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Hallo, ich habe einige Fragen zur Diagonalisierbarkeit:
1. Satz
Sei A symmetrisch oder hermitisch, dann gibt es eine orthogonales bzw. unitärer S [mm] \in [/mm] Mat(nxn) mit [mm] S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR
[/mm]
2. Satz
Sei K ein Körper, in dem [mm] 1+1\not=0 [/mm] ist und A [mm] \in [/mm] (nxn,K) eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine invertierbare Matrix S mit [mm] S^tAS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR. [/mm] Mit anderen Worten, A ist als Bilinearform diagonalisierbar.
So meine Fragen: Was ist der unterschied zwischen diesen beiden Sätzen, ich merk da irgendwie nicht viel??? Im Satz 1. ist doch die Matrix A auch eine Bilinearform oder nicht, sie ist doch auch symmetrisch? Deswegen versteh ich ganz den Unterschied zwischen diesen beiden Sätzen nicht.
3. Bemerkung
Wir haben jetzt zwei verschiedende Interpretationen von symmetrsichen Matrizen kennengelernt:
a) Darstellung von selbstadjungierten Endomorphismen, f:V [mm] \to [/mm] V
b) Darstellung von Skalarprodukten, s:VxV [mm] \to [/mm] K.
In beiden Fällen bedeutet Diagonalisieren etwas anderes.
zu a) Diagonalisieren als Endomorphismus [mm] S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) [/mm]
zu b) Diagonalisieren als Skalarprodukt [mm] S^tAS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) [/mm]
Einen Zusammenhang zwischen beiden Fällen geben uns orthogonale bzw. unitäre Matrizen, da dort [mm] S^{-1}=\overline{S}^t [/mm] gilt.
So kann mir vielleicht auch jemand erklären, was hier der Unterschied ist, zwischen Diagonalisieren als Endomo. und Skalarprodukt, das habe ich auch noch nicht verstanden.
Was ist der Unterschied zwischen [mm] S^{-1}AS [/mm] und S^tAS.
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 So 27.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
also man kann einmal Matrizen bzgl. linearen Abbildungen auffassen und einmal als Matrix einer Bilinearform.
Wie man die Matrix einer lineare Abb. erhält ist klar, oder?
Wenn du einen $K-$Vektorraum $V$ hast mit Basis [mm] $B=(v_1,...,v_n)$ [/mm] und eine Bilinearform [mm] $\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>:V\times V\to [/mm] K$, dann ist die Matrix gegeben durch
[mm] $M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B)=\left( \left\right)_{i,j=1,...,n}$
[/mm]
D.h. wenn du eine Matrix hast kann diese eine lineare Abbildung bzgl. einer bestimmten Basis beschreiben oder eben eine Bilinearform bzgl. einer bestimmten Basis.
Um auf deine Frage zurück zu kommen:
Hat man eine Basiswechselmatrix $S$ zu einer neuen Basis B', so gilt
1.) für die linare Abbildung
[mm] $M(T,B')=S^{-1}M(T,B)S$ [/mm] (wobei $T$ die durch $A$ beschr. lin. Abb. ist)
2.) für eine Bilinearform
[mm] $M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B')=S^t M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B)S$
[/mm]
Dies gilt für alle Matrizen bzgl. lin. Abbildung bzw. Bilinearformen, also auch für solche die du diagonalisieren willst. So erklärt sich der Unterschied von den beiden Sätzen.
Aus dem obigen folgt auch schon die Antwort für deine zweite Frage: Wenn eine Matrix [mm] $S^{-1}=S^t$ [/mm] erfüllt - ist es eben egal ob du "so oder so" rechnest 
Gruß Framl
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Hi, danke erstmal für deine Antwort. aber so ganz habe ich die geschichte leider noch nicht so verstanden.
genau diese Stelle versteh ich noch nicht so:
> 1.) für die linare Abbildung [mm] M(T,B')=S^{-1}M(T,B)S [/mm] $ (wobei T die durch A beschr. lin. Abb. ist)
> 2.) für eine Bilinearform [mm] M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B')=S^t M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B)S [/mm]
Der erste Teil ist klar, wie diese Matrizen bzgl. eine L.A oder ein BLF zustanden kommen. Aber dieser Teil ist etwas komisch, deswegen versteh ich wahrscheinlich auch den unterschied der Sätze nicht. liegt der Unterschied nur in diesem [mm] S^{-1} [/mm] und [mm] S^t??? [/mm] Und was bewirken diese [mm] S^{-1} [/mm] und [mm] S^t [/mm] als Unterschied???
