Determinantenberechnung n-ter Ordnung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:38 Sa 03.01.2004 | | Autor: | markle |
Hallo Leute,
ich bin neu hier bei euch, hoffe aber ihr könnt mir ein wenig helfen.ich komme mit der Determinantenberechnung n-ter Ordnung nich ganz klar, kann mir da vielleicht jemand ein paar gute tips geben, denn das script von meinem Prof hilft mir nicht gerade sehr.Ich habe z.B. diese Aufgabe zu lösen:
| 1 2 0 3 |
|-1 4 -1 4 |
|-1 0 0 4 |
| 0 1 2 1 |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo markle!
Willkommen im matheraum!
Zwei Fragen, damit wir dir effektiv weiterhelfen können:
1) Weißt du, wie man die Determinante eine [mm]3\times 3[/mm]-Matrix berechnet?
2) Kennst du den Laplaceschen Entwicklungssatz? Wenn ja, was daran verstehst du nicht?
Bis später!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Sa 03.01.2004 | | Autor: | markle |
Danke dir schon mal das du so schnell geantwortet hast.
Also zu 1)
Ja ich denke das kann ich.
zu 2)
Ich habe den Satz in meinem script stehen.Was ich jetzt nicht ganz daran verstehe ist das mit dem alpha und der i-ten und j-ten zeile. kann ich die zeilen belibig wählen. versuchs sonst einfach mit deinen Worten mal zu erklären,wenns nicht zu umständlich ist an dem beispiel .
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo markle,
Determinanten können -- wie Stefan ja bereits angedeutet hat -- mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden. Befinden sich in der zugrundeliegenden Matrix mehrere Nullen, so ist diese Entwicklung sogar besonders einfach, dazu mehr später.
Der Laplacesche Entwicklungssatz lautet:
Für jedes [mm] s \in \{1,\ldots,n\} [/mm] gilt:
[mm] \det A = \sum_{r=1}^n\limits (-1)^{r+s} a_{r,s}*\det(A_{r,s}) [/mm] ("Entwicklung nach der s-ten Spalte")
Dabei ist [mm] A [/mm] eine [mm] n\times n[/mm] Matrix, [mm]a_{r,s}[/mm] das Element in der r-ten Zeile und s-ten Spalte von [mm] A [/mm] und [mm] A_{r,s} [/mm] diejenige [mm] (n-1)\times (n-1) [/mm]-Matrix, die entsteht, wenn man in der Matrix [mm] A [/mm] die r-te Zeile und s-te Spalte streicht .
Ich veranschauliche das am besten mal an deinem Beispiel:
[mm] A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
-1 & 4 & \fbox{$-1$} & 4 \\
-1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
In dieser Matrix ist nun beispielsweise [mm] a_{2,3} = -1 [/mm] (siehe Markierung in der Matrix) und [mm] A_{2,3} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
und noch ein Beispiel:
[mm] a_{4,3} = 2 [/mm] und [mm] A_{4,3} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 4 & 4 \\
-1 & 0 & 4 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Diese "Untermatrizen" aufzustellen ist also total einfach, trotzdem muß man sich dabei konzentrieren 
So, jetzt können wir den Entwicklungssatz auf deine Matrix anwenden:
Ich entwickle die Matrix nach der 3. Spalte (weil dies die Spalte mit den meisten Nullen ist, das ist -- wie du jetzt sehen wirst -- sehr vorteilhaft):
[mm] \det A = \sum_{r=1}^4\limits (-1)^{r+3} a_{r,3}*\det(A_{r,3}) [/mm]
[mm] = (-1)^{1+3}* a_{1,3}*\det(A_{1,3}) + (-1)^{2+3}* a_{2,3}*\det(A_{2,3}) + (-1)^{3+3} *a_{3,3}*\det(A_{3,3}) + (-1)^{4+3}* a_{4,3}*\det(A_{4,3}) [/mm]
[mm] = (-1)^4 *0*\det(A_{1,3}) + (-1)^5 *(-1)*\det(A_{2,3}) + (-1)^6* 0*\det(A_{3,3}) + (-1)^7 *2*\det(A_{4,3}) [/mm]
Hier zeigt sich nun der Vorteil, nach einer Spalte mit vielen Nullen entwickelt zu haben: Der erste und dritte Summand verschwindet; wir müssen uns also gar nicht mehr die Mühe machen, die Untermatrizen [mm] A_{1,3} [/mm] und [mm] A_{3,3} [/mm] aufzustellen!
[mm] = (-1)^5 *(-1)*\det(A_{2,3}) + (-1)^7 *2*\det(A_{4,3}) [/mm]
[mm] = \det(A_{2,3}) -2*\det(A_{4,3}) [/mm]
(Überraschung: Die beteiligten Untermatrizen sind zufällig genau die Matrizen aus den Übungsbeispielen oben  )
[mm] = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
-2*\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 4 & 4 \\
-1 & 0 & 4 \\
\end{vmatrix}[/mm]
Somit wurde die [mm] 4 \times 4 [/mm]-Determinante dargestellt durch zwei [mm] 3\times 3 [/mm]-Determinanten, die naturgemäß einfacher zu berechnen sind (da sie kleiner sind).
Wenn du Spaß dran hättest, könntest du den Laplaceschen Enwicklungssatz jeweils wieder auf die beiden Determinanten anwenden, und diese dann durch [mm] 2\times 2 [/mm]-Determinanten ausdrücken.
Hier würde ich aber empfehlen, die [mm] 3\times 3[/mm]-Determinanten mit der Regel von Sarrus zu berechnen, falls du sie kennst.
Und noch etwas: Wie du gesehen hast, sind Nullen sehr vorteilhaft bei der Determinantenberechnung; weißt du, wie du vor Berechnung der Determinante versuchen kannst, zusätzliche Nullen in der Matrix zu erzeugen, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert? Stichwort: Vielfache von Zeilen bzw. Spalten zu einer anderen Zeile bzw. Spalte addieren verändert die Determinante nicht.
Der Vollständigkeit halber gebe ich auch noch den Satz für die Entwicklung nach einer Zeile an:
Für jedes [mm] r \in \{1,\ldots,n\} [/mm] gilt:
[mm] \det A = \sum_{s=1}^n\limits (-1)^{r+s} a_{r,s}*\det(A_{r,s}) [/mm] ("Entwicklung nach der r-ten Zeile")
Ich hoffe, damit ist dir die Determinantenberechnung etwas klarer geworden, falls nicht, frage bitte nach.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 So 04.01.2004 | | Autor: | markle |
Also marc ich danke dir... Deine Erklärung hat mir sehr geholfen und euer Forum hat mich echt überzeugt. Ich werde dann wohl noch öfter mal was fragen , da ich auch öfter mal nen bissel länger brauche bis es knackt. Also macht weiter so!!!!!
Gruß markle
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