Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu und ich schon wieder...
ich hab mir nochmal zusammgeschrieben, wann eine Matrix diagonalisierbar ist.
Jetzt würd ich gerne nochmal wissen ob jemanden noch was zusätzlich einfällt bzw ich etwas wichtiges vergessen habe.
Zusammenhänge zur Diagonalisierbarkeit:
1) A [mm] \in m_n(\IR)ist [/mm] diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu Diagonalmatrix
2) Eine Matrix A [mm] \in M_n(\IR) [/mm] ist diagonalsisierbar, wenn eine Basis von V exisitiert so, dass [mm] Av_i [/mm] = [mm] d_iv_i [/mm] für gewisse [mm] d_i [/mm] in K.
deshalb ist es doch auch so, dass, wenn n unterschiedliche Eigenwerte existieren, die matrix diagonalsierbar ist, da für Eigenwerte ja gerade gilt: [mm] Av=\lambdav [/mm]
3)Eine Matrix [mm] A\in M_n(\IR) [/mm] ist diagonalisierbar, wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume n ist.
4)invertierbare , symmetrische Matrix [mm] A\in M_n(\IR) [/mm] ist zu Diagonalmatrix mit t einträgen 1 und n-t Einträgen -1 verwandt mit [mm] 0\let\len
[/mm]
Gibt es da sonst noch was??
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> 1) A [mm]\in m_n(\IR)ist[/mm] diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu
> Diagonalmatrix
> 2) Eine Matrix A [mm]\in M_n(\IR)[/mm] ist diagonalsisierbar, wenn
> eine Basis von V exisitiert so, dass [mm]Av_i[/mm] = [mm]d_iv_i[/mm] für
> gewisse [mm]d_i[/mm] in K.
>
> deshalb
weshalb?
> ist es doch auch so, dass, wenn n unterschiedliche
> Eigenwerte existieren, die matrix diagonalsierbar ist, da
> für Eigenwerte ja gerade gilt: [mm]Av=\lambdav[/mm]
>
> 3)Eine Matrix [mm]A\in M_n(\IR)[/mm] ist diagonalisierbar, wenn die
> Summe der Dimensionen der Eigenräume n ist.
> 4)invertierbare , symmetrische Matrix [mm]A\in M_n(\IR)[/mm] ist zu
> Diagonalmatrix mit t einträgen 1 und n-t Einträgen -1
> verwandt mit [mm]0\let\len[/mm]
>
> Gibt es da sonst noch was??
Zu dieser Verwandtheit kann ich nichts sagen, der Begriff ist mir nicht vertraut, aber wenn Ihr das hattet, wird's schon stimmen.
Du solltest noch etwas zu Diagonalisierbarkeit und dem charakteristischen Polynom sagen können.
Gruß v. Angela
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Also wenn eine Basis exisiteiren soll so, dass [mm] Av_i=d_iv_i
[/mm]
um A diagonalisieren zu können, dann exisitiert diese ja für n verschiedene Eigenwerte, nämlich die Eigenvektoren.
Oder sehe ich das falsch?
Wenn das charakteristische Polynom in n Linearfaktoren zerfällt?(ne das ist die Voraussetzungen für traingulierbarkeit und damit für die Jordannormalenform.)
Das mit der Verwandtheit steht bei uns im Script als Trägheitssatz von Sylvester..
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> Also wenn eine Basis exisiteiren soll so, dass [mm]Av_i=d_iv_i[/mm]
> um A diagonalisieren zu können, dann exisitiert diese ja
> für n verschiedene Eigenwerte, nämlich die Eigenvektoren.
> Oder sehe ich das falsch?
Hm. Vielleicht meinst Du das Richtige.
Du hattest eingangs ja sinngemäß und völlig richtig gesagt, daß eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Meine Frage ist nun: warum ist eine nxn-Matrix diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat?
> Wenn das charakteristische Polynom in n Linearfaktoren
> zerfällt?(ne das ist die Voraussetzungen für
> traingulierbarkeit und damit für die Jordannormalenform.)
Ja, das mit dem Zerfallen des charakteristischen Polynoms ist eine notwendige Voraussetzung.