Und die andere Sache. Ist es dann so, dass man bei der BLF beide Varianten benutzen kann, wobei bei der L.A nur die eine einzige gilt?
Gruß
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> Hi, danke erstmal für deine Antwort. aber so ganz habe ich
> die geschichte leider noch nicht so verstanden.
>
> genau diese Stelle versteh ich noch nicht so:
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> > 1.) für die linare Abbildung [mm]M(T,B')=S^{-1}M(T,B)S[/mm] $ (wobei
> T die durch A beschr. lin. Abb. ist)
>
> > 2.) für eine Bilinearform [mm]M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B')=S^t M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B)S[/mm]
>
> Der erste Teil ist klar, wie diese Matrizen bzgl. eine L.A
> oder ein BLF zustanden kommen. Aber dieser Teil ist etwas
> komisch, deswegen versteh ich wahrscheinlich auch den
> unterschied der Sätze nicht. liegt der Unterschied nur in
> diesem [mm]S^{-1}[/mm] und [mm]S^t???[/mm] Und was bewirken diese [mm]S^{-1}[/mm] und
> [mm]S^t[/mm] als Unterschied???
Hallo,
[mm] S^{t} [/mm] und [mm] S^{-1} [/mm] sind nur gleich, wenn Du es mit orthogonale Matrizen zu tun hast, davon kannst Du Dich selbst experimentierend - also rechnend - überzeugen.
Von " liegt der Unterschied nur " kann also nicht die Rede sein, es sei denn, Du beziehst Dich auf die Menge dessen, wa man sich merken muß. Das ist dann wirklich nur der kleine Unterschied.
> Und die andere Sache. Ist es dann so, dass man bei der BLF
> beide Varianten benutzen kann, wobei bei der L.A nur die
> eine einzige gilt?
Nein. I.d.R. ist ein großerUnterschied zwischen [mm] S^{t} [/mm] und [mm] S^{-1}, [/mm] und Du kannst das nicht nach deinem Gusto machen.
Kannst ja mal ein paar Beispiele durchrechnen, da siehst Du, daß das nicht gleich ist.
Wenn Du eine symmetrische Matrix hast, ist diese orthogonal diagonalisierbar. Du kannst (!) hier also eine orthogonale Matrix S finden mit [mm] S^{-1}AS= [/mm] Diagonalmatrix, und natürlich ist das hier dann [mm] =S^{t}AS. [/mm] Aber nur, wenn S orthogonal ist!
Gruß v. Angela
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HI.
aber das Problem bei mir ist:
1. Satz
Sei A symmetrisch oder hermitisch, dann gibt es eine orthogonales bzw. unitärer S $ [mm] \in [/mm] $ Mat(nxn) mit $ [mm] S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR [/mm] $
2. Satz
Sei K ein Körper, in dem $ [mm] 1+1\not=0 [/mm] $ ist und A $ [mm] \in [/mm] $ (nxn,K) eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine invertierbare Matrix S mit $ [mm] S^tAS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR. [/mm] $ Mit anderen Worten, A ist als Bilinearform diagonalisierbar.
So, bei dem ersten Satz, reden die ja von symmetrisch und hermitisch und bei dem zweiten Satz nur von einer symmetrischen Matrix. Macht das schon mal einen Unterschied???
Außerdem sagen die beim zweiten Satz, dann gibt es eine invertierbare Matrix S, aber schreiben tun die S^tAS.
Könnte man beim ersten Satz, also auch sowas machen:
[mm] S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \gdw S^{t}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n)
[/mm]
und beim zweiten Satz gilt genau diese Äquivalenz nicht???
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> HI.
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> aber das Problem bei mir ist:
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> 1. Satz
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> Sei A symmetrisch oder hermitisch, dann gibt es eine
> orthogonales bzw. unitärer S [mm]\in[/mm] Mat(nxn) mit
> [mm]S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR[/mm]
>
>
> 2. Satz
>
> Sei K ein Körper, in dem [mm]1+1\not=0[/mm] ist und A [mm]\in[/mm] (nxn,K)
> eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine invertierbare
> Matrix S mit [mm]S^tAS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \lambda \in \IR.[/mm]
> Mit anderen Worten, A ist als Bilinearform
> diagonalisierbar.
>
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> So, bei dem ersten Satz, reden die ja von symmetrisch und
> hermitisch
Hallo,
hermitesch.
