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| Aufgabe | Gegeben ist die Dgl [mm] y'=\wurzel{1-y^{2}}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass x=arcsin y+C die allgemeine Lösung der Dgl ist. Wie lässt dich de Gleichung nach y auflösen? Untersuchen Sie die LIPSCHITZ-Bedingung. Haben die Lösungskurven Hüllkurven? Fertigen Sie eine Skizze an. |
Hallo,
so ich weiß, dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}} [/mm] integriert arcsiny ist. Wenn ich jetzt einfach das integriere, dann habe:
[mm] y'=\bruch{dx}{dy}=\wurzel{1-y^{2}} [/mm]
--> [mm] dx=\wurzel{1-y^{2}}dy
[/mm]
--> [mm] \integral{dx}=\integral{\wurzel{1-y^{2}} dy}
[/mm]
--> x+C = arcsiny+C
Wie löse ich jetzt nach y auf ?
thx.
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Hallo, sicherlich stimmt, [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}} dy}=sin^{-1}(y)+C, [/mm] der Term [mm] \wurzel{1-y^{2}} [/mm] steht bei dir aber im Zähler, Steffi
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Hallo monstre,
> Gegeben ist die Dgl [mm]y'=\wurzel{1-y^{2}}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass x=arcsin y+C die allgemeine Lösung der
> Dgl ist. Wie lässt dich de Gleichung nach y auflösen?
> Untersuchen Sie die LIPSCHITZ-Bedingung. Haben die
> Lösungskurven Hüllkurven? Fertigen Sie eine Skizze an.
> Hallo,
>
> so ich weiß, dass [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}}[/mm] integriert
> arcsiny ist. Wenn ich jetzt einfach das integriere, dann
> habe:
>
> [mm]y'=\bruch{dx}{dy}=\wurzel{1-y^{2}}[/mm]
Hier hast du einen Dreher, es ist [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm]
Also [mm]\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \ dy \ = \ 1 \ dx[/mm]
>
> --> [mm]dx=\wurzel{1-y^{2}}dy[/mm]
>
> --> [mm]\integral{dx}=\integral{\wurzel{1-y^{2}} dy}[/mm]
>
> --> x+C = arcsiny+C
>
> Wie löse ich jetzt nach y auf ?
Nun, du hast es eigentlich richtig verbal gesagt, aber doof aufgeschrieben bzw. verdreht.
Und [mm]x+C=\arcsin(y)[/mm] löst du nach [mm]y[/mm] auf, indem du auf beide Seiten der Gleichung die Umkehrfunktion des [mm]\arcsin[/mm], also den [mm]\sin[/mm] loslässt:
[mm]\Rightarrow \sin(x+C) \ = \sin(\arcsin(y))=y[/mm]
>
>
> thx.
Gruß
schachuzipus
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Also hier nochmals alles korrekt aufgeschrieben:
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=\wurzel{1-y^{2}} [/mm] --> [mm] \integral{1dx}=\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}}dy} [/mm] --> x=arcsiny+C
Also auf der linken Seite kommt keine Konstante C dazu, richtig?
Und nun muss ich das mit der Umkehrfunktion arbeiten und nach y auflösen, richtig?
Letzteres wäre schön, wenn ich wusste was es sich mit der LIPSCHITZ-Bedingung auf sich hat. Ich habe mir den Existenz-und Eindeutigkeitssatz durchgelesen, aber nicht ganz verstanden. Also der Eindeutigkeitssatz muss wahrscheinlich die LIPSCHITZ-Bedingung sein. Es heißt:
Die Lösung ist eindeutig bestimmt, wenn sich eine positive Zahl M angeben lässt,
so dass | [mm] \phi (x_{0}, y_{0}+\Delta [/mm] y) - [mm] \phi (x_{0}, y_{0}) [/mm] | [mm] \le [/mm] M * [mm] |\Delta [/mm] y| ist.
Was muss ich bei meiner Aufgabe mit dem Satz machen?
Vielen Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also hier nochmals alles korrekt aufgeschrieben:
>
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}=\wurzel{1-y^{2}}[/mm] -->
> [mm]\integral{1dx}=\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}}dy}[/mm]
> --> x=arcsiny+C
>
> Also auf der linken Seite kommt keine Konstante C dazu,
> richtig?
Ja
>
> Und nun muss ich das mit der Umkehrfunktion arbeiten und
> nach y auflösen, richtig?
Ja
>
> Letzteres wäre schön, wenn ich wusste was es sich mit der
> LIPSCHITZ-Bedingung auf sich hat. Ich habe mir den
> Existenz-und Eindeutigkeitssatz durchgelesen, aber nicht
> ganz verstanden.
> Also der Eindeutigkeitssatz muss wahrscheinlich die LIPSCHITZ-Bedingung sein.
Was Du da schreibst ist unsinnig !
> Es heißt:
>
> Die Lösung ist eindeutig bestimmt, wenn sich eine positive
> Zahl M angeben lässt,
>
> so dass | [mm]\phi (x_{0}, y_{0}+\Delta[/mm] y) - [mm]\phi (x_{0}, y_{0})[/mm]
> | [mm]\le[/mm] M * [mm]|\Delta[/mm] y| ist.
>
> Was muss ich bei meiner Aufgabe mit dem Satz machen?
Bei Dir ist [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] \wurzel{1-y^2} [/mm] für |y| [mm] \le [/mm] 1
Zeige: [mm] $|\phi(x,y)-\phi(x,z)| \le [/mm] 2|y-z|$ für für |y| , |z| [mm] \le [/mm] 1
FRED
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> Vielen Danke für die Hilfe.
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