Dgl. 1. Ordnung revisited < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende AWP, machen Sie die Probe und geben Sie jeweils ein maximales Existenzintervall an:
a) [mm] (t^2-1)x`=x [/mm] mit x(2)=1
b) [mm] x`+\bruch{x}{t}=\bruch{tan(t)}{t} [/mm] mit [mm] x(\pi)=1 [/mm] |
zuerst möchte ich fragen was eine "Dgl. 1. Ordnung revisited" ist? revisit heißt jemanden wieder besuchen. ich finde da jetzt keinen Zusammenhang zu Dgl.
a)
[mm] (t^2-1)x'=x [/mm] mit x(2)=1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}= \integral{\bruch{1}{t^2-1}dt}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{t^2-1}= \bruch{A}{t-1}+ \bruch{B}{t+1}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und B [mm] =-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}= \bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{t-1}dt}-\bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{t+1}dt}
[/mm]
[mm] ln|x|=ln|\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}|+C
[/mm]
[mm] x(t)=C*\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}
[/mm]
x(2)=1
[mm] \Rightarrow C=\wurzel{3}
[/mm]
Existenzintervall: für alle t [mm] \in \IR [/mm] außer 1 und -1. Wie schreibt man das normalerweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Do 12.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was ist mit den Wurzeln, wenn t<1 bzw t<-1? deine Lösung geht da nicht mehr!
2. revisited: wahrscheinlich ist das eine Wiederhokungsaufgabe und Dgl sind in der Vorlesung grade nicht dran
Gruß leduart
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hallo,
> 1. was ist mit den Wurzeln, wenn t<1 bzw t<-1? deine
> Lösung geht da nicht mehr!
meinst du damit t soll [mm] \in \IC [/mm] sein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> > 1. was ist mit den Wurzeln, wenn t<1 bzw t<-1? deine
> > Lösung geht da nicht mehr!
>
> meinst du damit t soll [mm]\in \IC[/mm] sein ?
Nein. t>1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Do 12.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
ich verstehe nicht was ihr mir mitteilen wollt. erklärt es mir bitte genauer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich verstehe nicht was ihr mir mitteilen wollt. erklärt es
> mir bitte genauer
Für welche t ist
$ [mm] x(t)=C\cdot{}\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}} [/mm] $
differenzierbar ?
FRED
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> Für welche t ist
>
> [mm]x(t)=C\cdot{}\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}[/mm]
>
> differenzierbar ?
für t>1?
aber die lösung wäre doch auch für t [mm] \not=-1 [/mm] differenzierbar, wenn t [mm] \in \IC?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 12.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wie habt ihr denn in der Vorlesung eine "gewöhnliche DGL" definiert. Kam da [mm] \IC [/mm] drin vor?
Grüße
Herby
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hallo,
> wie habt ihr denn in der Vorlesung eine "gewöhnliche DGL"
> definiert.
kurz gegooglet:
Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen, und ihre Lösungen sind Funktionen. Das Wort ,gewöhnlich‘ bezieht sich darauf, dass die betrachteten Funktionen nur von einer Veränderlichen abhängen.
wieso ist jetzt [mm] \IC [/mm] für gewöhnliche Dgl nicht definiert? weil die funktionen dann von mehreren variabeln abhängt? ich wüsste jetzt nicht wieso es für mehrere variabeln abhängen würde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 13.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
all deine Manipulationen gelten nur für reelle funktionen von reellen Varianlen, auch schon da du nur eine Lösung für das AWP suchst ist ja t>1 aber die Lösung endet eben bwi t=1
was machst du, wenn du das AWP mit x(-2)=1 hättest?
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
revisited {adj} {past-p}
wiederbesucht
wieder besucht
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:23 Fr 13.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
ich soll noch die Probe machen
[mm] (t^2-1)x'=x
[/mm]
[mm] x(t)=C*\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}
[/mm]
kann ich für die Probe die Dgl nach x' umstellen und in die Dgl einsetzen?
[mm] x'=\bruch{x}{(t^2-1)}
[/mm]
In Dgl. eingesetzt:
[mm] (t^2-1)\bruch{x}{(t^2-1)}=x
[/mm]
aber ist die Probe hier nicht sinnfrei? weil egal welche lösung ich für x habe, ich würde immer eine wahre aussage bekommen
EDIT: Hat sich erledigt, ich muss die lösung von x ableiten und in die Dgl einsetzen
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[mm] x(t)=C*\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}
[/mm]
[mm] x'(t)=\bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
ich habe Schwierigkeiten die Ableitung zu vereinfachen. den Summand [mm] \bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] würde ich so vereinfachen:
[mm] \bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}}= \bruch{((t-1)(t+1))^{-\bruch{1}{2}}}{2}=\bruch{1}{2\wurzel{t^2-1}}
[/mm]
den subtrahent [mm] -\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] würde ich so vereinfachen:
[mm] -\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}= \bruch{1}{2\wurzel{(t-1)^2}}=\bruch{1}{2(t-1)}
[/mm]
x'(t)= [mm] C*(\bruch{1}{2\wurzel{t^2-1}}-\bruch{1}{2(t-1)})
[/mm]
ist die ableitung richtig? ich bekomme keine richtige aussage bei der probe
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Hallo,
> [mm]x(t)=C*\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}[/mm]
>
> [mm]x'(t)=\bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Ok, hier fehlt noch der konstante Vorfaktor C ...
