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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 12.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] und seien [mm] r_{1},...,r_{n} \in \IC. [/mm] Sei V [mm] \in M_{n}(\IC) [/mm] gegeben durch [mm] \pmat{ 1 & r_{1} & r^{2}_{1} & ... & r^{n-1}_{1} \\ 1 & r_{2} & r^{2}_{2} & ... & r^{n-1}_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & r_{n} & r^{2}_{n} & ... & r^{n-1}_{n} }.
[/mm]
Aufgabe:
Zu zeigen, dass
det(V)= [mm] \produkt_{i\le1 |
Hallo Leute,
könnte mir jemande helfen, indem er mir sagt, welchen Ansatz ich wählen muss oder im allgemeinen erklärt, womit ich mich vertrauter machen muss, um diese Aufgabe zu lösen?
Ich würde sie echt gerne hinbekommen, habe schon viel gelesen, bin aber auf keine passenden Definitionen gestoßen. Hilfe 
Ich denke mal zuerst muss ich die Determinante ausrechnen und dann von dem Ergebnis auf den Term [mm] \produkt_{i\le1
Ich denke, dass ich aber auch schon Hilfe bei der Berechnung der Determinante benötige :-S
Vielen Dank schonmal, Paula.
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Moin Paula,
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] und seien [mm]r_{1},...,r_{n} \in \IC.[/mm]
> Sei V [mm]\in M_{n}(\IC)[/mm] gegeben durch [mm]\pmat{ 1 & r_{1} & r^{2}_{1} & ... & r^{n-1}_{1} \\ 1 & r_{2} & r^{2}_{2} & ... & r^{n-1}_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & r_{n} & r^{2}_{n} & ... & r^{n-1}_{n} }.[/mm]
>
> Aufgabe:
>
> Zu zeigen, dass
>
> det(V)= [mm]\produkt_{i\le1
> Hallo
> Leute,
>
> könnte mir jemande helfen, indem er mir sagt, welchen
> Ansatz ich wählen muss oder im allgemeinen erklärt, womit
> ich mich vertrauter machen muss, um diese Aufgabe zu
> lösen?
>
> Ich würde sie echt gerne hinbekommen, habe schon viel
> gelesen, bin aber auf keine passenden Definitionen
> gestoßen. Hilfe
>
> Ich denke mal zuerst muss ich die Determinante ausrechnen
> und dann von dem Ergebnis auf den Term [mm]\produkt_{i\le1
> Ich denke, dass ich aber auch schon Hilfe bei der
> Berechnung der Determinante benötige :-S
Es gilt [mm] det(V)=det(V^T). [/mm] Hier ist [mm] V^T [/mm] die sogenannte Vandermondematrix mit
[mm] det(V)=det(V^T)=\produkt_{i\le1
Beweis: (berechnet Determinante von [mm] V^T)
[/mm]
Mache eine Induktion nach n.
Im Induktionsschritt kannst du das [mm] r_1-fache [/mm] der i-1. zeile von der i. Zeile abziehen für i=2,...,n. Dabei ändert sich die Determinante nicht und in den Zeilen i=2,3,...,n steht als erster Matrixeintrag eine Null.
Mach anschließend laplaceentwicklung nach der ersten Spalte, d.h die Determinante ist gleich mit der Determinante der [mm] n-1\times [/mm] n-1 Matrix unten rechts.
Ziehe aus den Spalten der Matrix neuen Matrix Faktoren [mm] (r_j-r_1) [/mm] raus. Danach sollte die Determinante der verbleibenden Matrix nach Induktionsvoraussetzung bekannt sein. Dann musst du nur noch zusammenfassen.
Der Induktionsanfang ist leicht.
>
> Vielen Dank schonmal, Paula.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 15.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Leider bekomme ich nur einen Teil der Anweisungen hin.
Ich habe auch schon viel im Internet gelesen und Teilbeweise angeguckt, jedoch keinen kompletten Beweis für diese Aufgabe gefunden.