> und bei dem zweiten Satz nur von einer
> symmetrischen Matrix. Macht das schon mal einen
> Unterschied???
Deine erster Satz spricht über Matrizen über [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC, [/mm] der zweite über Matrizen über einem Körper K. Hier wäre der Ausruck hermitesch ja fehl am Platze.
Wenn Du hier aber [mm] K=\IC [/mm] nimmst und hermitesche Matrizen betrachtest, so gilt: es gibt eine invertierbare Matrix T mit [mm] \overline{T^{t}}AT=Diagonalmatrix.
[/mm]
>
> Außerdem sagen die beim zweiten Satz, dann gibt es eine
> invertierbare Matrix S, aber schreiben tun die S^tAS.
Ja und? Man kann doch invertierbare Matrizen transponieren. Warum sollte das nicht gehen?
>
> Könnte man beim ersten Satz, also auch sowas machen:
>
> [mm]S^{-1}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n) \gdw S^{t}AS=diag(\lambda_1,....\lambda_n)[/mm]
Für "symmetrisch" ja - wenn S ausdrücklich orthogonal ist.
Bei "hermitesch" hat man es an dieser Stelle mit [mm] \overline{S^{t}} [/mm] zu tun - wenn S ausdrücklich unitär ist.
Ich würde mir den ersten Satz unbedingt mit "hoch minus 1" merken und das Augenmerk darauf legen, daß man hier sogar eine orthogonale Matrix findet, die das tut - bei anderen diagoonalisierbaren Matrizen ist das ja nicht unbedingt der Fall.
> und beim zweiten Satz gilt genau diese Äquivalenz nicht???
Es ist - egal in welchem Satz - [mm] S^{t}=S^{-1} [/mm] nur, wenn S eine orthogonale Matrix ist, und davon ist im zweiten Satz mit keinem Wörtchen die Rede.
Gruß v. Angela
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ja ok danke erstmal, langsam wirds etwas heller im köpfchen .
Dann nochmal kurz drei andere Fragen:
1) Es gilt |Det(A)|=1 doch nur bei orthogonalen Matrizen und nicht bei unitären oder?
2) Aus A ist symmetrisch folgt noch nicht, dass A ein Skalarprodukt ist oder? Weil ja immerhin die anderen beiden Kriterien nicht umbedingt gelten müssen, oder?
3) es ist doch richtig, dass wenn f und adjungiert sind, daraus nicht folgt, dass z.B. f selbstadjungiert ist oder?
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> 1) Es gilt |Det(A)|=1 doch nur bei orthogonalen Matrizen
> und nicht bei unitären oder?
Hallo,
sicher kannst Du sein, wenn Du ein Beispiel für eine unitäte Matrix findest, bei welcher der Betrag der Determinante nicht =1 ist.
Bedenke [mm] \overline{U^{t}}U=E
[/mm]
> 2) Aus A ist symmetrisch folgt noch nicht, dass A ein
> Skalarprodukt ist oder?
A ist kein Skalarprodukt, sondern eine Matrix.
Aber ich weiß schon, was Du meinst, die Antwort hierauf: ja.
> Weil ja immerhin die anderen beiden
> Kriterien nicht umbedingt gelten müssen, oder?
Welche beiden?
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> 3) es ist doch richtig, dass wenn f und adjungiert sind,
> daraus nicht folgt, dass z.B. f selbstadjungiert ist oder?
???
Gruß v. Angela
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Bei 2) meine ich. Es muss doch gelten: bilinear/ squiliniear, symmetrisch/ hermitisch und positiv definitheit. und hier haben wir ja nur symmetrisch, damit müssen aber die anderen beiden eigenschaften nicht umbedingt gelten, also bilinear und positiv definitheit. das folgt ja nicht aus der symmetrie.
3) das soll so gemeint sein:
f und g sind genau dann adjungiert, wenn gilt:
<f(v),w>=<v,g(w)> aber hieraus folgt doch nicht, dass f selbstadjungiert ist, also, dass folgendes gilt: <f(v),w>=<v,f(w)> ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 27.07.2008 | | Autor: | Framl |
zu 3)
wenn $g$ die adjungierte Abbildung zu $f$ ist, folgt noch nicht, dass $f$ selbstadjungiert ist. Das gilt ja nur dann wenn $g=f $ ist.