Aber da gibt's noch was anderes: denk mal ans Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
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Der Begriff Minimalpolynom sagt mir nichts. kannst du mir kurz sagen was damit gemeint ist?(Denn ich habe die pürfung nicht bei dem prof der unser Script geschrieben hat)
Ja, das mit dem Zerfallen des charakteristischen Polynoms ist eine notwendige Voraussetzung.
=> Aber ich dachte das wäre eben gerade die Voraussetzung füpr triangulierbarkeit
=> achja wenn die matrix diagonalisierbar ist, dann ist die auch triangularisierbar ..damit muss das charakteristische polynom auch in linearfaktoren zerfallen.richtig??
Warum es n verschiedene Eigenvektoren sein müssen?? Weil die Eigenvektoren sonst linear abhängig sind und damit keine basis bilden, oder??
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> Der Begriff Minimalpolynom sagt mir nichts. kannst du mir
> kurz sagen was damit gemeint ist?(Denn ich habe die pürfung
> nicht bei dem prof der unser Script geschrieben hat)
Hallo,
FALLS Ihr das Minimalpolynom wirklich nicht hattet, brauchst Du Dich nicht damit zu belasten. (Vorstellen kann ich mir das kaum.)
Es ist das normierte Polynom kleinsten Grades [mm] \mu_A, [/mm] für welches [mm] \mu_A=Null [/mm] gilt.
Es teilt das charakteristische Polynom und hat sämtliche Nullstellen mit diesem gemeinsam, aber nicht unbedingt in derselben Vielfachheit.
Wenn das charakteristische Polynom zerfällt und nur einfache Nullstellen hat, ist die Matrix diagonalisierbar.
>
> Ja, das mit dem Zerfallen des charakteristischen Polynoms
> ist eine notwendige Voraussetzung.
>
> => Aber ich dachte das wäre eben gerade die Voraussetzung
> füpr triangulierbarkeit
Ja. Und die Diagonalisierbarkeit ist ja eine Eigenschaft, die über die Triangulierbarkeit hinausgeht. jede diagonalisierbare Matrix ist triangulierbar - eine Diagonalmatrix ist doch auch eine Dreiecksmatrix.
> => achja wenn die matrix diagonalisierbar ist, dann ist
> die auch triangularisierbar ..
Ach, da schreibst Du es ja selbst...
> damit muss das
> charakteristische polynom auch in linearfaktoren
> zerfallen.richtig??
Ja, das ist notwendig. Aber es reicht nicht, s.o. (Minimalpolynom)
>
>
> Warum es n verschiedene Eigenvektoren sein müssen??
Oh, oh! Es gibt durchaus diagonalisierbare Matrizen, welche nicht alles verschiedene Eigenwerte haben.
Wenn aber alle n Eigenwerte verschieden sind, kann die Matrix gar nicht anders als diagonalisierbar zu sein, weil die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind. Somit bilden sie sofort eine Basis.
Gruß v. Angela
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Danke erstmal,
Das heißt die Aussage hier wäre: n verschiedene eigenwerte => diagonalisierbar
aber : keine n vers.Eigenwerte [mm] \not=> [/mm] nicht diagonalisierbar, weil noch andere Kriterien eine Rolle spielen, richtgíg?
das heißt aber auch: keine Basis aus Eigenvektoren [mm] \not=> [/mm] nicht diagonalisierbar
Die Eigenvektoren bei n nicht unters. eigenwerten wären ja linear abhängig
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> Das heißt die Aussage hier wäre: n verschiedene eigenwerte
> => diagonalisierbar
Genau.
> aber : keine n vers.Eigenwerte [mm]\not=>[/mm] nicht
> diagonalisierbar, weil noch andere Kriterien eine Rolle
> spielen, richtgíg?
Ganz recht. Wenn nicht alle Eigenwerte verschieden sind, muß man das genauer prüfen. Z.B. die algebr. und geometrische Vielfachheit vergleichen.
>
> das heißt aber auch: keine Basis aus Eigenvektoren [mm]\not=>[/mm]
> nicht diagonalisierbar
Ja.
>
> Die Eigenvektoren bei n nicht unters. eigenwerten wären ja
> linear abhängig
Nicht unbedingt.
Nehmen wir mal einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A.
Du berechnest für die Eigenvektoren doch dann [mm] kern(A-\lambda [/mm] E).
Wenn die Dimension des kerns >1 ist, gibt es zu diesem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] linear unäbhängige Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
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