Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
hier die Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Okay. Und hier meine Überlegungen:
Habe in meinem Buch einen tollen Satz gefunden. Leider bin ich mir nicht sicher, ob ich mit dem in diesem Fall überhaupt arbeiten darf:
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert der Matrix gilt, dass dessen algebraische und geometrische Vielfachheit identisch ist.
In der Aufgabe soll ich die Paare (a, b) bestimmen, für die die Abbildung diagonalisierbar ist - nicht die Matrix. Ist dies wichtig? Habe mal angenommen, dass der Satz gilt. Hier also meine Rechnung:
(1) Berechnung den charakteristischen Polynoms
[mm] p_{A_{ab}} [/mm] = [mm] det(A_{ab} [/mm] - [mm] E_{4} [/mm] * x) = [mm] (x-a)^2(x^2-b^2)
[/mm]
Zerfällt also wunderbar in Linearfaktoren.
(2) Berechnung der Eigenwerte. Eigenwerte sind die Nullstellen von [mm] p_{A_{ab}}.
[/mm]
[mm] p_{A_{ab}} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] a = x oder (b = 0 und x = 0)
Stimmt das so weit?
(3) Bei der Bestimmung der Vielfachheiten finde ich in meinem Buch leider eine sehr komplizierte Beschreibung. Ich habe auch Zweifel, dass das Zeilführend ist.
Hilfe :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
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> hier die Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Okay. Und hier meine Überlegungen:
>
> Habe in meinem Buch einen tollen Satz gefunden. Leider bin
> ich mir nicht sicher, ob ich mit dem in diesem Fall
> überhaupt arbeiten darf:
>
> Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn ihr
> charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt und
> für jeden Eigenwert der Matrix gilt, dass dessen
> algebraische und geometrische Vielfachheit identisch ist.
>
> In der Aufgabe soll ich die Paare (a, b) bestimmen, für die
> die Abbildung diagonalisierbar ist - nicht die Matrix. Ist
> dies wichtig? Habe mal angenommen, dass der Satz gilt. Hier
> also meine Rechnung:
>
> (1) Berechnung den charakteristischen Polynoms
> [mm]p_{A_{ab}}[/mm] = [mm]det(A_{ab}[/mm] - [mm]E_{4}[/mm] * x) = [mm](x-a)^2(x^2-b^2)[/mm]
Hier bekomme ich [mm]\left(x-a\right)^{2}*\left(x^{2}\red{+}b^{2}\right)[/mm]
>
> Zerfällt also wunderbar in Linearfaktoren.
>
> (2) Berechnung der Eigenwerte. Eigenwerte sind die
> Nullstellen von [mm]p_{A_{ab}}.[/mm]
>
> [mm]p_{A_{ab}}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] a = x oder (b = 0 und x = 0)
Wieso hier b=0 oder x=0?
>
> Stimmt das so weit?
>
> (3) Bei der Bestimmung der Vielfachheiten finde ich in
> meinem Buch leider eine sehr komplizierte Beschreibung. Ich
> habe auch Zweifel, dass das Zeilführend ist.
Bestimme die Dimension des Kernes der Matrix A-x*I zu jedem Eigenwert.
>
> Hilfe :)
Gruß
MathePower
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Entschuldige. Tippfehler.
[mm] p_{A_{ab}} [/mm] = [mm] (x-a)^2(x^2+b^2)
[/mm]
"Wieso hier b=0 oder x=0? "
Meinst du wieso b = 0 und x = 0 eine Nullstelle sein soll? Na weil falls b und x beide 0 sind [mm] (x^2+b^2) [/mm] = (0+0) = 0 und damit ist alles 0. Oder? Nein - Mist.
Jetzt bin ich verwirrt.
Das mit der Bestimmung der Dimension werde ich versuchen. Danke dir.
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Hallo abi2007LK,
> Entschuldige. Tippfehler.
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> [mm]p_{A_{ab}}[/mm] = [mm](x-a)^2(x^2+b^2)[/mm]
>
> "Wieso hier b=0 oder x=0? "
>
> Meinst du wieso b = 0 und x = 0 eine Nullstelle sein soll?
> Na weil falls b und x beide 0 sind [mm](x^2+b^2)[/mm] = (0+0) = 0
> und damit ist alles 0. Oder? Nein - Mist.
Hier ist das jenige x gesucht für das [mm]x^{2}+b^{2}=0[/mm] ist.
[mm]x^{2}+b^{2}=0 \Rightarrow x= \pm b*i[/mm]
>
> Jetzt bin ich verwirrt.
>
> Das mit der Bestimmung der Dimension werde ich versuchen.
> Danke dir.
Gruß
MathePower
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[mm] x^2+b^2 [/mm] kann doch eigentlich nie 0 werden - nur falls x = b = 0 ist. Keiner der Beiden Summanden kann negativ werden, da diese in der zweiten Potenz vorhanden sind.