So weit bin ich gekommen:
Da die Determinante für n=1 1 ist, habe ich für den Induktionsanfang n=2 gewählt:
[mm] det\pmat{ 1 & x_1 \\ 1 & x_2 }=x_2-x_1.
[/mm]
Der nächste Schritt ist nun ja die Induktion nach n, dafür habe ich die erste Zeile von allen weiteren abgezogen:
$ [mm] \pmat{ 1 & r_{1} & ... & r^{n-1}_{1} \\ 0 & r_{2}-r_{1} & ... & r^{n-1}_{2}-r^{n-1}_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & r_{n}-r_{1} & ... & r^{n-1}_{n}-r^{n-1}_{1} }. [/mm] $
Dier erste Zeile und Spalte kann man ja nun aufgrund des Laplacen-Entwicklungssatz weglassen, da in der ersten Spalte nur ein Eintrag ungleich 0 ist:
$ [mm] \pmat{ r_{2}-r_{2} & ... & r^{n-1}_{2}-r^{n-1}_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_{n}r^{n-1}_{1} & ... & r^{n-1}_{n}-r^{n-1}_{1} }. [/mm] $
Hieraus muss ich ja nun den Faktor [mm] (r_i-r_1) [/mm] ziehen.
Das bekomme ich leider nicht hin, könnte mir die Entwicklung bitte jemand zeigen und erklären?
Und wieso muss ich genau diesen Faktor herausziehen?
Auch wenn ich das mit dem Faktor schaffen würde, würde ich nicht weiter kommen.
Wie komme ich dann im Endeffekt auf $ [mm] \produkt_{i\le1
Könnte mir das jemand zeigen?
Ich bin ratlos und habe nichtmehr viel Zeit für die Aufgabe
Viele Grüße von Paula
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Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> Leider bekomme ich nur einen Teil der Anweisungen hin.
> Ich habe auch schon viel im Internet gelesen und
> Teilbeweise angeguckt, jedoch keinen kompletten Beweis für
> diese Aufgabe gefunden.
>
> So weit bin ich gekommen:
>
> Da die Determinante für n=1 1 ist, habe ich für den
> Induktionsanfang n=2 gewählt:
> [mm]det\pmat{ 1 & x_1 \\ 1 & x_2 }=x_2-x_1.[/mm]
(![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
>
> Der nächste Schritt ist nun ja die Induktion nach n,
> dafür habe ich die erste Zeile von allen weiteren
> abgezogen:
genau lesen, ich schrieb
"Im Induktionsschritt kannst du das $ [mm] r_1-fache [/mm] $ der i-1. zeile von der i. Zeile abziehen", i=2,...,n
Nochmal genau lesen:
Bei den von mir angegebenen Schritten werden die Umformungen zur Determinantenberechnung auf die transponierten Matrix [mm] V^T [/mm] angewendet. Du hast hier immer noch die Matrix V als Grundlage. Nach meinem Rezept wird so nichts drauß.
[mm] \det(V)=\det(V^T)=\vmat{ 1 &1& ... & 1 \\ r_1 & r_2&... & r_n \\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ r_1^{n-1} &r_2^{n-1} & ... & r_n^{n-1} }
[/mm]
[mm] =\vmat{ 1 &1& ... & 1 \\ 0 & r_2-r_1&... & r_n-r_1 \\\\ 0 & r_2^2-r_1r_2&... & r_n^2-r_1r_n\\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ 0 &r_2^{n-1} -r_1r_2^{n-2}& ... & r_n^{n-1} -r_1r_n^{n-2} }
[/mm]
So jetzt Laplaceentwicklung 1. Spalte und dann aus den Spalte j=2,...,n (Spalten entsprechend der alten Matrix) den Faktor [mm] (r_j-r_1) [/mm] rausziehen.
Dann Induktionsvoraussetzung.
