösung per Determinaten nicht ohne weiteres möglich ist. Durch einen einfachen Trick läßt sich das Gleichungssystem aber als ein lineares Gleichungssystem auffassen:
Setze a:=1/x und b:=1/y, und erhalte:
a+b=2
a-b=6
Das kann nun nach a und b aufgelöst werden (a=4 und b=-2).
Die Rück-Substitution liefert dann die Werte für x und y:
a=1/x <=> 4=1/x <=> x=1/4
b=1/y <=> -2=1/y <=> y=-1/2
Dieser Trick ist natürlich nur in diesem speziellen Fall möglich, nicht generell
> Anderes Bsp: Bei 3x/7 muesste ich 3/7 in die Determinante
> eintragen, aber was bei 3/7x?
Wenn du mit 3/7x tatsächlich meinst [mm] $\bruch{3}{7}x$, [/mm] dann würdest du [mm] \bruch{3}{7} [/mm] in die Determinate eintragen müssen
Falls du aber [mm] \bruch{3}{7x}$ [/mm] kann man es nicht allgemein sagen, vielleicht läßt es sich auch gar nicht mit Determinanten lösen (das kommt ja auch auf die anderen Vorkommen von x im Gleichungssystem an).
Falls x in der anderen/weiteren Gleichungen ebenfalls im Nenner steht, könntest du nach dieser Umformung [mm] $\bruch{3}{7x}=\bruch{3}{7}*\bruch{1}{x}$ [/mm] den obigen "Trick" anwenden.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 19.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Marc,
> willkommen im MatheRaum !
Danke!
> > ich habe folgendes Gleichungssystem:
> >
> > I. 1/x + 1/y = 2
> > II. 1/x - 1/y = 6
>
> Es handelt sich ja hier nicht um ein lineares
> Gleichungssystem, weswegen eine Lösung per Determinaten
> nicht ohne weiteres möglich ist.
Wegen der rationalen Zahlen? Handelt es sich nur um ein lineares Gleichungssystem bei ganzen Zahlen? Bei dem Buch, das ich zum Ueben verwende, sind die Uebungsaufgaben mit "lineare Gleichungen" betitelt. Komisch.
> Durch einen einfachen
> Trick läßt sich das Gleichungssystem aber als ein lineares
> Gleichungssystem auffassen:
>
> Setze a:=1/x und b:=1/y, und erhalte:
Geschickt. Danke fuer den Tipp!
> > Anderes Bsp: Bei 3x/7 muesste ich 3/7 in die Determinante
>
> > eintragen, aber was bei 3/7x?
>
> Wenn du mit 3/7x tatsächlich meinst [mm] $\bruch{3}{7}x$, [/mm] dann
> würdest du [mm] \bruch{3}{7} [/mm] in die Determinate eintragen müssen
>
Oh, ich meinte natuerlich 3/(7x).
> Falls du aber [mm] \bruch{3}{7x}$ [/mm] kann man es nicht allgemein
> sagen, vielleicht läßt es sich auch gar nicht mit
> Determinanten lösen (das kommt ja auch auf die anderen
> Vorkommen von x im Gleichungssystem an).
> Falls x in der anderen/weiteren Gleichungen ebenfalls im
> Nenner steht, könntest du nach dieser Umformung
> [mm] $\bruch{3}{7x}=\bruch{3}{7}*\bruch{1}{x}$ [/mm] den obigen
> "Trick" anwenden.
Ok. Danke fuer Deine schnelle, ausfuehrliche Hilfe!
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael,
> > > ich habe folgendes Gleichungssystem:
> > >
> > > I. 1/x + 1/y = 2
> > > II. 1/x - 1/y = 6
> >
> > Es handelt sich ja hier nicht um ein lineares
> > Gleichungssystem, weswegen eine Lösung per Determinaten
>
> > nicht ohne weiteres möglich ist.
>
> Wegen der rationalen Zahlen? Handelt es sich nur um ein
> lineares Gleichungssystem bei ganzen Zahlen?
Nein, das hat mir ganzen und rationalen Zahlen nichts zu tun. Es ist deswegen kein lineares Gleichungssystem, weil die Variablen $x$ und $y$ im Nenner stehen. Ein (reelles) lineares $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Gleichungssystem müsste von der Form
$ax+by=c$
$dx+ey=f$
sein, wobei $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ und $f$ reelle Zahlen sein dürfen.
Diese Struktur hat dein obiges Gleichungssystem aber nicht, daher ist es nicht linear.
> Bei dem Buch,
> das ich zum Ueben verwende, sind die Uebungsaufgaben mit
> "lineare Gleichungen" betitelt. Komisch.
Nein, es ist so, dass man aus diesem Gleichungssystem ja ein lineare machen kann, mit Marcs Trick. Von daher ist es gerechtfertigt, dass dieses Gleichungssystem in dem Kapitel über "lineare Gleichungssysteme" steht.
> Oh, ich meinte natuerlich 3/(7x).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 19.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Julius,
> > > > ich habe folgendes Gleichungssystem:
> > > >
> > > > I. 1/x + 1/y = 2
> > > > II. 1/x - 1/y = 6
> > >
> > > Es handelt sich ja hier nicht um ein lineares
> > > Gleichungssystem, weswegen eine Lösung per Determinaten
>
> >
> > > nicht ohne weiteres möglich ist.
> >
> > Wegen der rationalen Zahlen? Handelt es sich nur um ein
>
> > lineares Gleichungssystem bei ganzen Zahlen?
>
> Nein, das hat mir ganzen und rationalen Zahlen nichts zu
> tun. Es ist deswegen kein lineares Gleichungssystem, weil
> die Variablen $x$ und $y$ im Nenner stehen. Ein (reelles)
> lineares $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Gleichungssystem müsste von der
> Form
>
> $ax+by=c$
> $dx+ey=f$
>
> sein, wobei $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ und $f$ reelle Zahlen
> sein dürfen.
>
> Diese Struktur hat dein obiges Gleichungssystem aber nicht,
> daher ist es nicht linear.
Achso.
> > Bei dem Buch,
> > das ich zum Ueben verwende, sind die Uebungsaufgaben mit
>
> > "lineare Gleichungen" betitelt. Komisch.
>
> Nein, es ist so, dass man aus diesem Gleichungssystem ja
> ein lineare machen kann, mit Marcs Trick. Von daher ist es
> gerechtfertigt, dass dieses Gleichungssystem in dem Kapitel
> über "lineare Gleichungssysteme" steht.
Stimmt auch wieder. Auch Dir vielen Dank fuer Deine Hilfe!
Michael
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