Oder bin ich jetzt total falsch?
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Hallo abi2007LK,
> [mm]x^2+b^2[/mm] kann doch eigentlich nie 0 werden - nur falls x = b
> = 0 ist. Keiner der Beiden Summanden kann negativ werden,
> da diese in der zweiten Potenz vorhanden sind.
>
> Oder bin ich jetzt total falsch?
[mm]x^{2}+b^{2}[/mm] hat zwar keine Nullstelle in [mm]\IR[/mm], dafür aber in [mm]\IC[/mm].
Wie willst Du dann feststellen, ob die Matrix diagonaliserbar ist?
Gruß
MathePower
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In der Aufgabe steht doch aber, dass der Endomorphismus in [mm] \IR^4 [/mm] ist... dann kann man doch nicht einfach nach [mm] \IC [/mm] springen. Oder?
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> In der Aufgabe steht doch aber, dass der Endomorphismus in
> [mm]\IR^4[/mm] ist... dann kann man doch nicht einfach nach [mm]\IC[/mm]
> springen. Oder?
Hallo,
ich wiederhole mal kurz, was ich beim Querlesen mitbekommen habe:
Du hast einen reellen Endomorphismus, deren charakteristisches Polynom ist [mm] p(x)=(a-x)^2(x^2+b^2), [/mm] und Du interessierst Dich dafür, unter welchen Bedingungen an a,b die darstellende Matrix diagonalisierbar ist.
Du hast schon richtig festgestellt, daß [mm] (b^2+x^2) [/mm] in [mm] \IR [/mm] keine Nullstelle hat. Also zerfällt das charakteristische Polynom für [mm] b\not=0 [/mm] über [mm] \IR [/mm] nicht in Linearfaktoren.
Wenn die Matrix also diagonalisierbar ist, dann nur für b=0.
Ob es weitere Einschränkungen gibt, mußt Du durch weiteres Rechnen herausfinden.
Hierzu solltest Du nun die Eigenräume berechnen.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
"Wenn die Matrix also diagonalisierbar ist, dann nur für b=0.
Ob es weitere Einschränkungen gibt, mußt Du durch weiteres Rechnen herausfinden.
Hierzu solltest Du nun die Eigenräume berechnen."
Also nur mit b = 0 existieren Eigenwerte. Einer wäre z.B [mm] c_1 [/mm] = 0, denn [mm] p(x=c_1) [/mm] = 0.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] c_1 [/mm] ist der Lösungsraum von [mm] Kern(A_{a,b}-c_1*E_4) [/mm] = [mm] Kern(A_{a,b}). [/mm] Richtig? Und wenn [mm] Kern(A_{a,b}) [/mm] die Dimension n = 4 hat, dann ist [mm] A_{a,b} [/mm] diagonalisierbar. Richtig?
Edit: Moment mal. [mm] A_{a,b} [/mm] hat ja eh den Rang 4 für alle a, b [mm] \in \IR. [/mm] jetzt bin ich durcheinander.
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Hallo abi2007LK,
> Hallo nochmal,
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> "Wenn die Matrix also diagonalisierbar ist, dann nur für
> b=0.
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> Ob es weitere Einschränkungen gibt, mußt Du durch weiteres
> Rechnen herausfinden.
>
> Hierzu solltest Du nun die Eigenräume berechnen."
>
> Also nur mit b = 0 existieren Eigenwerte. Einer wäre z.B
> [mm]c_1[/mm] = 0, denn [mm]p(x=c_1)[/mm] = 0.
>
> Die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]c_1[/mm] ist der Lösungsraum von
> [mm]Kern(A_{a,b}-c_1*E_4)[/mm] = [mm]Kern(A_{a,b}).[/mm] Richtig? Und wenn
> [mm]Kern(A_{a,b})[/mm] die Dimension n = 4 hat, dann ist [mm]A_{a,b}[/mm]
> diagonalisierbar. Richtig?
Das kann man so nicht sagen.
Da muß Du eine Fallunterscheidung hinsichtlich a machen.
Und dann die Eigenräume berechnen.
>
> Edit: Moment mal. [mm]A_{a,b}[/mm] hat ja eh den Rang 4 für alle a,
> b [mm]\in \IR.[/mm] jetzt bin ich durcheinander.
Gruß
MathePower
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Was genau kann ich denn so nicht sagen? Was stimmt denn von meinen Aussagen?
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Hallo abi2007LK,
> Was genau kann ich denn so nicht sagen? Was stimmt denn von
> meinen Aussagen?
>
>
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Nach der Fallunterscheidung hat der Eigenwert 0 die algebraische Vielfachheit 4, wenn a=0 ist.
Sonst ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 gleich 2.
Gruß
MathePower
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