Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix [mm]A \in \IC^{3,3}[/mm], von der folgendes bekannt sei:
[mm]A \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
2 & -6 & 6
\end{bmatrix}[/mm]
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $A$ und die dazugehörigen Eigenräume.
b) Begründen Sie, dass $A$ diagonalisierbar ist und geben Sie eine invertierbare Matrix [mm]S \in \IC^{3,3}[/mm]sowie eine Diagonalmatrix [mm]\in \IC^{3,3}[/mm] an, so dass gilt [mm]A = SDS^{-1}[/mm].
c) Berechnen Sie [mm] $\mathrm e^{A}$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir erscheint diese Aufgabe recht trivial. Somit vermute ich, dass auf eine korrekte Formulierung und Argumentation wert gelegt wird. In dieser Hinsicht beherrsche ich die Sprache der linearen Algebra noch nicht so genau und würde mich über Kritik und auf hingewiesene Fehler freuen.
zu $a)$
[mm]X =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & -3 & 1
\end{bmatrix}[/mm], [mm]X' =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
2 & -6 & 6
\end{bmatrix}[/mm]
EDIT: Fehler beim Lesen der Aufgabe. Matrizen wurden korrigiert. Somit gilt nicht mehr folgender Ausdruck:
[mm] 2X = X'[/mm]
Somit sind natürlich auch die Antworten falsch. Asche über mein Haupt. Ich werde die Aufgabe nochmal lösen. Nun begreife ich auch, warum mir das trivial schien.
[mm] I X = X[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm]2 I X = 2 X[/mm]
[mm]A =2 I = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/mm]
Die Eigenwerte lassen sich somit direkt ablesen und sind [mm] $\lambda_{1,2,3}=3$, [/mm] sowie der Eigenraum [mm]V_{$\lambda_{1},\lambda_{1},\lambda_{1}=\{\vec 0\} }[/mm]
(Hier bin ich mir unsicher: Ist der Kern der [mm] $\vec [/mm] 0$ oder die leere Menge? Die Dimension ist auf jedenfall 0)
zu $b)$
$A$ ist reell und symmetrisch, sowie selbsadjungiert und somit diagonalisierbar. Außerdem ist $A$ bereits eine Diagonalmatrix.
Somit ist eine mögliche Matrix [mm]D = A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/mm].
Damit die Gleichung [mm]A = S D S^{-1}[/mm] erfüllt ist, müssen für den Fall [mm]D=A[/mm], $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] gleich der Einheitsmatrix sein:
[mm]D = A = S D S^{-1}
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1& 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
zu $b)$
[mm]\mathrm e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}[/mm]
und
[mm]\mathrm e^A = S \mathrm e^D S^{-1}[/mm], wobei [mm]\mathrm e^D = \begin{bmatrix}
\mathrm e^{d_{11}}& 0 & 0 \\
0 & \mathrm e^{d_{22}} & 0 \\
0 & 0 & \mathrm e^{d_{33}}
\end{bmatrix}[/mm]
[mm]
\mathrm e^A = \begin{bmatrix}
\mathrm e^{2}& 0 & 0 \\
0 & \mathrm e^{2} & 0 \\
0 & 0 & \mathrm e^{2}
\end{bmatrix}
[/mm]
Für mich klingt das schlüssig so. Jetzt erwarte ich Euren Senf.
Gruß,
Rolfenlutz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Mo 03.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein X und X' sind nicht die Matrices der Aufgabe.
Hast du dich vertippt oder verrechnet? oder woher kommen X und X'
dein A aus der Aufgab ist nicht 2I
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für den Hinweis.
Es gab gleich 2 schwerwiegende Tippfehler. Das ändert die Beantwortung zu extrem. Ich werde sie nochmal komplett lösen.
Dennoch würde ich gerne erfahren, ob ich für den Fall [mm]A X = 2 X[/mm] korrekt argumentiert habe.
Gruß und entschuldigt meine Schusselei
|
|
|
| |
|
> Dennoch würde ich gerne erfahren, ob ich für den Fall [mm]A X = 2 X[/mm]
> korrekt argumentiert habe.
Hallo,
ich habe nicht erkennen können, mit welcher Begründung Du aus
2IX=2X
schließt, daß das gesuchte A in der Gleichung AX=2X zwingend die Matrix 2I ist.
Den Grund sollte man unbedingt angeben, denn es würde nicht für jede Matrix X klappen.
Beim Rest konnte man ja eigentlich nichts mehr falsch machen. Der ist richtig.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:18 Di 04.02.2014 | | Autor: | browny |
Die Eigenwerte stehen auf der Diagonalen, da es eine Untere Dreiecksmatrix ist.
EW =2 hat alg. VFH 2
EW =6 hat alg. VFH 1
Aber die Matrix ist doch nicht diagonalisierbar, weil beim EW 2 die alg. VFH 2 ist und die geometrische VFH=1. D.h. alg VFH != geom. VFH.
-->nicht diagonalisierbar!
Ist das richtig so?
|
|
|
| |
|
> Die Eigenwerte stehen auf der Diagonalen, da es eine Untere
> Dreiecksmatrix ist.
> EW =2 hat alg. VFH 2
> EW =6 hat alg. VFH 1
>
>
> Aber die Matrix ist doch nicht diagonalisierbar, weil beim
> EW 2 die alg. VFH 2 ist und die geometrische VFH=1. D.h.
> alg VFH != geom. VFH.
> -->nicht diagonalisierbar!
> Ist das richtig so?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Prinzipiell argumentierst Du richtig.
Aber mir scheint, Du sprichst über die Matrix [mm] \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
2 & -6 & 6
\end{bmatrix}[/mm] .
Man soll jedoch über die Diagonalisierbarkeit von A in
[mm]A \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
2 & -6 & 6
\end{bmatrix}[/mm]
nachdenken.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 04.02.2014 | | Autor: | browny |
Um die Matrix A zu bestimmen, hab ich jetzt einfach die Gleichung umgestellt.
Also statt A*X=B, hab ich A*X*X^-1 =B*X^-1
==> A=B*X^-1
Und somit bekommt man die gesucht Matrix A raus.
Meine erste Frage wäre: Geht das auch anders?
Also z.b.
[mm] \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
[/mm]
*
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
multiplizieren.
Da kommt das raus:
[mm] \begin{pmatrix}
a+2b+c & b-3c & c \\
d+2e+f & e-3f & f \\
g+2h+i & h-3i & i
\end{pmatrix}
[/mm]
Was setzt man dann aber für a,b,c etc. ein?
Diese "neue" Matrix A ist jetzt auch diagonalisierbar!
Gruß browny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:05 Di 04.02.2014 | | Autor: | BenneX |
So habe ich es aus gemacht.
Setzt doch einfach mal dein c,f,i von rechts nach links in die Gleichungen ein. Du hast ja in der Aufgabenstellung was c,f,i sind :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Di 04.02.2014 | | Autor: | browny |
danke für deine Hilfe. Jetzt hab ichs.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=1008440
FRED
|
|
|
|
