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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Diagonalisierbar
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Diagonalisierbar: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 So 05.02.2012
Autor: Philphil

Aufgabe
Es sei für jedes t [mm] \in \IR [/mm] die Matrix:

[mm] \pmat{ 1 & t & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 } [/mm]

a) Zeigen sie, dass die Matrix für jedes t [mm] \in \IR [/mm] diagonalisierbar ist.
b) Geben sie die Diagonalmatrix [mm] D_t [/mm] an, welche Diagonalisierung von [mm] M_t [/mm] entsteht.

Hi,

wiedereinmal habe ich ein Problem.
Ich habe die definition von Diagonalisierbar angeschaut und herausgefunden, dass die determinante der jeweilligen Matrix [mm] \not= [/mm] 0 sein muss.

Wenn ich hierfür die Determinante bestimme, komme ich auf [mm] det(M_t)= [/mm] 1 - [mm] t^2 [/mm] . Das würde für t = [mm] \pm [/mm] 1 aber sehrwohl 0 geben. Wo liegt bei mir der Fehler?!



Gruß Phil

        
Bezug
Diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 So 05.02.2012
Autor: fred97


> Es sei für jedes t [mm]\in \IR[/mm] die Matrix:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & t & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 }[/mm]
>  
> a) Zeigen sie, dass die Matrix für jedes t [mm]\in \IR[/mm]
> diagonalisierbar ist.
>  b) Geben sie die Diagonalmatrix [mm]D_t[/mm] an, welche
> Diagonalisierung von [mm]M_t[/mm] entsteht.
>  Hi,
>  
> wiedereinmal habe ich ein Problem.
>  Ich habe die definition von Diagonalisierbar angeschaut
> und herausgefunden, dass die determinante der jeweilligen
> Matrix [mm]\not=[/mm] 0 sein muss.

Das stimmt aber überhaupt nicht ! Z.B. ist die Nullmatrix tadellos diagonalisierbar

Schau noch mal nach.

FRED

>  
> Wenn ich hierfür die Determinante bestimme, komme ich auf
> [mm]det(M_t)=[/mm] 1 - [mm]t^2[/mm] . Das würde für t = [mm]\pm[/mm] 1 aber sehrwohl
> 0 geben. Wo liegt bei mir der Fehler?!
>  
>
>
> Gruß Phil


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Bezug
Diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 So 05.02.2012
Autor: Philphil

ah da hab ich mal wieder schwachsinn gemacht :D
OK also Eigenwertberechnung...

[mm] \pmat{ 1-\lambda & t & 0 \\ t & 1-\lambda & 0 \\ 0 & t & 1 - \lamnbda } [/mm]
dann determinante berechnen: [mm] det(M_t) [/mm] = [mm] (1-\lambda)^3 [/mm] - [mm] t^2 \cdot (1-\lambda) [/mm] = [mm] (1-\lambda) ((1-\lambda)^2 [/mm] - [mm] t^2) [/mm]
Damit wäre der erste Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 und wie berechnet man den 2. ? der ist ja von t abhängig, aber da beides quadratzahlen sind gibts für jedes t ein [mm] \lambda [/mm] sodass es 0 ergibt. Wie zeigt man das formal?

Gruß Phil

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Diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 So 05.02.2012
Autor: fred97


> ah da hab ich mal wieder schwachsinn gemacht :D
> OK also Eigenwertberechnung...
>  
> [mm]\pmat{ 1-\lambda & t & 0 \\ t & 1-\lambda & 0 \\ 0 & t & 1 - \lamnbda }[/mm]
>  
> dann determinante berechnen: [mm]det(M_t)[/mm] = [mm](1-\lambda)^3[/mm] - [mm]t^2 \cdot (1-\lambda)[/mm]
> = [mm](1-\lambda) ((1-\lambda)^2[/mm] - [mm]t^2)[/mm]
> Damit wäre der erste Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 1 und wie
> berechnet man den 2. ? der ist ja von t abhängig, aber da
> beides quadratzahlen sind gibts für jedes t ein [mm]\lambda[/mm]
> sodass es 0 ergibt. Wie zeigt man das formal?


Bestimme die Lösungen der Gleichung

  [mm] (\lambda-1)^2-t^2=0 [/mm]

FRED

>  
> Gruß Phil


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Diagonalisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 So 05.02.2012
Autor: Philphil

AH ok klar. t wie ne zahlbehandeln dann kommt man auf [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] t dann jeweils auf geometrische vielfachheit = algebraische vielfachheit checken dann ist man fertig.
Nach dem diagonalisieren habe ich [mm] \pmat{ t-1 & 0 & 0 \\ 0 & t^2-1 & 0 \\ 0 & 0 & t-1} [/mm] raus. Sollte stimmen.

Vielen dank

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Diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 So 05.02.2012
Autor: Philphil

Ah ich hab zum diagonalisieren allgemein noch ne andere Frage. und zwar hab ich jetzt schon häufiger eine Aufgabenstellung gehabt wie z.B. : bestimmen sie eine invertierbare Matrix S so dass D diagonalgestalt besitzt: D = [mm] S^{-1}\cdot M\cdot [/mm] S.
Wie bestimmt man sowas? Gehen wir mal von irgend ner einfacheren Matrix in 2x2 aus  ( M = [mm] \pmat{-4 & 6 \\-3 & 5} [/mm]  ). Was ist da die herangehensweise?

Gruß Phil

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Diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 So 05.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Ah ich hab zum diagonalisieren allgemein noch ne andere
> Frage. und zwar hab ich jetzt schon häufiger eine
> Aufgabenstellung gehabt wie z.B. : bestimmen sie eine
> invertierbare Matrix S so dass D diagonalgestalt besitzt: D
> = [mm]S^{-1}\cdot M\cdot[/mm] S.
>  Wie bestimmt man sowas? Gehen wir mal von irgend ner
> einfacheren Matrix in 2x2 aus  ( M = [mm]\pmat{-4 & 6 \\ -3 & 5}[/mm]
>  ). Was ist da die herangehensweise?
>  

Hallo,

Eigenwerte und Basen der Eigenräume bestimmen.
Ist die Matrix diagonalisierbar (alg. =geometr. Vielfachheit), so ist S die Matrix, die die Basisvektoren der Eigenräume in den Spalten enthält.

LG Angela


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Diagonalisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 05.02.2012
Autor: Philphil

Ah okay vielen Dank.

Problem solved

Gruß Phil

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