>
> [mm]\pmat{ 1 & r_{1} & ... & r^{n-1}_{1} \\ 0 & r_{2}-r_{1} & ... & r^{n-1}_{2}-r^{n-1}_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & r_{n}-r_{1} & ... & r^{n-1}_{n}-r^{n-1}_{1} }.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Dier erste Zeile und Spalte kann man ja nun aufgrund des
> Laplacen-Entwicklungssatz weglassen, da in der ersten
> Spalte nur ein Eintrag ungleich 0 ist:
>
> [mm]\pmat{ r_{2}-r_{2} & ... & r^{n-1}_{2}-r^{n-1}_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_{n}r^{n-1}_{1} & ... & r^{n-1}_{n}-r^{n-1}_{1} }.[/mm]
>
> Hieraus muss ich ja nun den Faktor [mm](r_i-r_1)[/mm] ziehen.
> Das bekomme ich leider nicht hin, könnte mir die
> Entwicklung bitte jemand zeigen und erklären?
> Und wieso muss ich genau diesen Faktor herausziehen?
>
> Auch wenn ich das mit dem Faktor schaffen würde, würde
> ich nicht weiter kommen.
> Wie komme ich dann im Endeffekt auf [mm]\produkt_{i\le1
>
> Könnte mir das jemand zeigen?
> Ich bin ratlos und habe nichtmehr viel Zeit für die
> Aufgabe
>
> Viele Grüße von Paula
>
>
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 17.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Da habe ich wohl nicht gut genug aufgepasst, ich nehme also als Grundlage die transponierte Matrix [mm] V^{T}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 &1& ... & 1 \\ r_1 & r_2&... & r_n \\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ r_1^{n-1} &r_2^{n-1}& ... & r_n^{n-1} }.
[/mm]
Aber wieso nimmt man die transponierte Matrix?
So, jetzt subtrahiert man das [mm] r_{1}-fache [/mm] der i-1. Zeile von der i. Zeile:
[mm] det(V)=det(V^{T}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 &1& ... & 1 \\ 0 & r_2-r_1&... & r_n-r_1 \\\\ 0 & r_2^2-r_1r_2&... & r_n^2-r_1r_n\\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ 0 &r_2^{n-1}-r_1r_2^{n-1}& ... & r_n^{n-1}r_1r_n^{n-1} }
[/mm]
Wie die zweite Zeile zustande kommt ist klar, jedoch sehe ich bei den weiteren nicht komplett, was genau abgezogen wurde, könnte mir das jemand einmal anhand einer Zeile für i>2 zeigen?
Die erste Spalte und Zeile fallen ja jetzt weg aufgrund des Laplacen-Entwicklungssatzes.
So nun muss also der Faktor $ [mm] (r_i-r_1) [/mm] $ herausgezogen werden, da bekomme ich dann folgendes raus:
det(V)= [mm] (r_{n}-r_{1})...(r_{2}-r_{1}) [/mm] det [mm] \pmat{ 1 & ... & 1 \\ r_{2} & ... & r_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_2^{n-2} & ... & r_n^{n-2} }.
[/mm]
Und hier komme ich nichtmehr weiter.
Der Faktor [mm] (r_{n}-r_{1})...(r_{2}-r_{1}) [/mm] impliziert doch schon $ [mm] \produkt_{i\le1
Somit muss die Determinante der Matrix [mm] \pmat{ 1 & ... & 1 \\ r_{2} & ... & r_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_2^{n-2} & ... & r_n^{n-2} } [/mm] = 1 sein. Nur sehe ich das leider nicht, welche Determinante diese Matrix hat, kann mir das jemand zeigen bitte?
So, ich hoffe dass nicht allzu viel falsch ist und dass ich mich dem Ende der Aufgabe näher
Ich danke schonmal für die ganzen Erklärungen. Paula.
