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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mi 26.05.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Matrix
A = [mm] \pmat{ 0 & i & 0\\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \in \IC^{3x3}
[/mm]
auf Diagonalisierbarkeit, und geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix S an, für die A = [mm] SDS^{-1} [/mm] gilt. |
1. Eigenwerte bestimmen
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}= [/mm] 1, [mm] \lambda_{3}= [/mm] -1
2. Eigenvektoren bestimmen:
für [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}= [/mm] 1
ist Eigenvektor [mm] \lambda\vektor{i \\ 1\\ 0} [/mm] + [mm] \mu\vektor{0 \\ 0\\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda_{3}= [/mm] -1
ist Eigenvektor [mm] \lambda\vektor{i \\ 1\\ 0}
[/mm]
3. Jetzt muss ich eine Matrix S entwickeln mit den Eigenvektoren von meinen Eigenwerten:
Wie geht das ? Schreibe ich einfach die Eigenvektoren samt den [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] rein?
lg
Stevie
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Hallo StevieG,
> Untersuchen Sie die Matrix
>
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> A = [mm]\pmat{ 0 & i & 0\\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \in \IC^{3x3}[/mm]
>
>
> auf Diagonalisierbarkeit, und geben Sie eine Diagonalmatrix
> D und eine invertierbare Matrix S an, für die A = [mm]SDS^{-1}[/mm]
> gilt.
> 1. Eigenwerte bestimmen
>
> Die Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=[/mm] 1,
> [mm]\lambda_{3}=[/mm] -1
>
> 2. Eigenvektoren bestimmen:
>
> für [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=[/mm] 1
>
> ist Eigenvektor [mm]\lambda\vektor{i \\ 1\\ 0}[/mm] + [mm]\mu\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm]
>
> für [mm]\lambda_{3}=[/mm] -1
>
> ist Eigenvektor [mm]\lambda\vektor{i \\ 1\\ 0}[/mm]
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>
> 3. Jetzt muss ich eine Matrix S entwickeln mit den
> Eigenvektoren von meinen Eigenwerten:
>
> Wie geht das ? Schreibe ich einfach die Eigenvektoren samt
> den [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] rein?
>
In die Matrix schreibts Du nur ie Vektoren [mm]\pmat{ ... \\ ... \\ ...}[/mm] hinein.
Also ohne [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm].
>
> lg
> Stevie
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 26.05.2010 | | Autor: | StevieG |
[mm] \pmat{ i & i & i \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0}
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen weil die Determinante 0 ist dh ich kann die Matrix nicht invertieren....
?
Lg
Stevie
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Hallo StevieG,
> [mm]\pmat{ i & i & i \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0}[/mm]
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> Das kann aber nicht stimmen weil die Determinante 0 ist dh
> ich kann die Matrix nicht invertieren....
>
> ?
Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind: [mm]\pmat{i \\ 1 \\ 0}, \ \pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Der Eigenvektor zum Eigenwert -1 muß [mm]\pmat{\red{-}i \\ 1 \\ 0}[/mm] lauten.
Daraus setzt sich dann die Matrix zusammen.
>
> Lg
>
> Stevie
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 26.05.2010 | | Autor: | StevieG |
Wie kommt man denn auf - i bei dem dritten Eigenvektor?
Komm da nicht drauf!
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Hallo StevieG,
> Wie kommt man denn auf - i bei dem dritten Eigenvektor?
>
> Komm da nicht drauf!
Die signifikante Gleichung lautet hier ([mm]x_{3}=0[/mm]:
[mm]\left(-\lambda\right)*x_{1}+i*x_{2}=0[/mm]
Nun ist der Eigenwert [mm]\lambda=-1[/mm].
Demnach lautet dann die Gleichung:
[mm]1*x_{1}+i*x_{2}=0[/mm]
Wählt man hier [mm]x_{2}=1[/mm],so folgt [mm]x_{1}=-i*x_{2}=-i[/mm]
Daher lautet der zugehörige Eigenvektor [mm]\pmat{-i \\ 1 \\ 0}[/mm].
Gruss
MathePower
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