Determinantenrang < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi ihr Lieben! Ich habe eine kurze Frage zum Thema "Determinantenrang", den wir im Zuge des Kapitels Determinanten durchgemacht haben.
Also der Satz lautet wie folgt:
Sei A eine mxn Matrix. Dann sind äquivalent:
(1) Rang(A)=r
(2) Es existiert eine r-zeilige quadratische Teilmatrix A' von A mit [mm] det(A')\not=0 [/mm] und die Determinanten aller größeren Teilmatrizen (kxk Matrizen mit k>r) sind gleich 0.
Und zum Beweis hat unser Prof. folgendes gemacht. Er hat gemeint, es würde reichen folgende Äquivalenz zu beweisen:
[mm] Rang(A)\ge [/mm] k [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine k-zeilige quadratische Teilmatrix A' mit [mm] det(A')\not=0, [/mm]
denn beide Äquivalenzen seien gleichwertig.
Meine Frage ist jetzt aber, warum das gilt. Also ich sehe nicht, wieso diese beiden Äquivalenzen gleichwertig sein sollten. Wisst ihr, wie er da drauf kommt?
Lg Manuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Di 06.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Manuel,
> Hi ihr Lieben! Ich habe eine kurze Frage zum Thema
> "Determinantenrang", den wir im Zuge des Kapitels
> Determinanten durchgemacht haben.
>
> Also der Satz lautet wie folgt:
>
> Sei A eine mxn Matrix. Dann sind äquivalent:
> (1) Rang(A)=r
>
> (2) Es existiert eine r-zeilige quadratische Teilmatrix A'
> von A mit [mm]det(A')\not=0[/mm] und die Determinanten aller
> größeren Teilmatrizen (kxk Matrizen mit k>r) sind gleich 0.
>
> Und zum Beweis hat unser Prof. folgendes gemacht. Er hat
> gemeint, es würde reichen folgende Äquivalenz zu beweisen:
>
> [mm]Rang(A)\ge[/mm] k [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine k-zeilige quadratische
> Teilmatrix A' mit [mm]det(A')\not=0,[/mm]
>
> denn beide Äquivalenzen seien gleichwertig.
>
> Meine Frage ist jetzt aber, warum das gilt. Also ich sehe
> nicht, wieso diese beiden Äquivalenzen gleichwertig sein
> sollten. Wisst ihr, wie er da drauf kommt?
Du musst benutzen, dass fuer eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $B$ gilt: [mm] $\det [/mm] B [mm] \neq [/mm] 0$ genau dann, wenn $Rang(B) = n$ ist, genau dann, wenn die Zeilen von $B$ linear unabhaengig sind. Ist insb. $C$ eine $r [mm] \times [/mm] r$-Untermatrix von $B$ und gilt [mm] $\det [/mm] B [mm] \neq [/mm] 0$, so gilt auch [mm] $\det [/mm] C [mm] \neq [/mm] 0$.
Angenommen, die erste Aussage gilt.
* Ist $Rang(A) [mm] \ge [/mm] k$, etwa $r = Rang(A)$, so gibt es eine $r [mm] \times [/mm] r$-Untermatrix mit Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$. Wenn man eine beliebige $k [mm] \times [/mm] k$-Untermatrix von dieser nimmt, ist deren Determinante auch [mm] $\neq [/mm] 0$.
* Gilt $Rang(A) < k$, und gaebe es eine $k [mm] \times [/mm] k$-Untermatrix mit Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$, so ergibt dies einen Widerspruch.
Also folgt die zweite Aequivalenz aus der ersten.
Gelte nun die zweite Aequivalenz.
* Ist $Rang(A) = r$, so gilt auch $Rang(A) [mm] \ge [/mm] r$ und somit gibt es eine $r [mm] \times [/mm] r$-Untermatrix mit nicht verschwindener Determinante.
* Sei $Rang(A) [mm] \neq [/mm] r$. Ist $Rang(A) < r$, so gibt es nach der zweiten Aequivalenz keine $r [mm] \times [/mm] r$-Untermatrix mit verschwindener Determinante, da nicht $Rang(A) [mm] \ge [/mm] r$ gilt.
Gilt dagegen $Rang(r) > r$, so gilt $Rang(r) [mm] \ge [/mm] r + 1$ und es gibt eine $(r+1) [mm] \times [/mm] (r+1)$-Untermatrix deren Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ ist. Damit ist aber auch die zweite Aussage der ersten Aequivalenz nicht erfuellt.
Insgesamt folgt also auch die erste Aequivalenz aus der zweiten.
Ich hoffe mal das war jetzt nicht zu verwirrend :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 06.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Vielen Dank für deine Mühe, jetzt ist es mir fast schon klar. Nur eine Frage noch: Du schreibst:
* Sei [mm] Rang(A)\not=r. [/mm] Ist Rang(A)<r, so gibt es nach der zweiten Aequivalenz keine rxr Untermatrix mit verschwindener Determinante , da nicht Rang(A) [mm] \ge [/mm] r gilt.
Müsste es nicht heißen NICHT verschwindende Determinante?
Lg Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 06.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Manuel,
> Vielen Dank für deine Mühe, jetzt ist es mir fast schon
> klar. Nur eine Frage noch: Du schreibst:
>
> * Sei [mm]Rang(A)\not=r.[/mm] Ist Rang(A)<r, so gibt es nach der
> zweiten Aequivalenz keine rxr Untermatrix mit
> verschwindener Determinante , da nicht Rang(A) [mm]\ge[/mm] r gilt.
>
> Müsste es nicht heißen NICHT verschwindende Determinante?
ja da hast du Recht, das `nicht' hab ich wohl im Eifer des Gefechts vergessen... :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Wunderbar, dann hab ich die Äquivalenz der beiden Äquivalenzen (!) jetzt verstanden. Nur noch eine Frage zu deinem Beweisschritt, in dem du zeigst, dass die 2. Aussage aus der 1. folgt:
Wo genau zeigst du da, dass aller größeren Teilmatrizen det=0 haben?
Wär nett, wenn du mir das noch schnell sagen könntest :).
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 07.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hi,
> Wunderbar, dann hab ich die Äquivalenz der beiden
> Äquivalenzen (!) jetzt verstanden. Nur noch eine Frage zu
> deinem Beweisschritt, in dem du zeigst, dass die 2. Aussage
> aus der 1. folgt:
>
> Wo genau zeigst du da, dass aller größeren Teilmatrizen
> det=0 haben?
stimmt, das hab ich vergessen! Wenn eine [mm] $\ell \times \ell$-Untermatrix [/mm] mit [mm] ($\ell [/mm] > r$) eine Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ haette, dann wuerd aus der zweiten Aequivalenz folgen, dass der Rang [mm] $\ge \ell [/mm] > r$ ist, ein Widerspruch zu $Rang(A) = r$.
LG Felix
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