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Dgl - Systeme lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Fr 21.11.2014
Autor: Killercat

Aufgabe
[mm]x' = x^2+ysin(x)[/mm]
[mm]y' = -1+xy+cos (y)[/mm]
a) Zeigen sie, dass für alle [mm] (t_0 , x_0 , y_0) \in \mathbb{R}^3 [/mm] eine eindeutige maximale Lösung des Systems existiert
b)Finden sie die Lösungen, deren Orbiten die Koordinatenachsen treffen
c)Zeigen sie, dass die Orbiten die den ersten Quadranten treffen ganz in diesem enthalten sind


Hallo,

die Aufgabe, um die es geht steht oben. Dadrum geht es mir aber nicht wirklich. Die Frage die ich habe ist: wie löst man so ein System? Wir hatten das in der Vorlesung nicht wirklich, von daher bin ich damit noch etwas unvertraut.

Vielen dank
Liebe Grüße

        
Bezug
Dgl - Systeme lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Fr 21.11.2014
Autor: fred97


> [mm]x' = x^2+ysin(x)[/mm]
>  [mm]y' = -1+xy+cos (y)[/mm]
>  a) Zeigen sie, dass
> für alle [mm](t_0 , x_0 , y_0) \in \mathbb{R}^3[/mm] eine
> eindeutige maximale Lösung des Systems existiert

Was soll das bedeuten ? Wahrscheinlich folgendes:

Zeige, dass das Anfangswertproblem

[mm]x' = x^2+ysin(x)[/mm]

[mm]y' = -1+xy+cos (y)[/mm]

[mm] x(t_0)=x_0 [/mm] und [mm] y(t_0)=y_0 [/mm]

eine  eindeutige maximale Lösung hat.

Stimmts (oder so ähnlich) ?



>  b)Finden sie die Lösungen, deren Orbiten die
> Koordinatenachsen treffen
>  c)Zeigen sie, dass die Orbiten die den ersten Quadranten
> treffen ganz in diesem enthalten sind
>  
> Hallo,
>  
> die Aufgabe, um die es geht steht oben. Dadrum geht es mir
> aber nicht wirklich. Die Frage die ich habe ist: wie löst
> man so ein System? Wir hatten das in der Vorlesung nicht
> wirklich, von daher bin ich damit noch etwas unvertraut.

Du sollst das System nicht lösen ! Von Hand kann das ein schwieriges Unterfangen werden.

Zeigen sollst Du, dass obiges Anfangswertproblem lokal eindeutig lösbar ist.

Dafür hattet Ihr in der Vorlesung sicher einige Existenz- und Eindeutigkeitssätze (Picard-Lindelöf, ......)

FRED

>  
> Vielen dank
>  Liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Dgl - Systeme lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:12 Fr 21.11.2014
Autor: ac7d

Muss ich also Lipschitzstetigkeit prüfen?
Für so ein System ergeben sich aber nach ausschreiben der norm ziemlich schnell unangenehme Terme.
Was geht man da ran?

Bezug
                        
Bezug
Dgl - Systeme lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 So 23.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Dgl - Systeme lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:11 Fr 21.11.2014
Autor: Killercat

Die Aufgabe ist so tatsächlich 1:1 vom Blatt abgetippt. Ich denke aber mal, dass es das heißen soll.

Existenzsätze und Sätze über die Maximalität der Lösung haben wir gemacht (Picard Lindelöf, Peano, und einen Satz von 2 italienischen Mathematikern fallen mir da ganz spontan ein).

Zur Maximalität der Lösung, wenn ich lipschitzstetigkeit (zb) zeigen will, zeige ich die für das System oder für die einzelnen Gleichungen?

Ich nehme des weiteren mal an, dass die Lösungen, die ich in b) und c) suche dann erraten werden müssen, oder? Der Rest wäre dann ja wieder kein Problem - da haben wir Sätze für gemacht.

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Dgl - Systeme lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 23.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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