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Hi Leute,
nun zermartere ich mir schon seit zwei Stunden wegen folgender Aufgabe das Hirn und ich komme einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir von euch jemand dabei weiter helfen.
Vielen Dank schon mal für alle Antworten.
Zeige: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es (genau!) eine n-stellige Dezimalzahl aus den Ziffern 1 und 2, die durch [mm] 2^{n} [/mm] teilbar ist.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann ist damit folgendes gemeint:
n:2
Divisor = 4
zweistellige Dezimalzahl = 12
Ergebnis = 3
n:3
Divisor = 8
dreistellige Dezimalzahl = 112
Ergebnis = 14
n:4
Divisor = 16
vierstellige Dezimalzahl = 2112
Ergebnis = 132
...
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den den Ziffern 1 und 2 und [mm] 2^{n}? [/mm] Wieso ausgerechnet [mm] 2^{n}? [/mm] Warum gibt es nur genau eine n-stellige Dezimalzahl? :-(
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 09.11.2006 | | Autor: | Professor |
Hi Leute,
durch probieren habe ich folgenden Zusammenhang heraus gefunden:
Bei meiner n-stelligen Dezimalzahl ändert sich stets nur die erste Ziffer.
n: 1 = 2
n: 2 = 12
n: 3 = 112
n: 4 = 2112
n: 5 = 22112
n: 6 = 122112
n: 7 = 2122112
.
.
.
Was ist die Ursache für diesen Zusammenhang und liegt darin der Schlüssel zu meiner Lösung?
Danke für euere Antworten.
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Do 09.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Professor,
> Bei meiner n-stelligen Dezimalzahl ändert sich stets nur
> die erste Ziffer.
>
> n: 1 = 2
> n: 2 = 12
> n: 3 = 112
> n: 4 = 2112
> n: 5 = 22112
> n: 6 = 122112
> n: 7 = 2122112
> .
> .
> .
Es wird also zum Vorgänger immer [mm] $k*10^n=k*2^n*5^n$ [/mm] (natürlich mit $k [mm] \in \{1,2\}$) [/mm] dazuaddiert.
Ob das irgendwie weiterhilft... ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Schöne Grüße
ardik
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Hallo,
dass an der letzten Stelle eine Zwei stehen muss ist klar, sonst kann ich durch eine gerade Zahl [mm] (2^{n} [/mm] ist stets gerade) nicht teilen.
Bei n = 3 gibt es folgende Möglichkeiten für eine Dezimalzahl:
122
112 = richtig Lösung
212
222
Wenn ich nun die Differenz von der richtigen Lösung mit den anderen Möglichkeiten ausrechne, dann erhalte ich:
010
100
110
Da diese Differenzen nicht durch [mm] 2^{3} [/mm] nicht teilbar sind, so sind auch die oben genannten Möglichkeiten nicht durch [mm] 2^{3} [/mm] teilbar.
Kann es sein, dass eine n-stellige Zahl, welche auf 0 endet (bei allen der Fall wg. der 2) nicht durch [mm] 2^{n} [/mm] teilbar ist?
Wie kann mir [mm] 5^{n} [/mm] weiterhelfen?
Gruß
Prof.
Bald kapituliere ich vor dieser doofen Aufgabe! :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur ein Tip
[mm] 10=2^1 [/mm] mod [mm] 2^2
[/mm]
20=0 mod [mm] 2^2
[/mm]
[mm] 100=2^2 mod2^3
[/mm]
200=0 mod [mm] 2^3
[/mm]
[mm] 10^n=2^n mod2^{n+1}
[/mm]
[mm] 2*10^n [/mm] =0 mod [mm] 2^{n+1}
[/mm]
und [mm] 10^n [/mm] ist n+1 stellig.
damit solltest du glaub ich weiterkommen. habs aber nicht zu Ende gedacht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo,
danke für deine Antwort zu so später Stunde. Leider ist dein Tipp irgendwie zu hoch für mich. Entweder ich bin zu dumm oder es liegt an der Uhrzeit. Auf jeden Fall werde ich für heute Schluß machen, denn morgen ist auch noch ein Tag.
Was hatte eigentlich ardik mit [mm] 5^{n} [/mm] gemeint?
Gute Nacht
Prof.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:47 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Professor,
> Was hatte eigentlich ardik mit [mm]5^{n}[/mm] gemeint?
Nichts.  Das war nur übrig geblieben, als ich die [mm] $2^n$ [/mm] aus [mm] $10^n$ [/mm] rausgezogen hatte...
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Fr 10.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo professor
Offenbar erhältn man die aus der n-stelligen Zahle die n+1-stellige Zahl, inem man vorne eine 1 oder eine 2 anhängt.
Sei also x die (eindeutige) n-stellige Zahl aus den Ziffern 1,2, die durch [mm] $2^n$ [/mm] teilbar ist.
Dann betrachte [mm] $y_1=10^n+x$ [/mm] und [mm] $y_2=2\cdot 10^n+x$, [/mm] das sind die n+1 -stelligen Zahlen "1x" rsp "2x".
Dann gilt: x ist durch [mm] $2^n$ [/mm] teilbar, [mm] $10^n$ [/mm] ist durch [mm] $2^n$ [/mm] teilbar.
Jetzt eine kleine Ueberlegung:
Ist [mm] $x:2^n$ [/mm] gerade, so ist ist [mm] $y_2$ [/mm] durch [mm] $2^{n+1}$ [/mm] teilbar.
Ist [mm] $x:2^n$ [/mm] ungerade, so ist [mm] $y_1$ [/mm] durch [mm] $2^{n+1}$ [/mm] teilbar.
Man kann sich auch überlegen: ist [mm] $y_1$ [/mm] oder [mm] $y_2$ [/mm] durch [mm] $2^{n+1}$ [/mm] teilbar, so ist auch $x$ durch [mm] $2^n$ [/mm] teilbar. Deshalb folgt aus der Eindeutigkeit von der n-stelligen Zahl x die Eindeutigkeit der n+1-stelligen Zahl.
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo moudi,
danke für deine Hilfe. Du wirst es nicht glauben aber ich bin mit einem Freund am Freitag vormittag auch auf die Idee gekommen es über die ungeraden bzw. geraden Ergebnisse zu versuchen. Als ich deinen Artikel abends dann gelesen hatte war ich froh, dass diese Idee in die richtige Richtung ging.
Danke nochmals.
Wünsch dir ein schönes Wochenende
Prof.
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