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 27.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok danke.
gruß
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> Bei 2) meine ich. Es muss doch gelten: bilinear/
> squiliniear, symmetrisch/ hermitisch und positiv
> definitheit. und hier haben wir ja nur symmetrisch, damit
> müssen aber die anderen beiden eigenschaften nicht
> umbedingt gelten, also bilinear und positiv definitheit.
> das folgt ja nicht aus der symmetrie.
Hallo,
wenn die Matrix A symmetrisch und positiv definit ist, so ist die durch [mm] \sigma(x,y):=x^{t}Ay [/mm] definierte Abbildung ein Skalarprodukt, (hermitesch entsprechend).
Bilinearität ist eine Eigenschaft der Abbildung, nicht der Matrix.
Gruß v. Angela
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Hallo, ich muss nochmal kurz was zu Diagonalisierbarkeit fragen.
Wie sieht es auch mit Diagonalisierbartkeit bei Matrizen, die Drehungen und Spiegelungen darstellen??
Wir haben im Skript ein Bsp. einer Spiegelung, die Diagonalisierbar ist und ein Bsp. einer Drehung, welches nicht Diagonalisierbar ist. Kann man das jetzt irgendwie verallgemeinern oder sind das echt nur so zwei Beispiele?
Also ich meine, wäre so eine Aussage immer wahr:
Eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt, ist immer diagonalisierbar.
Eine Matrix, die eine Drehung darstellt, ist nicht diagonalisierbar.
Wäre die Aussage immer wahr hier zutreffend oder nicht???
Und dann nochmal eine andere Frage zu homogenen Polynomen. Hat ein Polynom und das dazu gehörige homogene Polynom die selben Nullstellen?? Kann mir das vielleicht jemand sagen??
Gruß
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> Hallo, ich muss nochmal kurz was zu Diagonalisierbarkeit
> fragen.
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> Wie sieht es auch mit Diagonalisierbartkeit bei Matrizen,
> die Drehungen und Spiegelungen darstellen??
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> Wir haben im Skript ein Bsp. einer Spiegelung, die
> Diagonalisierbar ist und ein Bsp. einer Drehung, welches
> nicht Diagonalisierbar ist. Kann man das jetzt irgendwie
> verallgemeinern oder sind das echt nur so zwei Beispiele?
>
> Also ich meine, wäre so eine Aussage immer wahr:
>
> Eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt, ist immer
> diagonalisierbar.
>
> Eine Matrix, die eine Drehung darstellt, ist nicht
> diagonalisierbar.
>
> Wäre die Aussage immer wahr hier zutreffend oder nicht???
Hallo,
irgendwie habe ich das Gefühl, daß Du Fragenkataloge auswendig lernen willst.
Wichtig ist das Verständnis der Diagonalisierbarkeit.
Eine Matrix in [mm] \IR^n [/mm] ist diagonaliesierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat. (Warum?)
Gehen wir der Übersichtlichkeit halber in den [mm] \IR². [/mm]
Stell Dir eine Spiegelung an einer beliebigen gerade durch den Ursprung vor.
Wo sind ihre Eigenvektoren? Welche Eigenwerte?
Nun eine Drehung um den Ursprung um 47,11°. Eigenvektoren? Eigenwerte?
Drehung um den Ursprung um 180°. Eigenvektoren? Eigenwerte?
Jetzt in den [mm] \IR³.
[/mm]
Drehung um 47,11° um eine beliebige Achse, die durch den Koordinatenursprung geht. Eigenvektoren? Eigenwerte?
Wenn Du diese fragen nicht beantworten kannst, weißt Du nicht, was ein Eigenvektor ist.
Das mußt Du dann zuerst klären.
Was ist ein Eigenvektor? (In Worten, so, daß es der, der an der Ampel neben einem steht, verstehen kann.)
Wenn Du Dir diese frage beantworten kannst, sollten Dir die fragen von oben kein Problem mehr machen.
> Und dann nochmal eine andere Frage zu homogenen Polynomen.
> Hat ein Polynom und das dazu gehörige homogene Polynom die
> selben Nullstellen?? Kann mir das vielleicht jemand
> sagen??
Dies ist doch eine Frage aus einem völlig anderen Bereich, oder? Poste die bitte in einer eigenen Diskussion.
Abgesehen davon weiß ich nicht, was das "dazugehörige homogene Polynom" ist - aber das ist wirklich nicht Dein Problem.
Gruß v. Angela
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hi nochmal
> Eine Matrix in $ [mm] \IR^n [/mm] $ ist diagonaliesierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat. (Warum?)