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Moin,
> Da habe ich wohl nicht gut genug aufgepasst, ich nehme also
> als Grundlage die transponierte Matrix [mm]V^{T}:[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 &1& ... & 1 \\ r_1 & r_2&... & r_n \\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ r_1^{n-1} &r_2^{n-1}& ... & r_n^{n-1} }.[/mm]
>
> Aber wieso nimmt man die transponierte Matrix?
Sie hat die gleiche Determinante und man kann all das machen, was jetzt kommt.
>
> So, jetzt subtrahiert man das [mm]r_{1}-fache[/mm] der i-1. Zeile
> von der i. Zeile:
> [mm]det(V)=det(V^{T})[/mm] = [mm]\pmat{ 1 &1& ... & 1 \\ 0 & r_2-r_1&... & r_n-r_1 \\\\ 0 & r_2^2-r_1r_2&... & r_n^2-r_1r_n\\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots \\ 0 &r_2^{n-1}-r_1r_2^{n-1}& ... & r_n^{n-1}r_1r_n^{n-1} }[/mm]
>
> Wie die zweite Zeile zustande kommt ist klar, jedoch sehe
> ich bei den weiteren nicht komplett, was genau abgezogen
> wurde, könnte mir das jemand einmal anhand einer Zeile
> für i>2 zeigen?
i-1. Zeile von [mm] V^T [/mm] ist [mm] (r_1^{i-2}, r_2^{i-2}, \ldots, r_n^{i-2})
[/mm]
i. Zeile von [mm] V^T [/mm] ist [mm] (r_1^{i-1}, r_2^{i-1}, \ldots, r_n^{i-2})
[/mm]
Dann ist die neue i. Zeile, die sich aus der alten i. Zeile minus alte i-1. Zeile mal [mm] r_1 [/mm] ergibt:
[mm] (r_1^{i-1}-r_1^{i-2}r_1, r_2^{i-1}-r_2^{i-2}r_1, \ldots, r_n^{i-1}-r_n^{i-2}r_1)=(0, (r_2-r_1)r_2^{i-2}, \ldots, (r_n-r_1)r_n^{i-1})
[/mm]
>
> Die erste Spalte und Zeile fallen ja jetzt weg aufgrund des
> Laplacen-Entwicklungssatzes.
>
> So nun muss also der Faktor [mm](r_i-r_1)[/mm] herausgezogen werden,
> da bekomme ich dann folgendes raus:
>
> det(V)= [mm](r_{n}-r_{1})...(r_{2}-r_{1})[/mm] det [mm]\pmat{ 1 & ... & 1 \\ r_{2} & ... & r_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_2^{n-2} & ... & r_n^{n-2} }.[/mm]
[mm] ...=\prod_{j=2}^n(r_j-r_1)* [/mm] det(M)
>
> Und hier komme ich nichtmehr weiter.
Erinnere dich, dass wir hier einen Induktionsbeweis führen.
Die Determinante dieser [mm] n-1\times [/mm] n-1 Matrix M ist nach Induktionsvoraussetzung bekannt:
[mm] det(M)=\produkt_{i\le2
Jetzt musst du die Determinante nur noch zusammensetzen und schon bist du fertig.
> Der Faktor [mm](r_{n}-r_{1})...(r_{2}-r_}{1})[/mm] impliziert doch
> schon [mm]\produkt_{i\le1
Nein, da fehlen doch noch ganz viele Faktoren, z. B. [mm] (r_3-r_2).
[/mm]
Vorsicht, dass du beim produkteschreiben nicht die indizes vertauschst
>
> Somit muss die Determinante der Matrix [mm]\pmat{ 1 & ... & 1 \\ r_{2} & ... & r_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_2^{n-2} & ... & r_n^{n-2} }[/mm]
> = 1 sein. Nur sehe ich das leider nicht, welche
> Determinante diese Matrix hat, kann mir das jemand zeigen
> bitte?
>
> So, ich hoffe dass nicht allzu viel falsch ist und dass ich
> mich dem Ende der Aufgabe näher
>
> Ich danke schonmal für die ganzen Erklärungen. Paula.
>
>
LG
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