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| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ u & v \\ w & x } \in \IR [/mm] Sei [mm] (a-d)^2+4bc [/mm] > 0.
Zeige das A diagonalisierbar ist. |
Hi zusammen,
Ich komme hier nicht mehr weiter. Die Aufgabe sei nicht schwierig, aber ich hänge trotzdem fest. Nun ich weiss, dass A diagonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Libearfaktoren zerlegt werden kann. -> das stimmt so, oder? Jetzt kann ich aber einfach nichts anfangen mit der Zusatzinformation: Sei [mm] (a-d)^2+4bc [/mm] > 0
Das charakteristische Polynom wäre doch
[mm] t^2-(d+a)t+ad-cd..
[/mm]
Ich würde mich sehr über Tipps freuen!! Vielen Dank, Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
das charakteristische Polynom ist richtig ausgerechnet. Du kannst die Nullstellen bestimmen, indem Du die quadratische Gleichung löst. Wenn die Diskriminante [mm] \ne{0} [/mm] ist, gibt es zwei verschiedene Eigenwerte und dann ist die Matrix diagonalisierbar. An dieser Stelle kommt Deine Voraussetzung ins Spiel.
mfg ullim
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Vielen herzlichen Dank für den Tipp. Also ich verstehe jetzt die Zusatzbedingung =) Nun ich sehe auch, dass es dann 2 Eigenwerte gibt. Wie ist aber die Begründung für die Diagonalisierbarkeit?
Blick da noch nicht so durch.. Diagonalisierbarkeit heisst dch die Matrix wird durch die wahl einer geschickten Basis diagonal, nicht? Und dann reicht es, wenn ich 2 Eigenwerte finde..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn eine Matrix paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt ist sie diagonalisierbar. Das ist in diesem Beispiel bedingt durch die Zusatzbedingung der Fall.
mfg ullim
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Vielen herzlichen Dank!!! Seit Wochen haben wir dieses Thema und ich ahbe noch nie so klar die Zusammenhänge gesehen..
Nun gibt es noch einen Zusatz in der Aufgabe und zwar steht da was davon, dass eben obige Bedingung gegeben sein muss, damit A diagonalisierbar ist, oder A ist bereits diagonal.
Den 2. Teil versth ich jetzt nicht, denn wenn A diagonal ist, dann ist b,c=0 -> die Bedingung lautet [mm] (a-d)^2>0 [/mm] Und dies ist doch immer der Fall, da ja die Eigenwerte paarweise verschieden sein müssen, damit die Matrix diagonalisierbar ist.
Oder sind da einfach die Einheitsmatrizen und ihre Vielfachen gemeint? Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
die angegebene Bedingung ist erstmal nur hinreichend, weil aus ihr folgt, das die Eigenwerte verschieden sind und deshalb die Matrix diagonalisierbar ist.
Es gibt aber auch Matrizen die diagonalisierbar sind, und die Eigenwerte sind nicht alle verschieden.
Z.B. [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Im allgemeinen gilt, eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte mit der geometrischen Vielfachheiten übereinstimmen, oder anders ausgedrückt,
dim [mm] Eig(A,\lambda)=µ(P_F,\lambda) [/mm] für alle [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A wobei
dim [mm] Eig(A,\lambda)= [/mm] Dimension des Eigenraums von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] bedeutet und
[mm] µ(P_F,\lambda)= [/mm] Vielfachheit des Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] von A bedeutet
Auf Dein Beispiel angewendet bedeutet das,
ist [mm] (a-d)^2+4bc<0 [/mm] zerfällt das charakteristische Polynom über [mm] \IR [/mm] nicht in Linearfaktoren und ist somit nicht diagonalisierbar.
Ist [mm] (a-d)^2+4bc=0 [/mm] gibt es eine zweifache Nullstelle und somit muss es zu diesem Eigenwert zwei linear unabhängige Eigenvektoren geben, da nur so die Bedienung
dim [mm] Eig(A,\lambda)=µ(P_F,\lambda) [/mm] erfüllt ist.
Das ist aber bei einer 2x2 Matrix nur möglich, wenn A die Nullmatrix ist. Ansonsten ist
dim [mm] Eig(A,\lambda)=1
[/mm]
mfg ullim
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hi..
Also vielen Dank für die ausführliche Erklärung!! Das Argument warum die Matrix nicht diagonalisierbar ist, wenn [mm] (a-d)^2+4bc<0 [/mm] ist, leuchtet mir auch voll ein. Auch dass es eine doppelte Nullstelle geben muss bei [mm] (a-d)^2+4bc=0 [/mm] verstehe ich, aber dann komme ich nicht mehr mit.
Wir hätten also eine doppelte Nullstelle, was heisst es gibt 2 unabh. Eigenvektoren mit dem gleichen Eigenwert -> klar.
Abr ab dann die letzte Überlegung kann ich nicht nachvollziehen!
Wieso muss es die Nullmatrix sein? Oder meinst du, es kann entweder eine Nullmatix sein oder eben eine diagonale Matrix (sprich ein Vielfaches der Einheitsmatrix)? Das wäre für mich persönlich dann sehr plausibel.. =)
Vielen Dank für deinen Einsatz!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 25.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Auch dass es
> eine doppelte Nullstelle geben muss bei [mm] (a-d)^2+4bc=0
[/mm]
> verstehe ich, aber dann komme ich nicht mehr mit.
> Wir hätten also eine doppelte Nullstelle, was heisst es
> gibt 2 unabh. Eigenvektoren mit dem gleichen Eigenwert ->
> klar.
> Abr ab dann die letzte Überlegung kann ich nicht
> nachvollziehen!
> Wieso muss es die Nullmatrix sein? Oder meinst du, es kann
> entweder eine Nullmatrix sein oder eben eine diagonale
> Matrix (sprich ein Vielfaches der Einheitsmatrix)? Das wäre
> für mich persönlich dann sehr plausibel.. =)
> Vielen Dank für deinen Einsatz!!!!
Da war bei mir wohl ein Denkfehler. Es muss nicht A die Nullmatrix sein sondern
[mm] A-\lambda*I
[/mm]
Die doppelte Nullstelle berechnet sich zu
[mm] \lambda=\br{a+d}{2}
[/mm]
Daraus folgt
[mm] A-\lambda*I=\pmat{ \br{a-d}{2} & b \\ c & \br{d-a}{2} }
[/mm]
die Matrix ist aber nur dann die Nullmatrix wenn gilt
a=d und b=c=0.
Also hast Du mit Deinem Argument recht.
mfg ullim
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