Determinanten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen.
Und wieder bräuchte ich mal eure Hilfe. Diesesmal zu einem Thema, was an sich ja gar nicht soooooo schwer ist.
Aber auch hier habe ich leider Probleme 2 Aufgabe zu lösen :-(
Also, dann fang ich mal an:
Gegeben ist folgende Matrix :
[mm] \pmat{ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & a_{1,n} \\ 0 & 0 & ... & 0 & a_{2,n-1} & a_{2,n}
\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{n-2,3} & ... & a_{n-2,n-1} & a_{n-2,n} \\ 0 & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & ... & a_{n,n-1} & a_{n,n}}
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen, dass
det (A) = [mm] (-1)^{n(n-1)/2} [/mm] * [mm] a_{1,n} [/mm] * [mm] a_{2,n-1} [/mm] * ... * [mm] a_{n-1,2} [/mm] * [mm] a_{n,1} [/mm]
Meine Vermutung ist es, diese Matrix, die ja in oberer Dreiecksform vorliegt irgendwie in Diagonalgestalt zu bringen, um dann die Determinante mit Hilfe des Produkts aus den Diagonalelementen bilden zu können.
Damit hätte ich dann den zweiten Teil der Behauptung, wobei mir [mm] (-1)^{n(n-1)/2} [/mm] immernoch ein kleines Rätsel bleibt. Auch die Umformung in Diagonalgesalt will mir nicht so recht gelingen.
Die andere Aufgabe lautet wie folgt :
Bestimmen Sie die Anzahl der Additionen und Multiplikationen, die man benötigt, wenn man die Determinante einer Matrix A [mm] \in \IM [/mm] (n x n, K) berechnet.
a) mit Hilfe der Formel
det A = [mm] \summe_{\sigma \in S_n}^{} [/mm] sign [mm] \sigma [/mm] * [mm] a_{1\sigma(1)} [/mm] * ... * [mm] a_{n\sigma(n)}
[/mm]
b) mit Hilfe von Gauss-Elimination und Aufmultiplizieren der Diagonalelemente
Bei dieser Aufgabe will mir einfach gar keine Idee in den Sinn kommen. Vor allem Teil a) bereitet mir Schwierigkeiten, da ich diese Formel nicht ganz verstehen kann.
Über Hilfe jeglicher Art würde ich mich sehr freuen.
Gruß Chiro
P.S. : Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo zusammen.
>
> Und wieder bräuchte ich mal eure Hilfe. Diesesmal zu einem
> Thema, was an sich ja gar nicht soooooo schwer ist.
>
> Aber auch hier habe ich leider Probleme 2 Aufgabe zu lösen
> :-(
>
> Also, dann fang ich mal an:
>
> Gegeben ist folgende Matrix :
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & a_{1,n} \\ 0 & 0 & ... & 0 & a_{2,n-1} & a_{2,n}
\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{n-2,3} & ... & a_{n-2,n-1} & a_{n-2,n} \\ 0 & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & ... & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & ... & a_{n,n-1} & a_{n,n}}[/mm]
>
> Jetzt soll ich zeigen, dass
> det (A) = [mm](-1)^{n(n-1)/2}[/mm] * [mm]a_{1,n}[/mm] * [mm]a_{2,n-1}[/mm] * ... *
> [mm]a_{n-1,2}[/mm] * [mm]a_{n,1}[/mm]
>
>
> Meine Vermutung ist es, diese Matrix, die ja in oberer
> Dreiecksform vorliegt irgendwie in Diagonalgestalt zu
> bringen, um dann die Determinante mit Hilfe des Produkts
> aus den Diagonalelementen bilden zu können.
> Damit hätte ich dann den zweiten Teil der Behauptung,
> wobei mir [mm](-1)^{n(n-1)/2}[/mm] immernoch ein kleines Rätsel
> bleibt. Auch die Umformung in Diagonalgesalt will mir nicht
> so recht gelingen.
Die Idee ist doch ziemlich gut!
Wie bringst Du denn konkret die Matrix auf Dreiecksgestalt?
Eben durch Vertauschen von Zeilen und Spalten!
Und weil die Determinante eine alternierende Multilinearform ist, bekommst Du eben bei jeder Vertauschung ein minus raus.
Jetzt ist die Preisfrage: Wieviele Vertauschungen hast Du?!?
> Die andere Aufgabe lautet wie folgt :
>
> Bestimmen Sie die Anzahl der Additionen und
> Multiplikationen, die man benötigt, wenn man die
> Determinante einer Matrix A [mm]\in \IM[/mm] (n x n, K) berechnet.
> a) mit Hilfe der Formel
> det A = [mm]\summe_{\sigma \in S_n}^{}[/mm] sign [mm]\sigma[/mm]
> [mm]a_{1\sigma(1)}[/mm] * ... * [mm]a_{n\sigma(n)}[/mm]
>
> b) mit Hilfe von Gauss-Elimination und Aufmultiplizieren
> der Diagonalelemente
>
> Bei dieser Aufgabe will mir einfach gar keine Idee in den
> Sinn kommen. Vor allem Teil a) bereitet mir
> Schwierigkeiten, da ich diese Formel nicht ganz verstehen
> kann.
