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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ -1 & 3 \\ 1 & 1 } [/mm] , [mm] B=\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Sind diese Matrizen diagonalisierbar über [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR [/mm] ? |
Ich habe als Eigenwerte folgendes Raus:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 für A
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 2 für B, also doppelter Eigenwert.
Im Fall A bekomme ich zwei Eigenvektoren: [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ -1}
[/mm]
Erhalte also zu zwei Eigenwerten zwei Eigenvektoren, also ist A diagonalisierbar über [mm] \IR.
[/mm]
Wie sieht es aus mit [mm] \IC [/mm] ?
Für matrix B erhalte ich nur einen Eigenvektor: [mm] \vektor{1\\-1}
[/mm]
Also nicht diagonalisierbar über [mm] \IR.
[/mm]
Doch was ist mit [mm] \IC [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 13.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]A=\pmat{ -1 & 3 \\ 1 & 1 }[/mm] , [mm]B=\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> Sind diese Matrizen diagonalisierbar über [mm]\IC[/mm] oder [mm]\IR[/mm] ?
> Ich habe als Eigenwerte folgendes Raus:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2 und [mm]\lambda_2[/mm] = -2 für A
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2 für B, also doppelter Eigenwert.
>
> Im Fall A bekomme ich zwei Eigenvektoren: [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{3 \\ -1}[/mm]
> Erhalte also zu zwei Eigenwerten
> zwei Eigenvektoren, also ist A diagonalisierbar über [mm]\IR.[/mm]
Richtig.
> Wie sieht es aus mit [mm]\IC[/mm] ?
Wenn es über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar ist, dann doch erst recht über [mm] \IC.
[/mm]
> Für matrix B erhalte ich nur einen Eigenvektor:
> [mm]\vektor{1\\-1}[/mm]
> Also nicht diagonalisierbar über [mm]\IR.[/mm]
Korrekt.
> Doch was ist mit [mm]\IC[/mm]?
Nun, kann es eine [mm] $\IC$-Basis [/mm] aus Eigenvektoren geben?
Der einzige Fall, dass eine Matrix über [mm] $\IC$ [/mm] diagonalisierbar ist, aber nicht über [mm] $\IR$, [/mm] ist wenn es komplexe Eigenwerte gibt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Entschuldigt diese Frage..
> Wenn es über [mm]\IR[/mm] diagonalisierbar ist, dann doch erst
> recht über [mm]\IC.[/mm]
Wieso?
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Hallo,
> Entschuldigt diese Frage..
>
> > Wenn es über [mm]\IR[/mm] diagonalisierbar ist, dann doch erst
> > recht über [mm]\IC.[/mm]
>
> Wieso?
Naja, wenn die Martix $A$ reell diagonalisierbar ist, gibt es eine Transformationsmatrix $T$ mit reellen Einträgen, die dir $A$ in eine Diagonalmatrix $D$ überführt.
Und reelle Einträge sind doch insbesondere komplex, du kannst doch [mm] $x\in\IR$ [/mm] schreiben als [mm] $x+0\cdot{}i=:z\in\IC$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ja natürlich..
Vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 15.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Gib im Falle von Diagonalisierbarkeit für [mm] M\in\{A,B\} [/mm] eine Diagonalmatrix $D$ und eine Matrix $T$ an, so dass $D= [mm] T^{-1} [/mm] M T$
Nur $D$ und $T$ sind verlangt! |
Ich verstehe nicht wie ich an D komme ohne [mm] T^{-1} [/mm] ?
$T$ ist ja die Basis aus Eigenvektoren...
[mm] M\in\{A,B\} [/mm] bedeutet doch, dass ich es einmal für $A$ und einmal für $B$ machen soll, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 15.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du gezeigt hast, dass es fuer B nicht geht nur fuer A. da steht doch "im Falle"!
wie du die diagonalm. findest ist egal, T ^{-1} ist doch ok. wer sagt, du sollst das nicht benutzen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 15.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ich verstehe.. Habe die Aufgabenstellung wohl nicht richtig interpretiert.
Danke.
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