Ja gut, das liegt daran, wenn es n l.u. EV hat, hat es auch n verschiedene EW und somit diagonalisierbar.
> Gehen wir der Übersichtlichkeit halber in den $ [mm] \IR². [/mm] $
> Stell Dir eine Spiegelung an einer beliebigen gerade durch den Ursprung vor.
> Wo sind ihre Eigenvektoren? Welche Eigenwerte?
Ist hier der EW nicht auch Betrag 1 und die EV sind die Spiegelgerade?
> Nun eine Drehung um den Ursprung um 47,11°. Eigenvektoren? Eigenwerte?
> Drehung um den Ursprung um 180°. Eigenvektoren? Eigenwerte?
Hier ebenso?
> Jetzt in den $ [mm] \IR³. [/mm] $
> Drehung um 47,11° um eine beliebige Achse, die durch den Koordinatenursprung geht. Eigenvektoren? Eigenwerte?
Hier müsste doch auch wieder betrag von EW = 1 und die EV müssten wieder die beliebige Achse sein, die zum Drehen genutzt wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 29.07.2008 | | Autor: | Framl |
> Ja gut, das liegt daran, wenn es n l.u. EV hat, hat es auch n verschiedene > EW und somit diagonalisierbar.
nicht unbedingt - die Einheitsmatrix ist auch diagonalisierbar, hat aber nur den Eigenwert 1 - und alle Vektoren des [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] sind Eigenvektoren. Also bildet jede Basis des [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren.
> Ist hier der EW nicht auch Betrag 1 und die EV sind die Spiegelgerade?
Welche Spiegelgerade? Es geht um eine Spiegelung am Urpunkt!
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Hi,
deine Frage versteh ich nicht so. Ja, damit war die Spiegelung an der Ursprungsgeraden gemeint, also y=x.
waren die anderen sachen so richtig erklärt? abgesehen von dem, was ich oben geschrieben hatte mit den n-EW.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Di 29.07.2008 | | Autor: | Framl |
> Hi,
>
> deine Frage versteh ich nicht so. Ja, damit war die
> Spiegelung an der Ursprungsgeraden gemeint, also y=x.
>
> waren die anderen sachen so richtig erklärt? abgesehen von
> dem, was ich oben geschrieben hatte mit den n-EW.
>
> Gruß
Es ging, denke ich, darum eine Gerade am Urpunkt zu spiegeln...
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> Stell Dir eine Spiegelung an einer beliebigen gerade durch den Ursprung vor. Wo sind ihre Eigenvektoren? Welche Eigenwerte?
Deswegen dachte ich, das halt die Ursprungsgerade selber der EV ist und der EW ist 1, oder nicht?
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> > Stell Dir eine Spiegelung an einer beliebigen gerade durch
>> den Ursprung vor. Wo sind ihre Eigenvektoren? Welche
>> Eigenwerte?
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> Deswegen dachte ich, das halt die Ursprungsgerade selber
> der EV ist und der EW ist 1, oder nicht?
Hallo,
naja, eine Gerade kann kein Eigenvektor sein, aber die Sache hat einen wahren Kern:
ein Eigenvektor dieser Spiegelung zeigt in Richtung der Spiegelgeraden, denn die Vektoren in Richtung dieser Geraden werden durch die Spiegelung auf sich selbst abgebildet, also ist der Eigenwert zu diesen Eigenvektoren =1.
Aber es gibt noch eine andere Richtung, in welcher jeder Vektor auf ein vielfaches von sich selbst abgebildet wird. Die ist?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 27.07.2008 | | Autor: | Framl |
Vll. machst du dir (durch Rechnung) mal klar, dass für eine Basis $B$ gilt
[mm] $\left=\Phi(x)^t M(\left<\:\cdot \:|\:\cdot\:\right>,B)\Phi(w)$
[/mm]
wobei [mm] $\Phi [/mm] : [mm] V\to \mathbb{K}^n$ [/mm] der Basisisomorphismus ist.
Ein weiterer wichtiger Punkt wäre auch die Determinante einer Matrix bzgl. der Bilinearform:
Wenn [mm] $A=S^t [/mm] B S $ gilt dann ist [mm] $\det(A)=\det(S)^2\cdot \det(B)$, [/mm] d.h. die Determinante einer Matrix bzgl. Bilinearform hängt von der Basis ab - Determinanten machen hier also keinen Sinn. Bei lin. Abbildungen heben sich [mm] $\det(S),\det(S^{-1})$ [/mm] gerade auf.
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