Die Formel ist an sich doch ganz leicht zu verstehen...
Zuerst multiplizierst Du diese Elemente [mm] $a_{1\sigma(1)}*\cdots*a_{n\sigma(n)}$ [/mm] ...
Preisfrage 1: Wieviele Elemente sind das?
Dann summierst Du diese Dinger über alle [mm] \sigma [/mm] auf, die in [mm] \Sigma_n [/mm] sind.
Preisfrage 2: Wieviele Elemente hat [mm] \Sigma_n?
[/mm]
Damit solltest Du eigentlich schon weiter kommen...
Für b) hilft es wahrscheinlich, sich das einem kleinen, mustergültigen Beispiel zu veranschaulichen...
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hallo Christian.
Zunächst mal Danke für deine Hilfe.
Mir ist dabei aufgefallen, das ich irgendwie ein Verständnisproblem habe.
Wenn ich mir die erste Matrix betrachte, die ist ja schon in Dreiecksgestalt.
Dann kann ich doch direkt die Determinante berechnen, indem die Diagonalelemente aufmultipliziere.
Du haste geschrieben, das ich die Matrix auf Dreiecksgestalt bringe, indem ich Zeilen und Spalten vertausche, aber genau das ist doch alles schon geschehen, da diese Matrix doch schon so vorliegt.
Und was genau verstehst du unter alternierender Multilinearform ?
Und mit der zweiten hab ich auch noch ein Problem.
Welche Additionen und Multiplikationen sind hier eigentlich gemeint. Nur die, mit denen ich die Determinante berechne, oder auch schon die Schritte davor, um z.B. mit Gauss eine Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Tut mir echt Leid, aber irgendwie habe ich ein Brett vor dem Kopf.
Gruß Chiro
|
|
|
| |
|
> Wenn ich mir die erste Matrix betrachte, die ist ja schon
> in Dreiecksgestalt.
> Dann kann ich doch direkt die Determinante berechnen,
> indem die Diagonalelemente aufmultipliziere.
Hallo Chironimus,
die bereits vorliegende Dreiecksgestalt macht das ausrechnen der Determinante in der Tat recht leicht. Nur - einfach die Diagonalelemente ausmultiplizieren darst du nicht. Wegen des Vorzeichens.
Ich würde mit dem Entwicklungssatz nach der ersten Spalte oder Zeile entwickeln. Da ist glücklicherweise vieles =0. Dasselbe mit der verbleibenden Determinante usf. Da drängt sich ja eine kleine Induktion förmlich auf...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Zunächst mal Danke für deine Hilfe.
>
> Mir ist dabei aufgefallen, das ich irgendwie ein
> Verständnisproblem habe.
>
> Wenn ich mir die erste Matrix betrachte, die ist ja schon
> in Dreiecksgestalt.
> Dann kann ich doch direkt die Determinante berechnen,
> indem die Diagonalelemente aufmultipliziere.
Nein. Das geht nur, wenn sich das Dreieck oben links befindet. Du kannst dies aber durch Spaltentauschungen erreichen. Durch $n-1$ paarweise Vertauschungen (immer mit der Matrix links davon) bringst du die letzte Spalte ganz nach vorne. Mit weiteren $n-2$ paarweise Vertauschungen bringst du die dann letzte Spalte (die zuvor die vorletzte war) an die zweite Position von links.
Insgesamt kannst du die Matrix mit
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n-1} [/mm] i = [mm] \frac{(n-1)n}{2}$
[/mm]
Vertauschungen auf obere Dreiecksgestalt bringen. Jede dieser Vertauschungen ändert das Vorzeichen der Determinte. Daher gilt:
[mm] $\mbox{Determinante der eigentlichen Matrix} [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot \mbox{Determinante der neuen Matrix}$.
[/mm]
> Du haste geschrieben, das ich die Matrix auf
> Dreiecksgestalt bringe, indem ich Zeilen und Spalten
> vertausche, aber genau das ist doch alles schon geschehen,
> da diese Matrix doch schon so vorliegt.
Siehe oben!
> Und was genau verstehst du unter alternierender
> Multilinearform ?
Dies ist eine multilineare Abbildung mit
[mm] $d(\ldots, a_i, \ldots [/mm] , [mm] a_j \ldots) [/mm] = - [mm] d(\ldots,a_j, \ldots, a_i [/mm] , [mm] \ldots)$,
[/mm]
d.h. die Vertauschung zweier Elemente (hier sind dies Spalten) ändert das Vorzeichen.
> Und mit der zweiten hab ich auch noch ein Problem.
>
> Welche Additionen und Multiplikationen sind hier eigentlich
> gemeint. Nur die, mit denen ich die Determinante berechne,
> oder auch schon die Schritte davor, um z.B. mit Gauss eine
> Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Auch die vorher...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Do 30.06.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo,
wollte mich nur noch mal schnell bei euch bedanken.
Gruß Chiro
|
|
|
|