>
> ich habe Schwierigkeiten die Ableitung zu vereinfachen. den
> Summand
> [mm]\bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> würde ich so vereinfachen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(t-1)^{-\bruch{1}{2}}(t+1)^{-\bruch{1}{2}}= \bruch{((t-1)(t+1))^{-\bruch{1}{2}}}{2}=\bruch{1}{2\wurzel{t^2-1}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> den subtrahent
> [mm]-\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> würde ich so vereinfachen:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}= \bruch{1}{2\wurzel{(t-1)^2}}=\bruch{1}{2(t-1)}[/mm]
Wie kommt das zustande?
>
>
> x'(t)= [mm]C*(\bruch{1}{2\wurzel{t^2-1}}-\bruch{1}{2(t-1)})[/mm]
>
> ist die ableitung richtig? ich bekomme keine richtige
> aussage bei der probe
Der zweite Summand in der Klammer sieht verkehrt aus.
Mir persönlich fällt das Ableiten einfacher mittels Wurzelgesetz und Quotientenregel, dann hat man nicht diese vielen Exponenten, auf die man immer aufpassen muss:
Mit [mm]x(t)=C\cdot{}\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}[/mm] ist
[mm]x'(t)=C\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{t+1-(t-1)}{(t+1)^2}}_{\text{innere Ableitung}}[/mm]
Und das ist doch schnell zusammengefasst.
Damit prüfe dann, ob [mm] $(t^2-1)\cdot{}x'(t)=x(t)$ [/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Fr 13.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> [mm]-\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}= \bruch{1}{2\wurzel{(t-1)^2}}=\bruch{1}{2(t-1)}[/mm]
> Wie kommt das zustande?
[mm] -\bruch{1}{2}(t+1)^{-\bruch{3}{2}}(t-1)^{\bruch{1}{2}}= -\bruch{\wurzel{t-1}}{2}* \bruch{1}{\wurzel{(t+1)^{3}}}
[/mm]
ich habe hier den fehler gemacht, dass ich die wurzek gekürzt habe. das geht ja nicht wegen den unterschiedlichen vorzeichen
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hallo,
ich habe meine ableitung nun korregiert und in die Dgl. eingesetzt und bekomme folgende gleichung:
[mm] \bruch{t^2-1}{2\wurzel{t^2-1}}- \bruch{(t^2-1)\wurzel{t-1}}{2\wurzel{(t+1)^3}}=\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}
[/mm]
die gleichung stimmt. ich habe ein zahlen beispiel gemacht und bekomme auf beiden seiten das gleiche ergebnis. ich weiß nicht wie ich die gleichung weiter kürzen soll
würde es als probe reichen wenn ich für t ein wert einsetze und zeige, dass ich auf beiden seiten das gleiche raus kommt?
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Hallo nochmal,
> hallo,
>
> ich habe meine ableitung nun korregiert
korrigiert ...
> und in die Dgl.
> eingesetzt und bekomme folgende gleichung:
>
>
> [mm]\bruch{t^2-1}{2\wurzel{t^2-1}}- \bruch{(t^2-1)\wurzel{t-1}}{2\wurzel{(t+1)^3}}=\bruch{\wurzel{t-1}}{\wurzel{t+1}}[/mm]
>
> die gleichung stimmt.
Bis auf das fehlende C, oder war das zu [mm]C=1[/mm] berechnet? Das habe ich nicht alles verfolgt ...
> ich habe ein zahlen beispiel gemacht
> und bekomme auf beiden seiten das gleiche ergebnis. ich
> weiß nicht wie ich die gleichung weiter kürzen soll
>
> würde es als probe reichen wenn ich für t ein wert
> einsetze und zeige, dass ich auf beiden seiten das gleiche
> raus kommt?
Nein, du sollst mit der Probe doch nur nachrechnen, dass mit deiner gefundenen Lösungsfunktion [mm]x(t)[/mm] tatsächlich gilt:
[mm](t^2-1)\cdot{}x'(t)=x(t)[/mm]
Dazu rechne die linke Seite aus, fasse zusammen; es kommt dein gefundenes [mm]x(t)=C\cdot{}\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}[/mm] heraus ...
Gruß
schachuzipus
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[mm] x'+\bruch{x}{t}=\bruch{tan(t)}{t}
[/mm]
homogene Lösung:
[mm] x'+\bruch{x}{t}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}= -\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
ln|x|=-ln|t|+C
[mm] x(t)=\bruch{C}{t}
[/mm]
inhomogene Lösung:
[mm] x(t)=\bruch{C(t)}{t}
[/mm]
[mm] x'(t)=\bruch{C'(t)}{t}-\bruch{C(t)}{t^2}
[/mm]
in Dgl eingesetzt:
[mm] C'(t)=tant=\bruch{sint}{cost}
[/mm]
[mm] C(t)=ln|\bruch{1}{cost}|+C
[/mm]
[mm] x(t)=\bruch{ln|\bruch{1}{cost}|+C
}{t}
[/mm]
meine Lösung scheint wohl falsch zu sein, weil das AWP für meine Lösung nicht definiert ist. Wo ist der fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 13.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 1=(ln(1)+C)/\pi
[/mm]
daraus [mm] C=\pi [/mm] was ist nicht definiert?
statt ln(1/|cos(t|) besser -ln(|cos(t|)
dann ist daer Definitionsbereich klarer.
Gruß leduart
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