Diagonalisierbarkeit ? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Do 16.06.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Ist die folgende Matrix diagonalisierbar? Geben Sie jeweils die Eigenwerte mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten an.
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5 } [/mm] |
Moin zusammen, ich hänge ein wenig bei der Bestimmung des Eigenraums vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen, bzw. den Rest mal überfliegen, ob ich das so machen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus!
Für das charakteristische Polynom gilt:
[mm] P_A(t)=det\pmat{ 0-t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3-t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3-t & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5-t }=-t*det\pmat{ -3-t & 0 & 0 \\ 0 & 3-t & 1 \\ 0 & -1 & 5-t }=-t*(-3-t)*det\pmat{ 3-t & 1 \\ -1 & 5-t }
[/mm]
=-t*(-3-t)*((3-t)*(5-t)+1)
[mm] =-t*(-3-t)*(15-3t-5t+t^2+1)
[/mm]
[mm] =-t*(-3-t)*(t^2-8t+16)
[/mm]
[mm] =-t*(-3-t)*(t-4)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_1=0, \lambda_2=-3, \lambda_3=4
[/mm]
(wobei [mm] \lambda_3 [/mm] die algebraische Vielfachheit 2 hat, und [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] die algebraische Vielfachheit 1)
[mm] A-\lambda_1E=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5 }
[/mm]
[mm] E_{\lambda_1}=E_0=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\0}\} [/mm]
also geometrische Vielfachheit 1
[mm] A-\lambda_2E=\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 8 }
[/mm]
[mm] E_{\lambda_2}=E_{-3}=Lin\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\0}\} [/mm]
also geometrische Vielfachheit 1
[mm] A-\lambda_3E=\pmat{ -4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }
[/mm]
Nun zu meiner Frage: Was ist [mm] E_{\lambda_2}=E_{-3}??
[/mm]
Ich weiß dass gelten muss: [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0
Also: Habe ich folgendes LGS
I) [mm] -4x_1=0
[/mm]
II) [mm] -7x_2=0
[/mm]
[mm] III)-x_3+x_4=0
[/mm]
IV) [mm] -x_3+x_4=0
[/mm]
da III) und IV) lin abhängig sind ist z.B. [mm] x_4 [/mm] frei wählbar, also [mm] x_4=1. [/mm] Kann ich dann daraus folgern, dass [mm] E_{\lambda_3}=E_{4}=Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\1}\} [/mm] ist?
Also geometrische Vielfachheit 1 und da in diesem Fall geometrische Vielfachheit ungleich algebraischer Vielfachheit ist, ist A nicht diagonalisierbar.
Kann ich das so machen und auch so begründen?
LG Schobbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Do 16.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Es ist alle O.K. bis auf den Eigenraum [mm] E_4.
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] ist frei wählbar. Deine Gleichung III) besagt: [mm] x_3=x_4, [/mm] also ist
$ [mm] E_{4} \ne Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\1}\} [/mm] $
aber
$ [mm] E_{4} [/mm] = [mm] Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\1}\} [/mm] $.
Deine Argumente für "nicht diagonalisierbar" bleiben dennoch richtig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 16.06.2016 | | Autor: | Schobbi |
Vielen Dank, dann hab ich das jetzt verstanden 
Einen schönen Tag noch!
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